2026高考数学一轮复习8.8直线与圆锥曲线的位置关系【课件】

第8节直线与圆锥曲线的位置关系[课程标准要求]1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.直线与圆锥曲线的位置判断将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与圆锥曲线相交⇔Δ

0;直线与圆锥曲线相切⇔Δ

0;直线与圆锥曲线相离⇔Δ

0.>=<(1)与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交,有且只有一个交点.(2)与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交,有且只有一个交点.2.弦长公式已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0),1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)过点的直线一定与椭圆相交.(

)(2)“直线l与椭圆C相切”的充要条件是“直线l与椭圆C有且只有一个公共点”.(

)(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C有且只有一个公共点”.(

)(4)“直线l与抛物线C相切”的充要条件是“直线l与抛物线C有且只有一个公共点”.(

)×√√×2.过点(0,1)作与双曲线

仅有一个公共点的直线,这样的直线有(

)A.1条

B.2条

C.3条

D.4条√解析:结合图形分析可知,满足题意的直线共有4条,即过点(0,1)且平行于渐近线的两条直线以及过点(0,1)且与双曲线相切的两条直线.故选D.3.(选择性必修第一册P136T3改编)已知直线l:y=x-1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的长是(

)A.2B.4C.8D.16√消去y并整理得x2-6x+1=0,Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,注意到直线l恰好过抛物线的焦点,所以|AB|=x1+x2+2=8.故选C.4.已知点A,B是双曲线上的两点,线段AB的中点是M(3,2),则直线AB的斜率为(

)√02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一直线与圆锥曲线的位置关系[例1](1)(多选题)(2024·江苏模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:kx-y-k=0,椭圆(a>b>0),则下列说法正确的是(

)A.l恒过点(1,0)B.若l恒过C的焦点,则a2+b2=1C.对任意实数k,l与C总有两个公共点,则a≥1D.若a<1,则一定存在实数k,使得l与C有且只有一个公共点√√√解析:(1)方程kx-y-k=0可化为y=k(x-1),所以直线l恒过点(1,0),A正确;设椭圆的半焦距为c(c>0),则焦点的坐标可能为(c,0)或(-c,0),若直线恒过椭圆的焦点,则c=1,所以a2-b2=1,B错误;当a>1时,(1,0)在椭圆内部,直线与椭圆相交;当a=1时,(1,0)在椭圆上,且恰好是椭圆的一个顶点,而直线斜率存在,故直线与椭圆相交;当0<a<1时,(1,0)在椭圆外部,直线与椭圆可以相切、相交或相离,根据以上分析,C,D正确.故选ACD.√(2)抛物线C:y2=4x的准线为l,l与x轴交于点A,过点A作抛物线的一条切线,切点为B,则△OAB的面积为(

)A.1B.2C.4D.8解析:(2)因为抛物线C:y2=4x的准线为l,所以l的方程为x=-1,A(-1,0),设过点A的抛物线的一条切线为x=my-1,m>0,消x得y2-4my+4=0,所以Δ=(-4m)2-4×4=0,解得m=1,所以y2-4y+4=0,解得y=2,即yB=2,同理当m<0时,|yB|=2,所以△OAB的面积为判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法(1)代数法:直线与圆锥曲线方程联立,利用判别式求解;(2)几何法:直线过定点时,若定点在圆锥曲线内部,则直线一定与圆锥曲线相交;若定点在圆锥曲线上,则直线与圆锥曲线相交或相切;若定点在圆锥曲线外部,则直线与圆锥曲线相交、相切或相离.[针对训练]直线y=kx(k>0)与双曲线

没有交点,则k的取值范围为(

)√考点二弦长问题[例2](2024·湖北校联考)已知圆动圆M与圆E相外切,与圆F相内切.(1)求动圆M的圆心的轨迹方程;(2)过点F的两直线l1,l2分别交动圆M圆心的轨迹于点A,C和B,D,|FA|·|FC|=|FB|·|FD|=.求四边形ABCD的面积.解:(2)由题意,直线l1,l2的斜率均不为0.设AC:x=ty+2(t为0时不符合题意),A(x1,y1),C(x2,y2),联立AC与椭圆的方程消x得(t2+2)y2+4ty-4=0,(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线,任何两点的弦长都可以用弦长公式求.(2)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.(3)一般地,经过y轴上点(0,y0)的直线设为y=kx+y0比较简单,经过x轴上点(x0,0)的直线可以设为x=ty+x0比较简单,注意这个设法下,当t≠0时,直线斜率为[针对训练]已知椭圆(a>b>0)的离心率为,AB为过椭圆右焦点的一条弦,且AB长度的最小值为2.(1)求椭圆M的方程;(2)若斜率为1的直线l与椭圆M交于C,D两点,点P(2,0),直线PC的斜率为,求线段CD的长度.考点三中点弦问题[例3]设P1和P2是双曲线上的两点,线段P1P2的中点为M,直线P1P2不经过坐标原点O.(1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2,求证:(2)若双曲线的焦点分别为,点P1的坐标为(2,1),直线OM的斜率为,求由四点P1,F1,P2,F2所围成四边形P1F1P2F2的面积.解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路(1)根与系数的关系法:联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组,消元得到一元二次方程后,由根与系数的关系及中点坐标公式求解.(2)点差法:设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程,并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子,可以大大减少计算量.但是,使用点差法的前提是直线与圆锥曲线相交,注意检验.(3)中点弦的常用结论已知A(x1,y1),B(x2,y2)为圆锥曲线E上的两点,AB的中点为C(x0,y0),[针对训练](2024·河北衡水模拟)已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,短轴顶点分别为M,N,四边形MF1NF2的面积为32.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l交椭圆C于A,B两点,若AB的中点坐标为(-2,1),求直线l的方程.考点四垂直平分弦问题[例4]已知直线l与椭圆交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线平分,设弦MN的垂直平分线的方程为y=kx+m,试求m的取值范围.圆锥曲线的弦的垂直平分线问题的一般解法是:结合题意设出弦的方程,与圆锥曲线的方程联立,消元后利用判别式Δ>0及弦中点既在弦上,又在垂直平分线上的特征求得相应参数的关系式.[针对训练]若双曲线上存在两个点关于直线对称,则实数t的取值范围为