2026高考数学一轮复习-7.7利用空间向量求空间距离【课件】

第7节利用空间向量求空间距离[课程标准要求]1.会求空间中两点的距离、点到直线的距离、点到平面的距离.2.以空间向量为工具,探究空间几何体中线、面的位置关系存在的条件.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.两点的距离(1)利用A,B两点间的距离为||,结合向量的模和数量积求解.2.点到直线的距离3.点到平面的距离4.相互平行的直线与平面之间的距离如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离为d=.5.相互平行的平面与平面之间的距离如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α与平面β内的点,则平面α与平面β之间的距离为d=.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.(

)(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.(

)(3)直线l平行于平面α,则直线l上各点到平面α的距离相等.(

)(4)直线l上两点到平面α的距离相等,则l平行于平面α.(

)×√××2.平面α的法向量n=(1,-1,2),点B在α上且B(2,2,3),则P(-2,1,3)到α的距离为

.3.(选择性必修第一册P35练习T1改编)已知直线l过定点A(2,3,1),且u=(0,0,1)为其一个方向向量,则点P(4,3,2)到直线l的距离为

.24.若两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量为n=(-1,0,1),则两平面间的距离是

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02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一用空间向量求点到直线的距离[例1]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求点C1到直线BD1的距离.利用空间向量求点到直线距离的常用方法方法一:建立空间直角坐标系,利用垂直与共线关系求出垂足的位置,再由两点间的距离公式可得;方法二:先求出直线的方向向量u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,则点P到直线l的距离为.√考点二用空间向量求点到平面的距离[例2]在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AA1=8,E为CC1中点,O1为下底面正方形的中心.求O1到平面ABE的距离.用向量法求点面距离的步骤(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.(3)求向量:求出相关向量的坐标(,α内两个不共线向量,平面α的法向量n).(4)求距离:d=.[针对训练]如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2.求点P到平面DEF的距离.解:如图,以A为原点,直线AB,AC,AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,[例3]在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DD1的中点,则平面ADE与平面B1C1F之间的距离为

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考点三用空间向量求线线、线面、面面的距离解析:以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,连接AB1,因为AD,B1C1不在同一条直线上,则AD∥B1C1,因为AD⊄平面B1C1F,B1C1⊂平面B1C1F,则AD∥平面B1C1F,同理可证,AE∥平面B1C1F,AD∩AE=A,AD,AE⊂平面ADE,故平面ADE∥平面B1C1F,取x=1,可得n=(1,0,-2),(1)线线距离常常转化为点到直线的距离求解.(2)如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.(3)如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.[针对训练]如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,BC=CD=1,底面ABCD的面积为,E为PD的中点.(1)证明:CE∥平面PAB;(1)证明:记AD的中点为O,连接OE,OC,因为BC∥AD,CD⊥AD,所以底面ABCD为直角梯形,所以AO=1,所以AOBC,所以四边形ABCO为平行四边形,故AB∥OC,因为OC⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以OC∥平面PAB.因为O,E分别为AD,PD的中点,所以OE∥AP,进而得证,OE∥平面PAB,又OE∩OC=O,OE,OC⊂平面OCE,所以平面OCE∥平面PAB,又CE⊂平面OCE,所以CE∥平面PAB.(2)求直线CE与平面PAB间的距离.(2)解:因为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,AD=2,所以OP=AD=1,PO⊥AD,由(1)可知,OB∥CD,CD⊥AD,所以BO⊥AD.又因为平面PAD