四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学试题

绵阳市高中级第一次诊断性考试数学注意事项：答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.考试结束后，将答题卡交回.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根据交集的概念求出结果即可.【详解】因为集合，所以.故选：B.2.设命题，，则）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解.【详解】由题意：命题，，则：，，故选：D.3.已知，，均为实数，则下列说法正确的是（）第1页/共18页A.若，则B.若，则C.若，则D.若，，则【答案】C【解析】【分析】结合不等式的性质逐项分析即可.【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，由题设，所以，故B错误；对于C，由，则，故C正确；对于D，因为，，所以，故D错误.故选：C.4.下列函数中，是偶函数，且在上单调递减的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用偶函数的定义，结合单调性的定义逐项判断即可.【详解】对于A，令，可得定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，由二次函数的性质可知函数在上单调递减，故A正确；对于B，令，可得定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，由幂函数的性质可知函数在上单调递增，故B错误；对于C，令，可得定义域为，关于原点对称，因为，所以函数不为偶函数，故C错误；对于D，的定义域为不关于原点对称，第2页/共18页所以不为偶函数，故D错误.故选：A.5.已知，则（）A.B.C.D.3【答案】B【解析】分析】解出，代入求解即可．【详解】由得，所以，，因此，．故选：B．6.已知为第二象限角，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式可得，根据同角三角关系运算求解即可.【详解】因为，则，即且，即，可得，且为第二象限角，则，可得，.故选：A.7.如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（列说法中正确的是（）第3页/共18页A.浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值B.时，浮萍面积就会超过C.浮萍每周增加的面积都相等D.若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，利用指数函数的性质与对数运算，结合图像逐一判断即可.【详解】由图可得：函数过点，则，解得，即.对于选项A：浮萍每周的面积与上周面积之比为，为定值，故A错误；对于选项B：若时，则，所以浮萍面积不会超过，故B错误；对于选项C：第二周比第一周增加，第三周比第二周增加，即，所以浮萍每周增加的面积不一定相等，故C错误；对于选项D：由题意可得：，则，所以，故D正确.故选：D.8.已知函数（，且在处取得极值为1，则（）第4页/共18页A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】因为函数（，且.由题可知，化简可得结果.【详解】函数（，且.若在处取得极值为1，则，所以.化简得，整理得，所以.故选：C.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则（）A.B.CD.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的偶函数特性以及函数的周期性逐项判断并计算即可.【详解】因为函数为偶函数，所以.因为，令，第5页/共18页所以，即.所以函数的周期为2.当时，，所以，所以B错误；，因为，所以，所以C正确；因为，函数周期为2，所以D正确.故选：ACD.10.已知数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，且，，.若的前项和为，则下列选项可能正确的是（）A.B.为最大项C.D.数列，，的公差为64【答案】AC【解析】【分析】根据前三项成等比数列、后三项成等差数列，设后三项的公差为，根据题意将表示成关于d的方程，解出d，分情况逐项讨论即可．【详解】设后三项公差为，因为，则，，由，得，由前三项成等比数列，公比，所以，第6页/共18页结合，可得，解得或，当时，数列为；当时，数列为；对于A，当时，，故A正确；对于B，两种情况的最大项分别是和180，均不是，故B错误；对于C，当时，，故C正确；对于D，公差为16或，均不是64，故D错误．故选：AC．已知函数，，且，则（）A.函数的一个周期为B.函数在上单调递减C.曲线关于对称D.函数与函数的最大值相等【答案】ABD【解析】【分析】由判断A；由在上单调递减，结合复合函数的单调性可判断B；利用可判断C；求得函数与函数的最大值可判断D.