湖北省云学联盟2025-2026学年高三上学期12月月考数学（含答案）

数学试卷评分细则

题号1234567891011

答案BDCBABACABCACABD

1．【答案】B

【详解】因为A={x|log3(x-2)<1}={x|2<x<5}，B={x|0<x≤3}，

所以AB={x|2<x≤3}，故选：B.

2．【答案】D

【详解】因为在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，2），所以z＝2+2i．则其共轭复数z=2-2i．那

么分子分母同时乘以2-2i进行化简：1所以复数的虚部为-1，故选D．

3．【答案】C

【详解】S8-S5>S5-S2a6+a7+a8>a3+a4+a53a7>3a4a7>a4a7-a4=3d>0，

所以“d>0”是“S8-S5>S5-S2”的充要条件．故选C

4．【答案】B

【详解】因为函数y＝f（x）是偶函数，而y=sinx为奇函数，所以g=a为奇函数.

所以g．即a所以2a

所以a=1，故选B．

5．【答案】A

【详解】由asinB=·bcosA，根据正弦定理得，sinAsinB=·、sinBcosA，在ΔABC中，sinB>0，则

sinA=cosA，即tanA=，又A∈(0,π)，则A由余弦定理得

6．【答案】B

【详解】由题可知，圆M的圆心坐标为(4,0)，半径为1，设椭圆C的上焦点为F(0,2)，下焦点为E(0,-2)，

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则|PF|-|PQ|=2a-|PE|-|PQ|=6-(|PE|+|PQ|)，

故要求PF-PQ的最大值，即求PQ+PE的最小值，

而|PQ|≥|PM|-1，故

|PE|+|PQ|≥|PE|+|PM|-1≥|ME|-1=2-1

所以|PF|-|PQ|≤6-(2·、i5-1)=7-2·、，故选：B.

7．【答案】A

【详解】因为A,F,D三点共线，所以设CF=λCA+(1-λ)CD=λCA+(1-λ)×CB

又B,F,E三点共线，所以CF=μCE+(1-μ)CB=CA+(1-μ)CB

故所以CF=CA+CB，

则在CB上的投影向量的模为

|CF.CB|1|(2CA+CB).CB|1(|6)16

××2×

==+|CB|≥·|CB|=

|CB|4|CB|4|(|CB|,4|CB|2

当且仅当|CB，即|CB|=时等号成立，故选：A.

8．【答案】C

【详解】法一：如图，因为ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以平面α与平面

ABC所成的锐二面角的平面角为上FDC=30O则,CF=，DF=2，

因为BC=6，所以BF，设ΔBDF外接圆半径为r，因为

上FDB=150O，所以由正弦定理得2r→r又易知

2

AD丄平面BDF，且AD=3，所以设三棱锥A-BDF外接球的半径为R，则R=r

所以R故三棱锥A-BDF外接球的表面积为S=4兀R2=183兀，故选C.

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法二：以D点为坐标原点，AD为x轴，DB为y轴，D点引平面ABD的垂线为z轴建立空间直角坐

标系-设三棱锥-

，A(33,0,0),B(0,3,0),D(0,0,0),F(0,3,),ABDF

的外接球的球心为O(x,y,z),则OA=OB=OD=0F,得

x，所以设外接球半径为R,则

R=OD,球的表面积为S=4兀R2=183兀，故选C.

9．【答案】ABC

【详解】对于A，设随机变量ξ服从正态分布N(μ,2)，

若P(ξ<-1)=P(ξ>9)，则曲线关于x=4对称，则μ=4，故A正确；

对于B，因为X~B所以E所以E(2X+1)=2E(X)+1=5，故B正确；

对于C，从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于10×0.7=7，

故第7和第8个数的平均数为第70百分位数，

即所以第70百分位数是23.5，故C正确；

对于D：甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，

23

则不同的安排方法有C4A3=6×6=36种，D选项错误；故选：ABC.

