2026高考数学一轮复习8.6双曲线【课件】

第6节双曲线[课程标准要求]1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.双曲线的定义一般地,把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个

叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|,|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且c>a>0}.定点若2a=2c,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>2c,则轨迹不存在;若2a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈R

对称性对称轴:

;对称中心:

顶点

A1(0,-a),A2(0,a)渐近线离心率,e∈(1,+∞)y≤-a或y≥a,x∈R坐标轴原点A1(-a,0),A2(a,0)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=

a2+b23.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为

,离心率为.y=±x1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为虚半轴长b.2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为.4.与双曲线(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为(λ≠0).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(

)(2)方程(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(

)(3)双曲线(a>0,b>0)的渐近线相同.(

)(4)双曲线(a>0,b>0)的形状相同,离心率相同.(

)×√××2.若方程表示双曲线,则实数m的取值范围为(

)A.(5,+∞) B.(4,+∞)C.(4,5) D.(-∞,4)∪(5,+∞)√解析:方程表示双曲线,则(m-5)(2m-8)>0,解得m>5或m<4.故选D.3.双曲线的离心率为(

)√解析:由题意得a2=16,b2=9,4.双曲线2y2-x2=1的渐近线方程是(

)√解析:令2y2-x2=0得.故选C.5.(选择性必修第一册P127T6改编)已知双曲线

(a>0,b>0)过点

,且离心率为2,则该双曲线的标准方程为

.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一双曲线的定义及应用角度一根据定义判断曲线的形状[例1]已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(

)A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆√解析:如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,所以|MF2|=2|ON|=2.因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,所以由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.故选B.求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法寻找几何关系列出动点满足的关系式,结合是否满足双曲线的定义,得出相应的方程.求解时要注意判断所求轨迹对应的是双曲线的一支还是两支,同时要注意与椭圆定义的区别.角度二双曲线的焦点三角形[例2]双曲线的两焦点为F1,F2,点P在双曲线上,直线PF1,PF2的倾斜角之差为则△PF1F2的面积为(

)C.32 D.42√整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100,①根据点P在双曲线上可得||PF1|-|PF2||=6,则(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,②①-②得,|PF1||PF2|=64,则△PF1F2的面积为(1)涉及双曲线上的点到焦点的距离问题的易错点:若F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在双曲线上,若|PF1|≥a+c,则点P可在双曲线的两支上,若|PF1|<a+c,则点P只在双曲线的左支上.(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1||PF2|的联系.[针对训练](1)(角度一)与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在(

)A.一个椭圆上 B.一个圆上C.一条直线上 D.双曲线的一支上√解析:(1)由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,画出圆O:x2+y2=1与圆M:(x-4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r,因为圆P与圆O和圆M都外切,所以|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,所以根据双曲线定义知点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.故选D.(2)(角度二)(2024·福建福州模拟)设P是双曲线

上一点,F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于(

)A.1B.17C.1或17D.8√解析:(2)对于,a2=16,b2=20,所以c2=a2+b2=36,a=4,c=6,又|PF1|=9<a+c,所以点P在双曲线的左支,则有|PF2|-|PF1|=2a=8,所以|PF2|=17,故选B.考点二双曲线的标准方程[例3](1)若双曲线C1与双曲线有相同的焦距,且C1过点(3,1),则双曲线C1的标准方程为(

)√(2)在平面直角坐标系中,双曲线C过点P(1,1),且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x-y=0,则双曲线C的标准方程为(

)√解析:(2)设双曲线方程为4x2-y2=λ(λ≠0),又其过点P(1,1),所以λ=4×12-12=3,所以方程为4x2-y2=3,即.故选B.求双曲线的标准方程的方法(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2.(2)待定系数法:求双曲线的标准方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为

(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根据条件求解.[针对训练](1)过点(2,1)的等轴双曲线的标准方程为(

)√解析:(1)设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0),代入点(2,1),得λ=3,故所求双曲线的方程为x2-y2=3,其标准方程为.故选A.(2)经过点P的双曲线的标准方程是(