【详解】对于A，因为，所以函数的一个周期为，故A正确；对于B，，当时，，第7页/共18页由复合函数的单调性可得在上单调递减，故B正确；对于C，，所以曲线关于对称，故C错误；对于D，，所以，当时，，所以函数的最大值为，又，又因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以函数与函数的最大值相等，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分.12.已知数列的通项公式为，则________.【答案】【解析】【分析】利用通项公式即可求解.【详解】由有：，故答案：.13.已知,且,则的最小值为______.【答案】2第8页/共18页【解析】【分析】利用即可得出．【详解】解：∵，，且，∴，∴，当且仅当时等号成立，故答案为：2．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．14.已知函数则使不等式成立的的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】分和，求出，代入化简，解一元二次不等式即可得出答案.【详解】若，，因为当时，在上单调递增，所以，解得：，若，，则，由可得：，即，解得：，又因为，所以.故使不等式成立的的取值范围是：.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，其中，且.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若，求函数第9页/共18页【答案】（1）（2）【解析】1）由，结合，可得，即可求出函数的解析式；（2，即可求出函数的单调递增区间.【小问1详解】因为，所以，因为，所以，所以.小问2详解】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，所以，所以，令，所以.所以函数的单调递增区间为：第10页/共18页16.设函数，其中，.（1）若函数为上的奇函数，求函数的解析式；（2）若，当时，，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】1）根据奇函数的定义进行求解即可；（2）把不等式问题转化为两个函数大小问题，利用数形结合思想进行求解即可.【小问1详解】因为函数为上的奇函数，所以有，即，又有，该等式在时恒成立，因此有；【小问2详解】因为，所以，由当时，由，设函数，问题转化为当时，，两个函数在同一直角坐标系的图象如下图所示：由数形结合思想可知：两个函数的图象一定有交点，第11页/共18页因此要想当时，，只需，实数的取值范围为.17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）试探究：在数列中取三个不同的项，能否构成等比数列？请说明理由.【答案】（1）（2）不能在数列中取三个不同的项，构成等比数列，理由见证明.【解析】1）根据等差数列的通项公式以及等差数列前项和公式，进行求解即可.（2）通过反证法以及等比数列的性质进行计算即可.【小问1详解】由题意可得，为等差数列，所以，，所以，第12页/共18页解得，，所以，所以.【小问2详解】假设能在数列中取三个不同的项，，，构成等比数列，由数列单调递增及等比中项的性质知，所以，，，，所以，所以，因为，，所以，解得，与，，为不同的整数矛盾，所以不能在数列中取三个不同的项，构成等比数列.18.已知函数有两个不同的极值点，.（1）求证：函数有3个相异零点；（2）若，求实数的值；（3）若，求实数的最大值.第13页/共18页（2）（3）【解析】1）求导，根据韦达定理可得，且是极小值点，是极大值点，结合，且，故，即可求证，（2）利用韦达定理代入化简即可求解，（3）作差，因式分解，将代入化简，得，利用基本不等式即可求解.【小问1详解】，令，则是的两个实数根，所以，故，且是极小值点，是极大值点，由于当或时，，当，故在单调递减，在单调递增，由于，且，故，又因此函数有3个相异零点.【小问2详解】，即，代入可得，化简可，则，由于方程无实数根，所以，故，第14页/共18页【小问3详解】由可得，即，由于，故，由于可得，化简可得，进而由于，故，即，由于，故，当且仅当时取到等号，故，故，因此的最大值为19.（1）已知，函数.证明：当时，；（2）设函数与的图象分别为，.点在上，且，在点处的切线交于点，.在点处的切线交于，.已知.（i）证明：；（ii）求，其中表示不超过的最大整数.【答案】（1）证明见解析（2i）证明见解析（ii）【解析】1）利用导数分析函数的单调性，从而得到当时，的最大值为0，即可证得当时，；第15页/共18页（2）根据导数的几何意义，分析相应切线的斜率，构造新函数，分析新函数的单调性及最值，从而获得，证得.构造新函数，得数列的性质，进而得到关于其前n项和的不等式，进而得到求即可.1）因为，所以.令，则.当时，.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.因为，所以，即.所以在上单调递减，所以当时，.由此当时，.所以在上单调递减，.故当时，.（2i）令，则.所以在上单调递减.因为，所以当时，.令，则，所以在上单调递增.因为，所以当时，.所以.所以，，即，.第16页/共18页若，则；若，则；若，则.若，则；若，则；若，则.由，知；由，知.所以在点处的切线斜率为.由题可知