2026高考数学一轮复习-2.2函数的单调性与最值【课件】

第一章第2节函数的单调性与最值[课程标准要求]1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基项目增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I当x1<x2时,都有

,那么就称函数f(x)在区间I上

.特别地,当函数f(x)在它的定义域上

时,我们就称它是增函数当x1<x2时,都有

,那么就称函数f(x)在区间I上

.特别地,当函数f(x)在它的定义域上

时,我们就称它是减函数1.函数的单调性(1)单调函数的定义f(x1)<f(x2)单调递增单调递增f(x1)>f(x2)单调递减单调递减图象描述自左向右看图象是

自左向右看图象是

上升的下降的函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征:一是任意性,即“任意两数x1,x2∈I”,“任意”两字绝不能丢;二是有大小,即x1<x2;三是同属一个单调区间,三者缺一不可.(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上

或

,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,

叫做y=f(x)的单调区间.单调递增单调递减区间I前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件∀x∈D,都有

;∃x0∈D,使得

∀x∈D,都有

;∃x0∈D,使得

结论M是函数y=f(x)的最大值M是函数y=f(x)的最小值2.函数的最值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M1.函数单调性的等价定义设任意x1,x2∈I(x1≠x2),则(1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在I上单调递增.(2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在I上单调递减.3.与函数运算有关的单调性结论(1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.(2)当k>0时,函数f(x)与kf(x)单调性相同;当k<0时,函数f(x)与kf(x)单调性相反.(3)若f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与具有相反的单调性.(4)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减.(5)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)若f(-4)>f(3),则f(x)在[-4,3]上单调递减.(

)(2)闭区间[a,b]上的“单峰”函数,一定存在最大值或最小值.(

)(3)函数f(x)=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(

)(4)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(

)×√××2.(多选题)(必修第一册P86习题3.2T3改编)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是(

)A.y=-x B.y=x2-xC.y=-x2-2x D.y=ex√√√4.函数f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则满足f(2x-1)>的x的取值范围是

.

5.函数f(x)=的单调递增区间为

.

(-∞,-1)解析:由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,故f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),由函数y=x2-2x-3在(-∞,-1)上单调递减,故f(x)的单调递增区间是(-∞,-1).02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一函数的单调性与单调区间角度一求具体函数单调区间[例1](1)下列函数中,在区间(-∞,0)上单调递减的是(

)√解析:(1)对于A,y=x3在定义域R上单调递增,故A错误;(2)函数y=lg(-x2+2x)的单调递减区间为

.

解析:(2)由-x2+2x>0可知0<x<2.故函数y=lg(-x2+2x)的定义域为(0,2).设t=-x2+2x,y=lgt.因为t=-x2+2x在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,而函数y=lgt单调递增.所以函数y=lg(-x2+2x)的单调递减区间为(1,2).(1,2)[例2]试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.由于-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增.角度二求函数单调性当a>0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.(1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.(2)函数单调性的判断方法:定义法,图象法,利用已知函数的单调性,导数法.[针对训练](1)(角度一)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(

)√解析:(1)对于A,因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增,y=-x在(-∞,+∞)上单调递减,所以f(x)=-lnx在(0,+∞)上单调递减,故A错误;(2)(角度一)(2024·海南海口模拟)函数f(x)=x2-4|x|+3的单调递减区间是(

)A.(-∞,-2) B.(-∞,-2)和(0,2)C.(-2,2) D.(-∞,-2)∪(0,2)√则由二次函数的性质知,当x≥0时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1的单调递减区间为(0,2);当x<0,y=x2+4x+3=(x+2)2-1的单调递减区间为(-∞,-2),故f(x)的单调递减区间是(-∞,-2)和(0,2).故选B.考点二函数单调性的应用角度一利用单调性比较大小A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b√利用单调性比较大小的方法利用单调性比较函数值大小时,应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上,利用单调性比较大小.角度二利用函数的单调性解不等式[例4]已知函数f(x)=()x-log2(x+2),若f(a-2)>3,则a的取值范围是

.

(0,1)利用函数的单调性解不等式的关键是利用函数的单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为关于自变量的不等式,常见的转化方法为:若函数y=f(x)在区间I上是增函数,对任意x1,x2∈I,且f(x1)<f(x2),则有x1<x2;若函数y=f(x)在区间I上是减函数,对任意x1,x2∈I,且f(x1)<f(x2),则有x1>x2.但需要注意的是不要忘记函数的定义域.角度三由函数单调性求参数范围√[例5](2024·广东深圳模拟)已知函数f(x)=满足对任意的x1≠x2都有<0成立,则a的取值范围是(

)利用单调性求参数(1)依据函数的单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较.(2)若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.(3)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.√[针对训练](1)(角度一)已知函数f(x)的图象关于y轴对称,且函数在区间[0,+∞)上单调递增,则下列关系式成立的是(

)(2)(角度二)(2024·河南开封模拟)设f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则满足f(x)<f(x-2)的x的取值范围是

.

[2,+∞)解析:(2)因为f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,且f(x)<f(x-2),所以x>x-2≥0,所以x≥2.(3)(角度三)若函数f(x)=在(a,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为

.

[1,2)考点三求函数的最值[例6](1)对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是

;

1解析:(1)法一在同一平面直角坐标系中,作函数f(x),g(x)的图象,依题意,h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知点A(2,1)为图象的最高点,因此h(x)的最大值为h(2)=1.当0<x≤2时,h(x)=log2x是增函数;当x>2时,h(x)=3-x是减函数,因此h(x)在x=2处取得最大值h(2)=1.(2)函数f(x)=2x2-的最小值为

.

所以g(t)=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥1).因为g(t)=2t2-t-2(t≥1)图象的对称轴为直线t=,所以当t=1时,g(t)=2t2-t-2取得最小值,为g(1)=2×12-1-2=-1.-1求函数最值的五种常用方法(1)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(2)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.(4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.注意:(1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域.(2)求分段函数的最值时,应先