黑龙江省哈尔滨市省实验中学05-06学年高二上学期月期中考试数学试题

黑龙江省实验中学学年度高二学年上学期期中考试数学学科试题考试时间：分钟总分：分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线，下列直线与平行的是（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】利用两条直线平行时的条件即可求出.【详解】直线，其中、、，对于选项，、、，此时，，，两条直线不平行，故不正确.对于选项，、、，，，不正确.对于选项，、、，此时，，，两条直线重合，故不正确.对于选项，、、，，，两条直线平行，故正确.故选：.第1页/共18页2.点关于轴的对称点为，则点到直线的距离为（）A.B.3C.D.【答案】C【解析】【分析】确定Q的坐标，利用点到直线的距离公式，即可得答案.【详解】由题意知点关于轴的对称点为，则，故点到直线的距离为，故选：C3.抛物线方程为，则此抛物线的准线为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得.【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为.故选：D．4.画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是与椭圆的值为（）A.或B.或C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到蒙日圆方程为，根据蒙日圆与圆只有一个第2页/共18页公共点，结合圆与圆的位置关系，得到或，求得的值，即可得到答案.【详解】由椭圆的方程，可得且，且蒙日圆方程为，可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为，又由圆的圆心为，半径为2，因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，可得或，又因为，所以或，解得或．故选：B．5.已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上任意一点.若的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得，进而求离心率.【详解】由题设，且，则，所以.故选：B6.双曲线的渐近线方程为，则（）A.2B.C.D.【答案】A【解析】第3页/共18页【详解】由题意知双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，故其渐近线方程为，结合渐近线方程为，故，故选：A7.抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面．该镜面圆形镜口的直径，镜深．为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点的距离应为（）A.2B.3C.D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的方程以及性质即可求解.【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，设平面截该镜面所得的抛物线方程为，代入，得，则小灯泡应置于焦点处，故其距离镜面顶点的距离应为.故选：D第4页/共18页8.已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】CABAB方程并与抛物线方程联立，结合韦达定理求解作答.【详解】如图，圆的圆心为，半径，且为抛物线的焦点，抛物线的准线方程为．设，则．因为，则，可得．设直线的方程为，显然，且直线与抛物线必相交，由得，易知，所以，解得．故选：A.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知点和圆，下列说法正确的是（）第5页/共18页A.圆心，半径为B.点在圆外C.圆关于直线对称D.设点是圆上任意一点，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项.【详解】圆心，半径为，A选项错误；∵，∴点在圆外，B选项正确；∵圆心在直线上，∴圆关于直线对称，C选项正确；∵，圆半径，∴，D选项正确.故选：BCD.10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（）A.C的离心率为B.C.的最大值为D.使为直角的点P有4个【答案】BCD【解析】AB断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D.【详解】由原方程可得椭圆标准方程为，，，故A错误；第6页/共18页由椭圆的性质知，故C正确；易知以线段C有4为直角的点有4D正确.故选：BCD已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（）A.B.当时，的最小值为C.点到直线的距离的最小值为2D.当时，直线ON的斜率的最大值为【答案】ABD【解析】ABCD抛物线上任意一点的坐标为，将几何问题转化为代数问题进行计算求解.【详解】根据抛物线的定义，的准线为，由题意准线过，可求出，抛物线的方程为，选项A正确；对于选项B，C，D，可设抛物线上的点的动点为，对于B选项，当时，；当时，当且仅当时，等号成立.选项B正确；对于C选项，直线与抛物线的位置关系如下图所示：第7页/共18页当时，.选项C错误；对于D选项，可根据向量共线作出示意图：根据定义求出抛物线的焦点，由得，当时，；当时，，当且仅当时，等号成立.选项D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有_____________条．