浙江省台金七校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省台金七校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，则直线斜率为，则直线倾斜角满足.故选：B.2.椭圆的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为椭圆方程为，所以，所以.所以焦点坐标为.故选：C3.已知空间向量，，若，则（）A.1 B. C. D.3【答案】B【解析】因为，，且，所以，解得，故选：B.4.直线和直线，则“”是“”（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题设，解得或.故，.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B.5.已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】抛物线焦点，准线，设点到准线的距离为，点到准线的距离为．故选：B.6.如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，可得，设是平面的法向量，则，令，则，即，由，且，可得，又因为，则，由平面，可得，解得.解法二：如图，取中点，连接，易证，所以平面即平面，易知当为的中点时，，平面，平面，从而平面，所以.故选：C.7.已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设点，则，，所以，则，所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为3，由此可知圆与有公共点，又圆的圆心为，半径为2，所以，解得，即的取值范围是，故选：A.8.已知焦点在轴上的椭圆，点，当时，上有且仅有一点到点的距离最小，则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设椭圆上任意一点，则，由对称性可知：在时取得最小值，又因二次函数对称轴为，所以，即，所以，又因为，所以.故选：A.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（）A.实轴长是虚轴长的2倍 B.焦距为4C.离心率 D.渐近线方程为【答案】BD【解析】∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确.故选：BD.10.已知：，直线相交于，直线的斜率分别为，则（）A.当时，点的轨迹为除去两点的椭圆B.当时，点的轨迹为除去两点的双曲线C.当时，点的轨迹为一条直线D.当时，的轨迹为除去两点的抛物线【答案】ABD【解析】设点，，.当时，，.故点的轨迹为除去两点的椭圆，A正确；当时，，故点的轨迹为除去两点的双曲线，B正确；当时，.，即不含点，轨迹是一条直线不含，C错误；当时，则.故的轨迹为除去两点的抛物线，D正确.故选：ABD.11.如图，底面半径为的圆柱体量杯倾斜固定在桌面上，加入一定量的水使得上表面的形状是椭圆.再加入体积为的水，使得水面高度增加，沿杯壁高度增加，下列四个结论中，正确的是（）A.椭圆的离心率为B.C.水平面与圆柱底面所成的角为D.水面面积为cm2【答案】BCD【解析】如图，为初始水面椭圆长轴，为上升后的水面椭圆长轴，为之间的垂线段，为平行于圆柱底面的圆的直径，因为，则，则，则，即水平面与圆柱底面所成的角为，则，则，，将增加的部分沿着切开，再将含与的两部分拼凑，可得，则，，由以上可得A错误，BCD正确，故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过点且与直线平行的直线记为，则两平行线，之间的距离为_________．【答案】或2.4【解析】由题意不妨设，则，所以两平行线，之间的距离.故答案为：.13.把正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则直线与平面所成角的正弦值为__________.【答案】【解析】设正方形边长为1，取线段的中点，连接，则有，又平面，所以平面，则为二面角的平面角，即，则，取的中点，连接，，则，，又平面，平面，所以，又平面，所以平面，则为直线与平面所成角，，故答案为：.14.若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】令，表达式化为，表示数轴上点到点和点的距离之和，当位于和之间，即或时，该距离之和为常数，否则会随着变化，圆的圆心为，半径为1，对于直线，圆心到直线的距离需满足，即，解得，当，即时，要使完全包含于，需满足，即；当，即时，与无包含关系，不合题意，舍去；综上，实数的取值范围为．故答案为：．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知圆（1）求过点且与圆相切的直线方程；（2）已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值.解：（1）当直线斜率存在时，设直线，即，圆心到直线的距离为，解得，此时直线方程为，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，综上，所求直线方程为或.（2）记圆心到直线的距离为，则，又弦长为，圆的半径为2，则，解得，所以.16.如图，分别是三棱锥的棱、的中点，是线段上一点且，记，，．（1）用，，表示，，；（2）若，，，，求异面直线与所成角的余弦值．解：（1）如图，连接，结合向量线性运算及向量基本定理，可得，，．（2）由题意，得，，，又由（1）得，，，所以，，所以，设异面直线与所成角为，则，即异面直线与所成角的余弦值为．17.已知抛物线的焦点到其准线的距离为.（1）求抛物线的准线方程；（2）设过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，记的面积为，当时，求直线的方程.解：（1）抛物线焦点为，准线为，由题意得，故准线方程为.（2）由（1）可得抛物线的方程为，焦点，显然直线的斜率不可能为零，故可设直线的方程为，代入抛物线方程整理得，，设，则，，，由，得，解得，∴直线的方程为或.18.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为.（1）求证：平面BDE；（2）若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离；（3）若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围.（1）证明：连接，因为在平面ABC内的射影为，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，⊥，因为为边长为2的等边三角形，D是线段的中点，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，四边形为平行四边形，所以平行四边形为菱形，故⊥，因为D，E分别是线段，的中点，所以，故⊥，因为，平面，所以⊥平面.（2）解：由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为⊥，D是线段的中点，所以由三线合一可得，又，故为等边三角形，，由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为，点到平面BDE的距离.（3）解：点F为线段上的动点（不包括端点），设，，则，故，故，设平面的法向量为，则，解得，令，则，故，又平面的一个法向量为，故，令，则，因为，故，，平面FBD与平面BDE夹角的余弦值取值范围是.19.已知椭圆的离心率为，左焦点为，左､右顶点分别为，上顶点为，且的外接圆半径为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线的斜率分别为，若.（i）试判断直线是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由；（ii）设直线与轴的交点为，记与的面积分别为，求的取值范围.解：（1）如图，连接，因椭圆的离心率为，则，即，.在中，，则，在中，，由正弦定理得，解得故，则椭圆的标准方程为.（2）（i）由题知直线的斜率存在，且不为