2026高考数学一轮复习-7.5利用空间向量证明平行和垂直【课件】

第6节利用空间向量证明平行和垂直[课程标准要求]理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.若A,B是直线l上的两点,则是直线l的方向向量.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m=0l⊥αn∥m⇔n=λm(λ∈R)平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔n=λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m=01.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)直线的方向向量是唯一确定的,平面的单位法向量也是唯一确定的.(

)(2)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.(

)(3)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.(

)(4)若两平面的法向量平行,则两平面平行,若两平面的法向量垂直,则两平面垂直.(

)×√√×√2.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是(

)A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直3.直线l的方向向量a=(1,2,-1),平面α的一个法向量m=(-2,-4,k),若l⊥α,则实数k=

.

2解析:因为l⊥α,所以l的方向向量a=(1,2,-1)与平面的法向量m=(-2,-4,k)共线,所以存在实数λ,使a=λm,即解得4.(选择性必修第一册P33练习T1改编)设u,v分别是平面α,β的法向量,u=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时,α与β的位置关系为

;当v=(4,-4,-10)时,α与β的位置关系为

.

α⊥βα∥β解析:当v=(3,-2,2)时,u·v=(-2,2,5)·(3,-2,2)=0⇒α⊥β.当v=(4,-4,-10)时,v=-2u⇒α∥β.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一平面的法向量、直线的方向向量及其应用√[例1](1)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是(

)A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2)C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)解析:(1)设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),设向量n=(x,y,z)是平面AEF的法向量,取y=1,得z=-2,x=-4,则n=(-4,1,-2),结合其他选项,只需和n=(-4,1,-2)共线即可,检验可知,A,C,D选项均不与n=(-4,1,-2)共线.所以能作为平面AEF的法向量只有选项B.故选B.(2)在空间直角坐标系内,平面α经过三点A(1,0,2),B(0,1,0),C(-2,1,1),向量n=(1,λ,μ)是平面α的一个法向量,则λ+μ等于(

)A.-7 B.-5 C.5 D.7√(3)已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过点A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,则a+b等于(

)A.0 B.1 C. D.3√(1)直线的方向向量的确定:若l是空间的一条直线,A,B是l上任意两点,则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量.(2)平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两个不共线向量,n为平面α的一个法向量,则可用方程组求出平面α的一个法向量n.[针对训练](1)(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,给出下列结论中,正确的是(

)A.直线BD1的一个方向向量为(-2,2,2)B.直线BD1的一个方向向量为(2,2,2)C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)√√(2)直线l的方向向量是s=(1,1,1),平面α的法向量n=(1,x2-x,-x),若直线l∥α,则x=

.

1解析:(2)由题意可知,s⊥n,因为s=(1,1,1),n=(1,x2-x,-x),从而s·n=1+x2-x-x=0,解得x=1.考点二利用向量证明平行问题[例2](2024·湖南长沙模拟)如图,在多面体ABCDE中,平面ACD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC,△ABC和△ACD均为正三角形,AC=4,BE=,点F在AC上.若BF∥平面CDE,求CF.解:记AC中点为M,连接DM,BM,因为△ACD为正三角形,AC=4,则DM⊥AC,且DM=.因为平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,DM⊂平面ACD,所以DM⊥平面ABC,所以DM⊥BM,又△ABC为正三角形,所以BM⊥AC,所以BM=,(1)证明线线平行的方法①向量法:设直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1∥l2,只需证明a∥b,即a=kb(k∈R).②几何法:利用线面平行的性质定理和面面平行的性质定理求解.(2)证明线面平行的方法①向量法:设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证明l∥α,只需证明a⊥u,即a·u=0,注意说明直线l⊄平面α.②几何法:利用线面平行的判定定理求解.(3)证明面面平行的方法①向量法:求出平面α,β的法向量u,v,则要证明α∥β,只需证明u∥v.②几何法:利用面面平行的判定定理求解.[针对训练]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证:B1C∥平面ODC1.[例3](2024·广东深圳模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.求证:平面AD1F⊥平面ADE.考点三利用向量证明垂直问题证明:设棱长为2,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),D1(0,0,2),取y=1,得n=(0,1,-2),设平面AD1F的法向量m=(a,b,c),取a=1,得m=(1,2,1),所以n·m=0+2-2=0,则平面AD1F⊥平面ADE.(1)证明线线垂直的方法①向量法:证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可.②几何法:利用线面垂直的性质求解.(2)证明线面垂直的方法①向量法:分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积,由数量积为0及线面垂直的判定定理即可得证.②几何法:由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理求解.(3)证明面面垂直的方法①向量法:证明两平面的法向量垂直或证明一个平面的法向量平行于另一个平面.②几何法:利用面面垂直的判定定理求解.[针对训练]如图,已知直三棱柱ABC-FGE,AC=BC=4,AC⊥BC,O为BC的中点,D为侧棱BG上一点,且BD=BG,三棱柱ABC-FGE的体积为32.过点O作OQ⊥DE,垂足为点Q,求证:BQ⊥平面ACQ.[例4]如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证:BD⊥AA1;考点四平行与垂直关系中的探索性问题(1)证明:设BD与AC交于点O,则BD⊥AC,连接A1O,在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°,由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,A1O⊂平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABCD.(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.与空间平行、垂直关系有关的探索性问题,解答时,一般先假设存在这样的点,再建立空间直角坐标系,设出该点的坐标,将直线与平面的垂直关系转化为直线的方向向量与平面的法向量的关系,利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程(组).若方程(组)有解,则点存在;否则,点不存在.[针对训练](2024·湖南株洲模拟)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,侧面PAB是等边三角形,BC=2AB,AC=AB,PB⊥AC.(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;(1)证明:在△ABC中,因为BC=2AB,AC=AB,所以AC2+AB2=BC2,所以AC⊥AB,又AC⊥PB,PB∩AB=B,且PB,AB⊂平面PAB,所以AC⊥平面PAB,又AC⊂平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD.(2)设Q