【答案】3【解析】【分析】先设直线为或或，计算得出满足截距绝对值相等直线方程即可判断.第8页/共18页【详解】因为在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线，故设直线为或或，若直线过点，则，得直线为；若直线过点，则，得直线为；若直线过点，则，得直线为；所以满足条件的直线有3条；故答案为：3.13.已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为__________________.【答案】2【解析】【分析】应用点到直线的距离得，结合的关系得，在中应用余弦定理得，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求离心率.【详解】由题意，，双曲线的渐近线为，如上图，设点在上，则，故，所以，则，故，所以，故，则椭圆离心率为.故答案为：2第9页/共18页QF分别交C于点A，B，记的面积为的面积为，当时，直线AB的方程为___________【答案】【解析】【分析】设直线AB方程及其坐标，将面积之比转化为坐标之间的关系结合韦达定理计算即可.【详解】显然直线不垂直于轴，设其方程为，由消去x得：，，则，由得：，即，而，于是，直线的方程为，则点纵坐标，同理点纵坐标，又，由，得，则，，所以直线AB的方程为，即.故答案为：【点睛】方法点睛：圆锥曲线中面积之比问题，通常利用线段之比来转化，然后设线设点将线段之比化为第10页/共18页坐标关系，联立直线与圆锥曲线方程结合韦达定理计算即可.三、解答题：本小题共5小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解；（2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可.【小问1详解】设动点，因为，则，整理可得，即，所以动点的轨迹为的方程为.【小问2详解】由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆，设直线，即，由题意可得：圆心到直线的距离，则，解得或，所以直线的方程为或.16.已知椭圆过点，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．第11页/共18页（1）求椭圆方程；（2）已知为椭圆的两焦点，若点在椭圆上，且，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】1）根据点在椭圆上求得方程，结合椭圆、的关系求出椭圆的方程；（2）利用椭圆定义及余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积.【小问1详解】因为在上，则，可得，所以椭圆的方程为，故长轴长为，离心率为，设椭圆的方程为，故中，且，则，所以椭圆的方程为.【小问2详解】由题意，在中，而，又，所以，故，所以.第12页/共18页（1）求抛物线C的方程；（2）设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】1）根据抛物线的定义即可求得；（2）根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，和抛物线方程联立，根据韦达定理可得，即直线与直线的倾斜角互补，得证.【小问1详解】由，可得，所以抛物线C的方程为.【小问2详解】根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，，，由得，由，可得：或，由韦达定理得：，.则，即直线与直线的倾斜角互补，第13页/共18页所以是的角平分线.18.已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为，虚轴的上、下顶点分别为，且四边形的面积为．（1）求双曲线的标准方程；（2）求双曲线的渐近线方程；若为双曲线上的一个动点，求到双曲线两条渐近线距离之积；（3）已知直线与交于两点，若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）渐近线方程为，距离之积为（3）【解析】1）计算菱形的面积，再结合离心率可求；（2）设，根据点到直线的距离公式以及化简；（3）设线段中点，联立方程组利用韦达定理得出，再根据得出，再结合可求.【小问1详解】由双曲线的几何性质可知，四边形是菱形，且，则四边形的面积为，又离心率为，可得，故双曲线的标准方程为；【小问2详解】渐近线方程为，第14页/共18页则，则，因，则，所以到双曲线两条渐近线距离之积为；【小问3详解】设，线段中点，,联立，消去整理可得，则且，即且①，因，则，因，则，则，得，因且，得且，因，得或，综上，实数的取值范围是.第15页/共18页19.已知椭圆左、右顶点分别为、，是椭圆上异于、的任一点，直线，、是直线上两点，、分别交椭圆于点、两点．（1）直线、的斜率分别为、，求的值；（2）若、、三点共线，，求实数的值；（3）若直线过椭圆右焦点，且，求面积的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由椭圆的方程可得，的坐标，设的坐标，代入椭圆的方程，可得的横纵坐标的关系，进而求出的值；（2）由题意设的坐标，可得的坐标，求出直线的方程，令，可得的纵坐标，即求出的坐标，同理可得的坐标，再由，可得，代入可得的值；（3的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，可得的纵坐标之差的绝对值，设直线的面积公式，可得三角形的面积的最小值．【小问1详解】由椭圆方程可得，，设，则，第16页/共18页可得；【小问2详解】因为、、三点共线，设，则，所以直线的方程为，令，可得，即，同理可得，又因为，所以，即，即，解得；【小问3