2026高考数学一轮复习-6.4数列求和【课件】

第4节数列求和[课程标准要求]1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基数列求和的常用方法(1)公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和.①等差数列的前n项和公式:②等比数列的前n项和公式:(2)分组转化法把数列适当拆分,分为几个等差、等比数列,先分别求和,然后再合并.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式:⑥设等差数列{an}的公差为d,(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).√××√(2)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan之和时,只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得.(

)(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数).(

)√3.数列{an}的通项公式是an=(-1)n(2n-1),则该数列的前100项之和为(

)A.-200 B.-100 C.200 D.100解析:S100=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.故选D.√4.若an=2n+1,且bn=则数列{bn}的前2n项和T2n=

.

02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一分组求和与并项求和(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和.(2)通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.(3)形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.[针对训练]记数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2n+1.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)当n=1时,由Sn=2an-2n+1,可得a1=S1=2a1-2+1,即有a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2n+1-2an-1+2(n-1)-1,即an=2an-1+2,可得an+2=2(an-1+2),显然an-1+2≠0.所以数列{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列,则an+2=3·2n-1,即有an=3·2n-1-2.(2)记bn=(-1)n·log2,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(2)bn=(-1)n·log2=(-1)n·log22n=(-1)n·n.当n为偶数时,Tn=-1+2-3+4-…-(n-1)+n=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(n-1)+n]=.当n为奇数时,Tn=-1+2-3+4-…+(n-1)-n[例2]已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)由题设知a1a4=a2a3=8,又a1+a4=9,设等比数列{an}的公比为q,由a4=a1q3得q=2,故an=a1qn-1=2n-1,n∈N*.考点二裂项相消法求和(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.裂项相消法求和(2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.[针对训练]Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,+2an=4Sn+3.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.[例3](2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.(1)求{an}的通项公式;解:(1)因为2Sn=nan,当n=1时,2a1=a1,即a1=0,当n=3时,2(1+a3)=3a3,即a3=2,当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-1,所以2(Sn-Sn-1)=nan-(n-1)an-1=2an,化简得(n-2)an=(n-1)an-1,考点三错位相减法求和即an=n-1,当n=1,2,3时都满足上式,所以an=n-1(n∈N*).(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法,一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.[针对训练](2020·全国Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求{an}的公比;解:(1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去)或q=-2.故{an}的公比为-2.(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.解:(2)记Sn为{nan}的前n项和.由(1)及题设可得