2026高考数学一轮复习-2.5指数与对数

第一章第5节指数与对数[课程标准要求]1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质.2.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.根式的概念及性质(1)概念:式子叫做

,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.(2)性质:①

没有偶次方根.②0的任何次方根都是0,记作=

.③=

(n∈N*,且n>1,当n为偶数时,a>0).④=a(n为大于1的奇数).根式负数0aa-a2.分数指数幂没有意义3.有理数指数幂的运算性质aras=

;(ar)s=

;(ab)r=

,其中a>0,b>0,r,s∈Q.4.对数的概念如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=

,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.5.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质ar+sarsarbrlogaNN(2)对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)=

;③logaMn=

(n∈R).logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM换底公式的两个重要结论(1)logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).(a>0,且a≠1;b>0;m,n∈R,且m≠0).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(3)log2x2=2log2x.(

)(4)若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN.(

)××××2.(必修第一册P127习题4.3T5改编)设a=lg2,b=lg3,则log1210等于(

)√C.2a+b D.2b+a322即a+a-1=7,则a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47.a3+a-3=(a+a-1)(a2+a-2-1)=7×(47-1)=322.202提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一指数幂的运算√19(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.考点二对数式的运算A.3 B.6 C.12 D.18√1(1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.[针对训练](1)(2024·广东茂名模拟)已知2a=15,log83=b,则2a-3b等于(

)√(2)已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log1815=

.

考点三指数与对数运算的实际应用[例3](1)(2024·浙江温州模拟)通过长期数据研究某人驾驶汽车的习惯,发现其行车速度v(单位:km/h)与行驶地区的人口密度p(单位:人/km2)有如下关系:v=50·(0.4+e-0.00004p),如果他在人口密度为a的地区行车时速度为65km/h,那么他在人口密度为的地区行车时速度约是(

)A.69.4km/h B.67.4km/hC.62.5km/h D.60.5km/h√(2)(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(

)A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3=100p0 D.p1≤100