10．【答案】AC

【详解】选项A：因为f（b）＝f（b+3），且f（x）在（b，b+3）上有最小值无最大值，所以函数f（x）

的图象关于直线x＝b+对称，A正确．

〔

f(b)=cos(wb+φ)=

3)

选项B：由已知可得，且|(bb+在同一个减区间内所以

，k∈Z，两式相减得→w所以f(x)的最小正周期为

k兀

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选项C：当b＝0时，由B知k∈Z，

所以f=coscos由2kZ，

「97

解得k-≤x≤k+,k∈Z，所以f(x)的单调减区间为|k-,k+|,k∈Z，

L2」

而所以C正确．

选项D：f=cos在一个周期内函数有2个零点，2026=450×+1，所

以f(x)在[1，2026)内有450×2=900个零点，当x∈(0,1)时R，

所以f(x)在(0，1)上有0个或1个零点，f(x)在(0，2026)上有900个或901个零点.D错误．

11．【答案】ABD

【详解】因为n，易知当，且时mnn+1

an=2,n∈Nm<nm,n∈N2+2<2.

而rst．

ar+as+at=2+2+2(0≤r<s<t)

对于选项：依次列举较小的的值，012，013，

Aar+as+atb1=2+2+2=7b2=2+2+2=11

023，123，所以，正确．

b3=2+2+2=13b4=2+2+2=14b4=14A

对于选项：把进行组合分析，从中选个指数，共有

Bar+as+at(0≤r<s<t){0,1,2,,n-1}3

种选法，当时3，所以019，故正确；

Cn=9C9=84b85=2+2+2=515B

对于选项：67，从rst中找落在，内的项

Ca6=2=64,a7=2=1282+2+2(0≤r<s<t)(64128).

当r=0,t=6时，s=1,2,3,4,5共5种情况；

当r=1,t=6时，s=2,3,4,5共4种情况；

当r=2,t=6时，s=3,4,5共3种情况；

当r=3,t=6时，s=4,5共2种情况；

当r=4,t=6时，s=5共1种情况；

所以种情况，故错误；

c6=5+4+3+2+1=15C

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crstnn+1

对于D选项：n表示从2+2+2(0≤r<s<t)中找落在(2,2)内的项数.

当r=0,t=n时，s=1,2,3,，n-1共n-1种情况；

当r=1,t=n时，s=2,3,，n-1共n-2种情况；

……

当r=n-2,t=n时，s=n-1共1种情况；

所以cn=1+2++n≥2，故

111「(1)(11)(11)7(1)2

所以S=+++=21-+-+-=21-=2-，故D正确.

n|L(|(|(|||(

c2c3cn2,23,n-1n,」n,n

12．【答案】

【详解】因为P(A)=2P(A)，而P(A)+P(A)=1，所以P(A)=，又A、B相互独立，所以

P(AB)=P(A)P(B)，即=×P(B)→P(B)=

13．【答案】J2

【详解】因为AB=AF1，

所以BF2=AB-AF2=AF1-AF2=2a，

由双曲线的定义可得BF1-BF2=BF1-2a=2a，

所以BF1=4a=2BF2，

ΔBF1F2中，余弦定理得

222222

|BF|+|BF|-|FF|4a+16a-4c322

2112，解得，所以、i

cos上F2BF1===c=2ae=2

2|BF2||BF1|2×2a×4a4

())

14．【答案】(-∞,0),+∞；g(x)=ex1-x，x∈(-∞,0)(1,+∞)（第一空2分，第二空3分，

|(,,

表达式正确，未写明定义域也给分）

【详解】由已知'存在先负后正的变号零点，由x2求导得：'x，

fm(x)fm(x)=e-mxfm(x)=e-x

下面在同一个坐标系中作出函数y=ex与y=x的图象，

显然m≠0，当时m<0，如右图所示，

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x

函数y=e与yx的图象有一个交点横坐标可设x0，

当时，x，则x2在单调递减，

x<x0f=ex<0fm=emx(—∞,x0)

当时，x，则x2在单调递增，

x>x0f=ex>0fm=emx(x0,+∞)

x2

此时函数fm(x)=e—mx在x0处取到极小值，且x0<0；

当m>0时，设函数y=ex在点x=t处的切线y—et=et(x—t)过原点得：—et=et(—t)→t=1，

即过原点的直线y=ex与曲线y=ex相切，且切点为(1,e).

