2026高考数学一轮复习-4.6解三角形的应用举例【课件】

第8节解三角形的应用举例[课程标准要求]能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°

方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α例:(1)北偏东α:(2)南偏西α:坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角);坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),即i==tanθ1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)仰角与俯角都是视线与铅垂线所成的角.(

)(2)方位角的范围是(0,π).(

)(3)两个不能到达的点之间无法求两点间的距离.(

)(4)在方向角中,始边一定是南或北,旋转方向一定是顺时针.(

)××××2.一船向正北航行,看见正西方向有相距10km的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时(

)A.5km B.5kmC.10km D.10km√解析:如图所示,由题意知∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,可得CD=CA=10,在Rt△ABC中,AB=AC=5,所以这艘船的速度为=10(km/h).故选C.3.(必修第二册P53习题6.4T8改编)某人在山外一点测得山顶的仰角为42°,沿水平面退后30m,又测得山顶的仰角为39°,则山高为(

)(sin42°≈0.6691,sin39°≈0.6293,sin3°≈0.0523)A.180m B.214m C.242m D.266m√解析:依题意,如图所示,∠BCA=42°,∠BDA=39°,则∠DBC=3°,DC=30m,在△BDC中,故选C.4.如图所示,一艘船航行到点A处时,测得灯塔C与其相距30km,随后该船以20km/h的速度,沿直线向东南方向航行1小时后到达点B,测得灯塔C在其北偏东25°方向,则sin∠ACB等于(

)√解析:由题意可知,∠ABC=45°+25°=70°,AB=20km,AC=30km,由正弦定理可得,代入数据得sin∠ACB=sin70°.故选A.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一距离问题[例1]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图中海洋蓝洞的口径为

.

解析:由已知得,在△ADC中,∠DCA=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC=15°,由正弦定理得在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,所以∠DBC=30°,距离问题的解法选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正弦、余弦定理求解.[针对训练]如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为

km.

7解析:因为A,B,C,D四点共圆,所以B+D=π,所以由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosD=52+32-2×5×3cosD=34-30cosD,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=52+82-2×5×8cosB=89-80cosB,因为B+D=π,即cosB=-cosD,考点二高度问题[例2]某同学为了估算某楼的高度,采用了如图所示的方式来进行测量:在地面选取相距90m的C,D两观测点,且C,D与该楼底部B在同一水平面上,在C,D两观测点处测得该楼顶部A的仰角分别为45°,30°,并测得∠BCD=120°,则该楼AB的估计高度为

m.

90解析:在Rt△ABC中,∠ACB=45°,所以BC=AB,在Rt△ABD中,∠ADB=30°,在△BCD中,∠BCD=120°,CD=90,由余弦定理,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos120°,即3AB2=AB2+902-2×90×(-)AB,解得AB=90或AB=-45(舍去),即该楼AB的估计高度为90m.(1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角.(2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图.(3)运用正弦、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想的运用.[针对训练](2024·安徽蚌埠模拟)圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”).当正午阳光照射在表上时,影子就会落在圭面上,圭面上影子长度最长的那一天定为冬至,影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据某市(北纬32.92°)的地理位置设计的圭表的示意图,已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)约为33.65°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)约为80.51°.圭面上冬至线和夏至线之间的距离(即BD的长)为7m,则表高(即AC的长)约为(

)√考点三角度问题[例3]位于灯塔A处正西方向相距(5-5)km的B处有一艘甲船需要海上救援,位于灯塔A处北偏东45°相距5km的C处的一艘乙船前往营救,则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西(

)A.30° B.60° C.75° D.45°√(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.(2)方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.[针对训练]如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若C