四川省成都市蓉城联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市蓉城联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，，这四个数的平均数为1，则，，，这四个数的平均数为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】A【解析】，，故选：A.2.已知空间向量，，若，则的值为（）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】因为，所以，解得：，，即，故选：C.3.东风快递，使命必达，某火箭军部队在试验中用甲、乙两款东风导弹各一枚独立射击3000公里处同一目标，甲款导弹命中目标的概率为0.9，乙款导弹命中目标的概率为0.8，甲和乙是否命中相互没有影响，则目标被击中的概率为（）A.0.08 B.0.18 C.0.26 D.0.98【答案】D【解析】目标未被击中的概率为：，所以目标被击中的概率为.故选：D.4.点在内(含边界)，且，事件E，F是互斥事件，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由四点共面的推论可知，，，，故选：B.5.已知是一个随机试验中两个随机事件，若，，则（）A.与相互独立且 B.与不相互独立且C.与相互独立且 D.与不相互独立且【答案】C【解析】由题设，，所以，所以事件与事件相互独立，由概率的性质，有.故选：C.6.将边长为的正方形沿对角线翻折成直二面角，异面直线与所成角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如下图所示，分别取、、的中点、、，连接、、、、，则，，所以，异面直线与所成的角为或其补角，由题意可得，，，为的中点，则，同理可得，所以，二面角的平面角为，则，，，则，，同理可得，所以，，为的中点，则，所以，，则为等边三角形，所以，.即异面直线与所成的角为，则.故选：B.7.在正三棱锥中，侧棱，，现从正三棱锥的所有棱中任取两条棱，则取出的两条棱垂直的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正三棱锥中共有6条棱，从正三棱锥的所有棱中任取两条棱，则基本事件有个，因为，根据勾股定理可得出.进而可以得到平面，因为平面，所以；同理可得.所以取出的两条棱垂直的共有6种情况，所以概率为，故选：D.8.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x，y，则能被3整除的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所有基本事件有个，和从3，6中选共有4个，和从1，4中选1个，从2，5中选1个，共有8个，所求概率为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知8个数据：1，2，2，3，4，4，4，4，则（）A.该组数据的极差为3B.该组数据的众数为4C.该组数据的中位数为3D.该组数据的第75百分位数（也称为第三四分位数或上四分位数）为4【答案】ABD【解析】对于AB：极差，众数为，故A、B正确；对于C：中位数为，故C错误；对于D：，所以该组数据的第75百分位数为第6个和第7个数据的平均数，即，故D正确.故选：ABD.10.下列叙述正确的是（）A.与为对立事件是与为互斥事件的充分不必要条件B.不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为C.不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为D.从集合中任取一个数记为，从集合中任取一个数记为，则的概率为【答案】ACD【解析】对于A，对立事件为不同时发生，但有一个必发生，互斥事件为不同时发生的事件，故A正确；对于B，不放回地依次随机摸出2个球，共有个基本事件，两次都是红球含2个基本事件，故概率为，故B错误；选项C：放回地依次随机摸出2个球，共有个基本事件，两次都是红球含个基本事件，故概率为，故C正确；选项D：所有的基本事件有9个，满足题意的有，，，共3个，概率为，故D正确；故选：ACD.11.在平行六面体中，，，，，下列结论正确的是（）A.B.异面直线与所成角的余弦值为C.直线与平面所成角的正弦值为D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】因为，，，，所以可得，所以，故A正确；选项B：因为，所以，所以，，设异面直线与所成角为，则，故B正确；如图，设为棱中点，为棱中点，连接，连接交于点，连接，因为，，，，所以，四边形为正方形，所以，又，，所以,又，且,所以，又为中点，则,得到四棱锥是棱长为1的正四棱锥，由正棱锥的性质可知平面，则是直线与平面所成角，可得，故C错误；设点到平面的距离为，由，得，解得，即点到平面距离为，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学校有青年教师60人，中年教师40人，老年教师20人，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取容量为的样本，若青年教师抽了6人，则样本容量_____.【答案】12【解析】由题意，得.故答案为：12.13.这5个数据181，182，183，184，185的方差为_____.【答案】2【解析】平均数，方差.故答案为：2.14.在四棱锥中，底面为矩形，，，底面，，点为棱的中点，，平面与直线交于点，则点到直线的距离为_____.【答案】【解析】如图，建立以为坐标原点，直线，，所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系.则,所以，所以,，设平面的法向量则令，则平面的一个法向量，设，则所以，又，即，，，设在上的投影向量为，则，则点到直线的距离为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某教师在课堂上将学生分成3小组，独立探究“空间中n个平面最多可以把空间分成多少部分”，若第一小组探究成功的概率为，第二小组探究成功的概率为，第一、第二、第三这3个小组全都探究成功的概率为，第一、第二、第三这3个小组是否探究成功相互没有影响.（1）求第三小组探究成功的概率；（2）求第一、第二、第三这3个小组恰有1个小组探究成功的概率.解：（1）记事件“第一小组探究成功”，事件“第二小组探究成功”，事件“第三小组探究成功”，由题意，事件A，B，C相互独立，，，，，，故第三小组探究成功的概率为；（2）记事件“第一、第二、第三这3个小组恰有1个小组探究成功”，则，，，相互独立，，B，相互独立，，，C相互独立，事件，，彼此互斥，，故第一、第二、第三这3个小组恰有1个小组探究成功的概率为.16.如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为棱，的中点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.（1）证明：如图，建立以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以，，因为，所以，则.（2）解：设平面的一个法向量为，，，令，则，，所以平面的一个法向量，又，点到平面的距离.17.某同学在研究性学习中，对某区2000名高一年级学生期末调研考试的数学成绩用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，分为6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并估计该区高一年级学生期末调研考试的数学成绩不低于90分的学生人数；（2）估计本次考试全区数学成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（3）现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取5人，再从中选取3人，求这3人中至少有1人成绩在内的概率.解：（1）由频率分布直方图可得，，，，故估计该区高一年级学生期末调研考试的数学成绩不低于90分的学生人数为1300人；（2）中位数的估计值为：，平均数的估计值为：；（3）原始成绩在和的频率之比为，在内抽取2人，记为a，b，在内抽取3人，记为A，B，C，从中选取3人，所有的基本事件为：，，，，，，，，，，共10个，记事件“这3人中至少有1人成绩在内”，则其对立事件包含的基本事件为，共1个，，这3人中至少有1人成绩在内的概率为.18.在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，为的中点.（1）求证：底面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点使得二面角余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.（1）证明：为等边三角形，且为中点，，平面平面，平面平面，平面，平面.（2）解：，，，四边形为矩形，，如图，建立以AQ，QB，QP所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，则取，设直线与平面所成角为，，，直线与平面所成角的正弦值为；（3）解：假设存在点满足题意，设，，，设平面的一个法向量为，则取，，或（舍），故当时，在棱上存在点使得二面角的余弦值为.19.在斜三棱柱中，为棱的中点.（1）若与交于点，作图并证明：平面；（2）在中，，.①若平面，，求二面角的余弦值；②若，，求四面体的外接球的表面积.（1）证明：如图连接，在中，，，，