当e时，可知f=exx≥0，此时函数

x2

fm=emx单调递增，无极小值点；

则当>e→m>时，函数y=ex与y=x的图象有两个

交点横坐标可设x1，x0，且x1<x0，如右图所示

当时，x，则x2在单调递增，

x<x1f=ex>0fm=emx(—∞,x1)

当时，x，则x2在单调递减，

x1<x<x0f=ex<0fm=emx(x1,x0)

当时，x，则x2在单调递增，

x>x0f=ex>0fm=emx(x0,+∞)

x2

此时fm=emx函数在x0处取到极小值，且x0>1，

综上时，函数簇Ω中的每一个函数都存在极小值点x0，且为充要条件，

此时xx

f=ex0=0→e

由所有的点构成的曲线满足：x

(x0,fm(x0))y=g(x)g=fm=emx

xx02()x0

又ex0→m可得g(x0)=e—.x0=1—x0e，且x0<0或x0>1，

|(,

)

所以函数g(x)的表达式为g(x)=ex(|1—x，x∈(—∞,0)(1,+∞).

(,

故答案为=ex(1,+∞)

（第一空3分，第二空2分）

15．【详解】（1）零假设H0：“奥数迷”与性别无关.………………1分

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根据表中数据计算得分

Xx0.1………………3

2

根据小概率α=0.1的X独立性检验，没有充分的证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认

为“奥数迷”与性别无关.

故没有99%的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关.………………6分

（2）根据分层抽样，抽取的男生人数为2人，女生人数为1人，………………7分

记“恰有两人闯关成功”为事件A，“没有女生闯关成功”为事件B，

则P(A………9分

P(AB………………11分

由条件概率的公式得P

故在恰有两人闯关成功的条件下，没有女生闯关成功的概率为.………………13分

kk

16．【详解】（1）由题意得，(x-3k)(x-2)=0→x1=3k,x2=2，由a2k-1≤a2k(k=1,2,3,)，…2分

则当k=1时，x1=3,x2=2→a1=2；当k=2时，x1=6,x2=4→a3=4；

当k=3时，x1=9,x2=8→a5=8；当k=4时，x1=12,x2=16→a7=12；………………4分

nn

当k=n(n≥4)时，x1=3n,x2=2，令f(n)=x2-x1=2-3n，

设g(x)=2x-3x，由g,(x)=2xln2-3≥g,(4)=16ln2-3>0，故g(x)单调递增，

故f(n)=g(n)≥g(4)=3>0，则x2>x1，∴a2n-1=3n(n≥4)；………………6分

（2）由（1）知c1=[lg2]=0,c2=[lg4]=0,c3=[lg8]=0，n≥4时，cn=[lg(3n)]

当12≤3n<100时，即4≤n≤33时，cn=1，共有30项；

当100<3n<1000时，即34≤n≤333时，cn=2，共有300项；

当1000<3n<10000时，即334≤n≤3333时，cn=3，共有3000项；……………10分

因为2025=3+30+300+1692，

所以T2025=0×3+1×30+2×300+3×1692=5706.………………15分

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17．【详解】（1）证明：∵ΔACD为正三角形，M为棱CD的中点，∴AM丄CD，又AB丄CD，AB,AMC

面ABM，且ABAM=A，故CD丄面ABM，又BMC面ABM，所以DC丄BM.……4分

（2）由（1）知上AMB为二面角B-DC-A的的平面角

∵AB丄BC，AB丄CD，BC,CDC面BCD，且BCCD=C，∴AB丄面BCD，又BMC面

BCD，故AB丄BM，又∵DC=2AB=2，ΔACD为正三角形，∴AB=1,AM=

所以

sin上AMB………………8分

（）方法：因为面，所以为直线与平面所成角，即

31AB丄BCD上ATBATBCDθ1=上ATB.

