2026高考数学一轮复习-7.6空间向量及空间位置关系【课件】

第5节空间向量及空间位置关系[课程标准要求]1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念名称概念表示零向量长度为

的向量0单位向量模为

的向量—相等向量方向

且模

的向量

.相反向量方向

且长度

的向量a的相反向量-a01相同相等a=b相反相等共线向量(平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相

的向量

.共面向量平行于同一个

的向量—平行或重合a∥b平面(2)空间向量中的有关结论①任意两个空间向量a与b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb;②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空间的一个

.基底2.空间向量的数量积及坐标运算(1)两个非零空间向量的数量积①a·b=

;②a⊥b⇔

;③设a=(x,y,z),|a||b|cos<a,b>a·b=0(2)空间向量的坐标运算项目a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=

.向量差a-b=

.数量积a·b=

.共线a∥b⇒a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)垂直a⊥b⇔

.夹角公式cos<a,b>=

.(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)a1b1+a2b2+a3b3a1b1+a2b2+a3b3=01.空间向量基本定理(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.(2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量.(3)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.2.证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:3.证明空间四点共面的方法对空间四点P,M,A,B除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明四点共面:1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)对于非零向量b,若a·b=b·c,则a=c.(

)(2)对空间任意两个向量a,b,a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb.(

)(3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(

)(4)在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定是(0,b,c).(

)××√×√√2.(选择性必修第一册P12练习T1改编)若{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各项中能构成空间的基底的一组向量是(

)A.{a,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b}C.{c,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b}解析:对于A,因为(a+b)+(a-b)=2a,所以a,a+b,a-b共面,不能构成基底,排除A;对于B,因为(a+b)-(a-b)=2b,所以b,a+b,a-b共面,不能构成基底,排除B;对于D,a+2b=(a+b)-(a-b),所以a+b,a-b,a+2b共面,不能构成基底,排除D;对于C,若c,a+b,a-b共面,则c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b(λ,μ∈R),则a,b,c共面,与{a,b,c}为空间的一个基底相矛盾,故c,a+b,a-b可以构成空间的一个基底.故选C.3.下列各组向量中,不是平行向量的是(

)A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)解析:对于A,有b=-2a,所以a与b是平行向量;对于B,有d=-3c,所以c与d是平行向量;对于C,f是零向量,与e是平行向量;对于D,不存在实数λ使g=λh,所以g与h不是平行向量.故选D.√02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一空间向量的线性运算√√√用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.[针对训练](1)已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,则实数m的值为(

)√√考点二共线定理、共面定理的应用(2)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且|BE|=|BB1|,|DF|=|DD1|.求证:A,E,C1,F四点共面.(1)利用共线向量定理可以判断证明直线的平行与三点共线问题.(2)利用共面向量定理可以判定空间四点是否共面以及证明线面平行问题.(1)已知空间四个点A(-3,x,3),B(-2,-1,4),C(0,3,0),D(1,1,1)在同一个平面内,则实数x等于(

)A.1 B.-2 C.0 D.-1[针对训练]√(2)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于

.(3)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n=

.

-3[例3](1)(2024·山东聊城质检)设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于(

)考点三空间向量的数量积及其应用√(2)(2023·河北沧州质检)已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为(

)A.30° B.60° C.120° D.150°√因为0°≤α≤180°,所以α=60°.因为a+b=-a,即a+b与a的方向相反,所以a与c的夹角为120°.故选C.(3)(2024·湖北襄阳质检)已知空间向量a=(1,0,1),b=(2,-1,2),则向量b在向量a上的投影向量是

.(2,0,2)(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式,可以求空间角.(3)可以通过|a|=,将向量