)√解析:(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),考点三双曲线的简单几何性质角度一渐近线[例4]已知双曲线(a>0,b>0)的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形,则C的渐近线方程为(

)√角度二离心率[例5](2024·山东烟台调研)已知F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,若sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,则双曲线C的离心率的取值范围为

.(1,2)解析:在△PF1F2中,sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,由正弦定理得|PF1|=3|PF2|,又点P是双曲线C上第一象限内的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a,在△PF1F2中,由|PF1|+|PF2|>|F1F2|,得3a+a>2c,即2a>c,所以又e>1,所以1<e<2.求双曲线离心率或其范围的常用方法:(1)求a及b或c的值,由离心率公式求e;(2)将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用c2=a2+b2和转化为关于e的方程(或不等式),通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).角度三双曲线几何性质的综合应用[例6]已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=36的左、右焦点,A是双曲线C右支上(顶点除外)任意一点,若∠F1AF2的角平分线与以AF1为直径的圆交于点B,则△BF1F2的面积的最大值为(

)√解析:由题可知,C的实轴长2a=12,如图,延长AF2,F1B交于点D,因为点B在以AF1为直径的圆上,所以AB⊥F1B,又AB为∠F1AF2的角平分线,所以|AF1|=|AD|,B为F1D的中点.连接OB,则OB是△DF1F2的中位线.由双曲线的定义知|AF1|-|AF2|=2a=12,故|F2D|=|AD|-|AF2|=|AF1|-|AF2|=12,所以,故点B的轨迹是以原点O为圆心,6为半径的圆,轨迹方程为x2+y2=36.显然,当点B的坐标为(0,6)或(0,-6)时,△BF1F2的面积取得最大值,最大值.故选C.(1)双曲线几何性质的综合应用涉及知识面较宽,如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识,在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.(2)与双曲线有关的取值范围问题的解题思路①若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解.②若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.[针对训练](1)(角度一)(2022·北京卷)已知双曲线

的渐近线方程为,则m=

.-3(2)(角度二)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,

,则C的离心率为

.解析:(2)依题意,设|AF2|=2m,则|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m,在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,则(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去),所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,则|AB|=5a,(3)(角度三)若坐标原点O和点F(-2,0)分别为双曲线(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,求的最小值.(3)解:因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方程为1.焦点三角形的面积及离心率公式微点提能10椭圆、双曲线中的二级结论2.中心弦的性质设A,B为圆锥曲线关于原点对称的两点,点P是曲线上与A,B不重合的任意一点,则kAP·kBP=e2-1.3.中点弦的性质设圆锥曲线以M(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.4.焦半径公式(1)当点M(x0,y0)在椭圆

(a>b>0)上时,有|MF1|=ex0+a,|MF2|=-ex0+a.(2)当点M(x0,y0)在双曲线

(a>0,b>0)的右支上时,有|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;当点M(x0,y0)在双曲线(a>0,b>0)的左支上时,有|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.5.焦点弦定理B.-4 D.-2知识或方法的应用方法一利用中点弦的性质求离心率[典例1]已知斜率为k1(k1≠0)的直线l与椭圆交于A,B两点,线段AB的中点为C,直线OC(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1·k2等于(

)√(1)若AB是不过椭圆(a>b>0)中心的弦,M是弦AB的中点,且AB,OM都存在非零斜率kAB,kOM,则有kAB·kOM=.(2)若AB是不过双曲线(a>0,b>0)中心的弦,M是弦AB的中点,且AB,OM都存在非零斜率kAB,kOM,则有kAB·kOM=.[拓展演练]已知倾斜角为的直线与双曲线(a>0,b>0)相交于A,B两点,M(4,2)是弦AB的中点,则双曲线的离心率为(

)√方法二利用焦点三角形求离心率[典例2](1)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为(

)√(2)已知F1,F2是双曲线的左、右焦点,点M在E上