因为ABC面ABC，所以面ABC丄面BCD，且面ABC面BCD=BC，故作TE丄BC于E，

连接，则面，所以为直线与平面所成角，即

AETE丄ABC上TAEATABCθ2=上TAE.

[]

设上TAB=α,其中tanα==BT∈0,，且α为锐角，

则ATBT=tanα,故sinθ1=cosα

在ΔBCD中，易知BC=BD=,CD=2，所以

所以TEtanα,故sinsinα

所以sinθ1+sinθ2=cossinsin

故当时，sinθ1+sinθ2取得最大值………………15分

方法2：过B作BM垂线，建立如图空间直角坐标系

则A(0,0,1)，B(0,0,0)，C(1,,0)，设T(0,t,0)(0≤t≤)

所以()

BA=(0,0,1)，BC=(1,·、,0)，AT=0,t,-1

设面ABC的法向量为n=(x,y,z)，

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由，令y=—1，则

y=0

n=(,—1,0)………………10分

所以sinθ2=|cos

取面BCD的法向量m=(0,0,1)，则sinθ1=|cos

所以sinθ1+sin………………12分

[]

令s=t+,s∈+，则

所以当，即时，的最大值为分

s=t=sinθ1+sinθ2.………………15

18．【详解】易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+4，A(x1,y1),B(x2,y2)

（1）当直线l的斜率为1时，l:y=x+4

联立消去y得x2—2px—8p=0，Δ>0恒成立，

x+x=2p,xx=—8p

1212………………1分

所以|AB|=v1+1|x—x|=·、i2.·(x+x)2—4xx=2.4p2+32p=4v10

121212…………3分

化简得p2+8p—20=0，所以p=2或p=—10（舍）

所以求抛物线的标准方程为2

Γx=4y………………4分

（）()由已知，，所以

2ⅰF(0,1)D(—2,—4)FA=(x1,y1—1),FB=(x2,y2—1),DF=(2,5)

FA.DFFB.DF2x+5(y—1)2x+5(y—1)

因为直线FD经过△FAB的内心，所以=，即11=22

|FA||DF||FB||DF|y1+1y2+1

2x+5(y+1)—102x+5(y+1)—102x—102x—10

→11=22，所以1=2………………7分

y1+1y2+1y1+1y2+1

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又y1=kx1+4,y2=kx2+4代入上式得去分母整理得(x1—x2)(k+1)=0，

而x1≠x2，所以k=—1，即直线l的方程为y=—x+4.（用其他方法求出两条直线未舍去一条扣2

分）………………9分

(ⅱ)假设存在D(x0,—4)满足FD经过△FAB的内心，则x0,5)

所以

又y1=kx1+4,y2=kx2+4代入上式得

而x1≠x2，所以x0=2k，所以D(2k,—4).………………13分

联立2，所以

→x—4kx—16=0x1+x2=4k,x1x2=—16

2

抛物线Γ的标准方程为x=4y，所以y点A处的切线为l1:y—y

2

而x1=4y1，故l1:x1x=2(y1+y)，同理点B处的切线为l2:x2x=2(y2+y)

'

设l1与l2交点为D，由即D'(2k,—4).

所以D,D'重合，即存在满足条件的D对任意直线l都成立.………………17分

（其他方法酌情给分）

19．【详解】（1）设直线l与曲线y=f(x)相切于点(t,f(t))

因为f'l:y=c，所以f'(t)==0→t=0或t=2，

而f=0,f所以切线方程为y=0或y=

所以c=0或………………3分

（2）证明：f'由f'(x)>0得0<x<2；由f'(x)<0得x<0或x>2，

所以f(x)在(—∞,0),(2,+∞)单调递减，在(0，2)单调递增.

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当时，f(x当x