浙江省杭州市S9联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省杭州市S9联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，对应的点位于第四象限.故选：D.2.“”是“直线与直线平行”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】因为，所以直线，直线，则与平行，故充分条件成立；当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故必要条件成立.综上知，“”是“直线与直线平行”的充要条件.故选：A.3.已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知点关于平面对称的点的坐标是.故选：B.4.如图，在平行六面体中，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，因为六面体是平行六面体，所以，因为，代入计算可得：，故有：，所以，所以，因为，所以.故选：B.5.已知是正实数，直线平分圆：所围成的面积，则的最小值为（）A.12 B.10 C.8 D.25【答案】D【解析】由圆：整理可得：，则该圆的圆心为，由题意可得直线过圆心，则，整理可得，所以，由为正实数，则，当且仅当时，等号成立，所以.故选：D.6.函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】把函数（）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是（），且它是偶函数，所以（），，（），又因为，所以.故选：B．7.若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的值为（）A. B.1 C. D.7【答案】A【解析】由直线在轴上的截距为，得，解得，由直线的倾斜角为，得，直线的倾斜角为，因此，解得，所以.故选：A.8.，过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与不重合，为坐标原点），则以下结论：（1）为定值；（2）的面积的最大值为；（3）的最大值为5；（4）的最大值为.其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】对于直线，变形为，令，解得，定点，对于直线，变形为，令，解得，定点，对直线和直线，，故两条直线垂直，,,，为定值，故（1）正确，设，由以上可知，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，的面积，的面积的最大值为，故（2）正确；设，，，则，，，即，在以为圆心，为半径的圆上，故的最大值为，故（3）正确；设，由上可知，根据柯西不等式可得，即，，当且仅当时取等号，的最大值为，故（4）正确.故选：.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，且，则B.若，且，则C.若，且，则D.若，且，则【答案】AD【解析】A，因为，，所以，又，所以不同的平面满足，故A正确；B，若，且，则或两平面相交，比如：正方体的底面和侧面中分别取直线，且，但是底面和侧面并不平行，故B错误；C，若，且，则两平面相交或平行，比如：正方体的上下两个底面中分别取直线，且，上底面与平行，但是上底面与下底面并不垂直；故C错误；D，因为，，则，又，所以，故D正确.故选：AD.10.以下四个命题表述正确的是（）A.过点）且在轴、轴上截距相等的直线方程为B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C.圆与圆恰有三条公切线，则D.已知圆，过点向圆引两条切线为切点，则直线方程为【答案】BCD【解析】A选项，如果截距为零，则直线方程为，故A错误.B选项，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B选项正确.C选项，圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为，由于、有三条公切线，所以两个圆外切，所以，，C选项正确.D选项，圆的圆心为原点，半径为.，以为直径的圆的方程为，即，则所在直线方程为即.故D选项正确.故选：BCD.11.棱长为2的正方体中，点在棱上运动，点是棱的中点，则下列说法正确的是（）A.若是棱中点，则平面B.存在点使C.若与平面所成的角记为，则D.点到直线的距离最小值为【答案】ACD【解析】对于A，由题意取的中点为，并连接，作图如下：在正方体中，由分别为的中点，则易知，且，所以在平行四边形中，，因为平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，由题意作图如下：设，则，，，，在中，，令，化简可得，由，则方程无实数解，故B错误；对于C，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，作图如下：则，，，，取，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量，可得，当时，，当时，令，由函数在上单调递减，则，所以，可得，综上可得，故C正确；对于D，取的中点，连接交于，在平面内，过作于，连接，，，作图如下：在正方形中，易知，，在正方体中，易知，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，由，当且仅当重合时，等号成立，在中，，在中，由，则，所以，即到的距离最小值为，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，已知，则的最小值是__________.【答案】2【解析】，，当时，最小，的最小值为2.故答案为：2.13.圆心在直线上且与直线相切于点的圆的方程是________．【答案】【解析】依题意，过切点的圆的半径所在直线方程为，即，由解得，因此所求圆的圆心为，半径，所以所求圆的方程为.故答案为：.14.已知直线与圆心在原点的圆相切，函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦，则四边形面积的最大值为__________.【答案】15【解析】由原点到直线的距离，则圆的半径，由，则，即，由题意作，，分别垂足为，如下图：易知四边形为矩形，则，易知四边形的面积，当且仅当，等号成立.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.解：（1）中，，根据正弦定理，得，锐角中，，是锐角的内角，.（2），，由余弦定理，得，化简得，，平方得，两式相减，得，可得．因此，的面积．16.已知两直线.（1）求过两直线的交点且与直线平行的直线方程.（2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值.解：（1）联立，所以两直线的交点为.设与直线平行的直线方程为，将代入得，所以所求的直线方程为.（2）设点关于直线对称的点为，，解得.则，故的最小值为.17.如图，在四棱锥中，四边形是边长为2菱形，，，点分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值.（1）证明：如图：取中点，连接，因为为中点，所以且，又四边形为菱形，且为中点，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：如图：连接，交于点，因为四边形为菱形，所以，且为的中点，又因为，所以平面，且，所以平面，平面，所以平面平面，所以是直线在平面内的射影，则为直线与平面所成的角的平面角，则，又，所以，如图，以为原点，直线所在直线分别为轴，过点O垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，所以.取平面一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，得，则，则，所以二面角的余弦值为.18.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A，B距离之比为（且）的点P的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点，，若动点P满足，动点P轨迹为圆C.（1）求圆C的方程；（2）过点的直线l与圆C交于D、E两点，若弦长，求直线l的方程；（3）若Q是x轴上的动点，，与圆C相切，切点分别为F，G，试问直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标：若不是，请说明理由.解：（1）设，则由可得，即，则点P的轨迹方程为：.（2）易知，直线l的斜率不存在时，直线与圆相离，不满足题意；故直线l存在斜率，设直线l为，则点到直线l的距离为.则.则，所以或.直线l为或.（3）设，则以为直径的圆的圆心为，记，半径为，则此圆的方程为，即，记此圆为圆P.因为直线为圆C与圆P的相交弦所在直线，所以两圆方程作差可得直线FG的方程为，即.由，解得所以直线恒过定点，定点坐标为.19.在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．（1）已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值；（2）已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，证明：；（3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值．（1）解：由直线的点方向式方程为可知直线的一个方向向量坐标为.由平面的一般式方程为可知平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，所以有，所以，即直线与平面所成角的余弦值为