2026高考数学一轮复习-1.2常用逻辑用语【课件】

第一章第2节常用逻辑用语[课程标准要求]1.通过已知的数学实例,理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系以及数学定义与充要条件的关系.2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.充分条件、必要条件与充要条件的概念充分不必要必要不充分充要充分、必要条件与对应集合之间的关系设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.①若p是q的充分条件,则A⊆B;②若p是q的充分不必要条件,则A⫋B;③若p是q的必要不充分条件,则A⫌B;④若p是q的充要条件,则A=B.口诀:小充分,大必要.2.全称量词命题与存在量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“

”表示.含有

的命题,叫做全称量词命题.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“

”表示.含有

的命题,叫做存在量词命题.∀全称量词∃存在量词3.全称量词命题和存在量词命题的否定含量词命题含量词命题的否定结论∃x∈M,p(x)∀x∈M,﹁p(x)存在量词命题的否定是

命题∀x∈M,p(x)∃x∈M,﹁p(x)全称量词命题的否定是

命题全称量词存在量词1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)设集合A={1,3,5,7},B={1,3},则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.(

)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(

)(3)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.(

)(4)∃x∈M,p(x)与∀x∈M,﹁p(x)的真假性相反.(

)×√√√2.(必修第一册P22习题1.4T2改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√解析:由“三角形是等边三角形”可得“该三角形一定是等腰三角形”,但反之不成立.故选A.3.(必修第一册P31练习T1改编)已知命题p:∀n∈N*,n2>n-1,则命题p的否定﹁p为(

)A.∀n∈N*,n2≤n-1 B.∀n∈N*,n2<n-1C.∃n∈N*,n2≤n-1 D.∃n∈N*,n2<n-1√解析:由全称量词命题的否定为存在量词命题可得命题p:∀n∈N*,n2>n-1的否定﹁p为∃n∈N*,n2≤n-1.故选C.4.(多选题)(必修第一册P28练习T1改编)下列命题是全称量词命题且为真命题的是(

)A.∀x∈R,-x2-1<0B.∃m∈Z,nm=mC.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径√√解析:对于A,∀x∈R,-x2≤0,所以-x2-1<0,故A选项是全称量词命题且为真命题;对于B,当m=0时,nm=m恒成立,故B选项是存在量词命题且为真命题;对于C,任何一个圆的圆心到其切线的距离都等于半径,故C选项是全称量词命题且为真命题;对于D,因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以,故D选项是存在量词命题且为假命题.故选AC.5.若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件,则m的取值范围是

.

(3,+∞)解析:因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件,所以(m,+∞)是(3,+∞)的真子集,由图可知m>3.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一充分、必要条件的判断[例1](1)设x∈R,则“log2x<1”是“x2+x-6<0”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√解析:(1)由log2x<1,解得0<x<2;由x2+x-6<0,解得-3<x<2,由(0,2)⫋(-3,2),得“log2x<1”是“x2+x-6<0”的充分不必要条件.故选A.(2)(2023·天津卷)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件√解析:(2)由a2=b2,则a=±b,当a=-b≠0时,a2+b2=2ab不成立,充分性不成立;由a2+b2=2ab,则(a-b)2=0,即a=b,显然a2=b2成立,必要性成立;所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B.充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.[针对训练](1)(2024·山东潍坊模拟)“b∈(-2,2)”是“∀x∈R,x2-bx+1≥0成立”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√解析:(1)因为∀x∈R,x2-bx+1≥0成立,则Δ=(-b)2-4≤0,即-2≤b≤2.所以“b∈(-2,2)”是“∀x∈R,x2-bx+1≥0成立”的充分不必要条件.故选A.(2)(2022·浙江卷)设x∈R,则“sinx=1”是“cosx=0”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件√考点二充分、必要条件的应用[例2](1)不等式ax2-2x+1>0(a∈R)恒成立的一个充分不必要条件是(

)A.a≥1 B.a>1C.0<a< D.a>2√解析:(1)不等式ax2-2x+1>0(a∈R)恒成立,显然a=0不成立,故应满足解得a>1,即不等式ax2-2x+1>0(a∈R)恒成立的充要条件是a>1,因为a>2是a>1的真子集,故“a>2”是“a>1”的充分不必要条件.故选D.(2)(2024·辽宁沈阳模拟)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|x2-3mx+2m2+m-1<0},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则实数m的取值范围为(

)A.[-3,2] B.[-1,3]√解析:(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,故B⫋A,由题意,集合A={x|x2-x-12≤0}=[-3,4],B={x|x2-3mx+2m2+m-1<0}={x|(x-m-1)(x-2m+1)<0},若m>2,则2m-1>m+1,此时B=(m+1,2m-1),若m<2,则2m-1<m+1,此时B=(2m-1,m+1),故选C.(1)对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.(2)求参数问题的解题策略①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.②要注意区间端点值的检验.[针对训练](1)(2024·宁夏银川模拟)a>b的一个充要条件是(

)A. B.ac2>bc2C.log2a>log2b D.1.7a>1.7b√B项,若a>b,取c=0,则ac2>bc2不成立,故B不符合题意;C项,函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,由log2a>log2b,得a>b>0,故C不符合题意;D项,函数y=1.7x在R上单调递增,由1.7a>1.7b,得a>b;由a>b,得1.7a>1.7b,所以“1.7a>1.7b”是“a>b”的充要条件,故D符合题意.故选D.(2)已知“m≤t”是表示圆”的必要不充分条件,则实数t的取值范围为

.

[1,+∞)考点三全称量词命题与存在量词命题角度一含量词命题的否定[例3](2024·云南昆明模拟)命题“∃x>1,x-2lnx≤1”的否定为(

)A.∀x>1,x-2lnx≤1B.∃x≤1,x-2lnx>1C.∀x>1,x-2lnx>1D.∃x≤1,x-2lnx≤1√解析:根据存在量词命题“∃x∈M,p(x)”的否定形式是全称量词命题“∀x∈M,﹁p(x)”,可知“∃x>1,x-2lnx≤1”的否定为“∀x>1,x-2lnx>1”.故选C.角度二含量词命题真假的判断[例4](多选题)在下列命题中,真命题是(

)A.∃x∈R,x2+x+3=0√C.∃x,y∈Z,使3x-2y=10D.∀x∈R,x3-x2+1≤0√角度三含量词命题的应用[例5](2024·湖北孝感模拟)若命题“任意实数x使得不等式ax2+(a-2)x+>0成立”为假命题,则实数a的取值范围是

.

(-∞,1]∪[4,+∞)(1)含量词命题的否定,一是要改写量词,二是要否定结论.(2)判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立即可.(3)由命题真假求参数的取值范围,一是直接由命题的含义,利用函数的最值求参数的取值范围;二是利用等价命题,即p与﹁p的关系,转化成由﹁p的真假求参数的取值范围.[针对训练](1)(角度一)已知命题p:∀x∈[0,+∞),ln(x2+1)≥0,则﹁p为(

)A.∃x∈(-∞,0),ln(x2+1)<0B.∃x∈[0,+∞),ln(x2+1)<0C.∀x∈(-∞,0),ln(x2+1)<0D.∀x∈[0,+∞),ln(x2+1)<0√解析:(1)因为命题p:∀x∈[0,+∞),ln(x2+1)≥0,所以﹁p:∃x∈[0,+∞),ln(x2+1)<0,故选B.(2)(角度二)(多