2026高考数学一轮复习-6.2等差数列【课件】

第2节等差数列[课程标准要求]1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数的关系.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从

起,每一项与它的前一项的

都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.用符号表示为

(n∈N*,d为常数).(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是

,其中A叫做a,b的

.第2项差an+1-an=d等差中项2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式:an=

.(2)前n项和公式:Sn=

=.a1+(n-1)dna1+d(1)当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且一次项系数为公差d.若公差d>0,则为递增数列,若公差d<0,则为递减数列.3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+

(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,则①2an=an-1+an+1(n∈N*,n>1).②2an=an-k+an+k(n,k∈N*,n>k).③k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则

.(n-m)dak+al=am+an(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}和{a2n+1}也是等差数列,公差为

.(4)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为

的等差数列.(5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.2dmd(6)公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,则{}也为等差数列,且公差为.1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.2.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).3.若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.4.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则

5.关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质(2)若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,(1)若项数为2n,则S偶-S奇=nd,1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(

)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(

)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其前n项和公式为n的二次函数.(

)(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(

)√×××2.已知等差数列{an}中,a2=5,a6=10,则数列{an}的公差为(

)A.-1 B.- C. D.1√解析:设等差数列{an}的公差为d.3.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于(

)A.31 B.32 C.33 D.34√4.已知数列{an}中,a1=1且(n∈N*),则a10=

.

02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一等差数列基本量的运算[例1]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则=

.

解析:由a1≠0,a2=3a1,可得d=2a1,所以S10=10a1+d=100a1,S5=5a1+d=25a1,所以=4.4等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.(3)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.[针对训练]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(

)A.1 B.2 C.4 D.8√考点二等差数列的判定与证明[例2]若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.(1)求证:{}成等差数列;(1)证明:当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,(2)求数列{an}的通项公式.等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2.(3)通项公式法:得出an=pn+q后,再根据定义判定数列{an}为等差数列.(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.[针对训练]已知数列{an},a1=,nan+1=(n+1)an+n(n+1),试求数列{an}的通项公式.考点三等差数列的性质角度一等差数列项的性质[例3]已知{an}是等差数列,ak=10,a3k=20(k∈N*),则a9k=

.

50解析:ak,a3k,a5k,a7k,a9k构成等差数列,设公差为m,则m=a3k-ak=10,a9k=ak+(5-1)m=50.[例4](1)一个正项等差数列前n项的和为3,前3n项的和为21,则前2n项的和为(

)A.18 B.12 C.10 D.6角度二等差数列和的性质√解析:(1)因为{an}是等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,即2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n),因为Sn=3,S3n=21,所以2(S2n-3)=3+21-S2n,解得S2n=10.故选C.A.1 B.-1 C.2 D.√(1)项的性质在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.因此,若出现am-n,am,am+n等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件;若求am项,可由am=(am-n+am+n)转化为求am-n,am+n或am-n+an+m的值.(2)和的性质在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1).②S2n-1=(2n-1)an.③依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.[针对训练](1)(角度一)(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5等于(

)A.25 B.22 C.20 D.15解析:(1)a2+a6=2a4=10,a4a8=45,所以a4=5,a8=9,d==1,于是a3=a4-d=5-1=4,所以S5=5a3=20.故选C.√(2)(角度二)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2020,

则S2023等于(

)A.2023 B.-2023C.4046 D.-4046√考点四等差数列的前n项和及其最值[例5]在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.解:设等差数列{an}的公差为d,因为a1=20,S10=S15,所以10×20+d=15×20+d,所以d=-.得a13=0.即当n≤12时,an>0,当n≥14时,an<0.所以当n=12或n=13时,Sn取得最大值,且最大值为S12=S13=12×20+=130.因为n∈N*,所以当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn(a≠0,n∈N*),通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,进而求Sn的最值.①当a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值Sm(当am+1=0时,Sm+1也为最大值);②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值Sm(当am+1=0时,Sm+1也为最小值).[针对训练]在等差数列{an}中,若<-1,且其前n项和Sn有最小值,则当Sn>0时,n