2026高考数学一轮复习-4.5函数y=sin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用【课件】

第6节函数y=sin(ωx+)的图象与性质及三角函数模型的应用[课程标准要求]1.了解函数y=Asin(ωx+)的物理意义,能画出y=Asin(ωx+)的图象,了解参数A,ω,对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.y=Asin(ωx+)的有关概念ωx+2.用“五点法”画y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个关键点如表所示:0π2π3.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图象的两种途径1.函数y=Asin(ωx+)+k图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.2.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是||个单位长度;先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是(ω>0)个单位长度.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).√(1)将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,得到函数y=cosx的图象.(

)(2)将y=sin(-2x)的图象向右平移个单位长度,得到y=sin(-2x-)的图象.(

)×(3)利用图象变换作图时,可以“先平移,后伸缩”,也可以“先伸缩,后平移”,平移的长度一致.(

)×√√√解析:要得到函数y=sin(x-)的图象,可以将函数y=sinx的图象向右平移个单位长度.故选B.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一函数y=Asin(ωx+)的图象及变换√√(1)由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.(2)函数y=Asin(ωx+)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+计算五点坐标.[针对训练]√(2)若将函数f(x)=sin(ωx+)(0<ω<7)的图象向右平移个单位长度后恰与f(x)的图象重合,则ω的值是

.

6考点二根据图象确定函数y=Asin(ωx+)的解析式√确定y=Asin(ωx+)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则

(2)求ω.确定函数的最小正周期T,则(3)求.常用方法如下:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.√(2)(2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=cos(ωx+)在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为(

)√考点三函数y=Asin(ωx+)图象与性质的综合问题角度一综合应用√√解析:由函数f(x)的最小正周期为π,因为此函数为奇函数,则经过原点(0,0),角度二零点或方程根角度三实际应用[例5](多选题)如图(1),筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今在农业生产中仍得到使用.如图(2),一个筒车按照逆时针方向旋转,筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(P在水下则d为负数),d与时间t(单位:s)之间的关系是,则下列说法正确的是(

)A.筒车的半径为3m,旋转一周用时60sB.筒车的轴心O距离水面的高度为1mC.盛水筒P出水后至少经过20s才可以达到最高点D.t∈(40,50)时,盛水筒P处于向上运动状态√√解得t=20+60k(k∈Z),又t≥0,所以当k=0时,tmin=20s,即盛水筒P出水后至少经过20s才可以达到最高点,C正确;(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数,与三角函数有关的零点个数问题,常用数形结合思想求解.(3)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.[针对训练]√√(2)(角度三)如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0,角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(

)√类型一三角函数的单调性、对称性与ω微点提能6三角函数中ω的求解三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为,这就说明,可根据三角函数的对称性来研究其单调性、周期性,解决问题的关键在于运用整体代换的思想,建立关于ω的不等式组,进而可以研究ω的取值范围.[拓展演练](2024·湖北黄冈模拟)已知函数y=f(x)的图象是由函数y=cosωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度所得,若函数y=f(x)在区间(π,2π)上单调,则ω的取值范围是

.

类型二三角函数的零点与ω[典例2](2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是

.

[2,3)解析:因为0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ,令f(x)=cosωx-1=0,则cosωx=1有3个根,令t=ωx,则cost=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ],结合余弦函数y=cost的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3.三角函数两个零点之间的“水平间隔”为,根据三角函数的零点个数,可以研究ω的取值.类型三三角函数的最值(极值)与ω[典例3]已知函数g(x)=sin(ωx+)的部分图象如图所示,且g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1,最小值为-1),则ω的取值范围是(

)√利用三角函数的最值(极值