2026高考数学一轮复习-10.2排列与组合【课件】

第2节排列与组合[课程标准要求]1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基排列与组合排列与排列数组合与组合数定义排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照

排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素

,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合一定的顺序作为一组排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有

的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号

表示组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的

的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号

表示不同排列所有不同组合n(n-1)(n-2)…(n-m+1)n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1排列数、组合数常用公式(3)(n+1)!-n!=n·n!.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)两个排列相同的充要条件是两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.(

)(2)10个朋友聚会,每两人握手一次,是排列问题.(

)(3)选择两人去参加同一项活动时无先后顺序.(

)√(4)若组合式

成立,则x=m.(

)×√×2.等于(

)A.35 B.47 C.45 D.57√3.从3名男生与2名女生中选2人去参加同一个会议,要求至少有一名女生,选派的方法种数为(

)A.6 B.7 C.8 D.14√4.(选择性必修第三册P37T1改编)三名歌手和她们各自的指导老师合影,要求每名歌手与她们的老师站一起,这六人排成一排,则不同的排法种数为(

)A.24 B.48 C.60 D.96解析:先将三名歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起,记为三个不同元素进行全排,再将各名歌手和她的指导老师进行全排,则不同的排法种数N==48.故选B.√02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一与排列数、组合数有关的计算[例1](1)(多选题)下列有关排列数、组合数的计算,正确的是(

)√√4即n(n-2)+6n-12=4(n+1),整理得n2=16,解得n=4或n=-4(舍去),即n=4.合理选择以下两种形式(1)运算求解类问题,常常使用“连乘积”形式;(2)在证明类或运算类的化简过程中,多用“阶乘”形式.[针对训练](1)若(n≥3),则正整数n的值为

.

8所以5+6=n+1,解得n=10.(2)(2024·安徽六安模拟)若,则正整数n的值等于

.

10考点二排列问题[例2]甲、乙、丙、丁等6人按下列要求排队,试计算分别有多少种不同的排法.(1)甲不站两端;(2)甲、乙必须相邻;解:(2)把甲、乙看成一个整体然后与其余4人进行全排列,共有=240种排法.(3)甲、乙不相邻;解:(3)先把除甲、乙外的4个人全排列,然后再把甲、乙插入其余4人形成的5个空隙中,共有=480种排法.(4)甲、乙之间间隔两人;(5)甲、乙、丙互不相邻;(6)甲、乙、丙3人与其他3人相互间隔排列;(7)6人排好后,从左向右看甲、乙、丙3人的顺序一定;解:(7)由于甲、乙、丙3人的顺序一定,则满足条件的排法共有=120种.(8)甲不站最左边,乙不站最右边;(9)排成前后两排,前排2人,后排4人.求解排列应用问题的6种主要方法直接法直接利用排列数公式列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空隙当中定序问题除法处理对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法[针对训练](1)(多选题)把5件不同产品A,B,C,D,E摆成一排,则下列说法正确的是(

)A.A与B相邻有48种摆法B.A在C的左边有30种摆法C.A,B相邻又A,C相邻,有12种摆法D.A与B相邻,且A与C不相邻有36种摆法√√√(2)(2024·湖北宜昌模拟)形如45132的数称为“波浪数”,即十位数字,千位数字均比它们各自相邻的数字大,由1,2,3,4,5构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为(

)A.13 B.16 C.20 D.25解析:(2)依题意,由1,2,3,4,5构成的无重复数字的五位“波浪数”的十位、千位数字为5与4或5与3,√考点三组合问题[例3]某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?(1)只有1名女生;解:(1)由题知应选出1名女生,4名男生,故共有=350种.(2)两队长当选;解:(2)将两队长作为一组,其他11人作为一组,故共有=165种.(3)至少有1名队长当选;解:(3)法一至少有1名队长当选包括两类情况:只有1名队长当选和2名队长都当选.(4)至多有2名女生当选;解:(4)至多有2名女生包括三类情况:有2名女生、只有1名女生、没有女生,故选法有=966种.(5)既要有队长,又要有女生当选.组合问题的2种题型及解法题型解法“含”与“不含”的组合问题“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取

“至少”或“至多”的组合问题解这类题型必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理[针对训练](2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有

种(用数字作答).

64解析:(1)当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有=16种.(2)当从8门课中选修3门,①若体育类选修课选修1门,则不同的选课方案共有=24种;②若体育类选修课选修2门,则不同的选课方案共有=24种.综上所述,不同的选课方案共有16+24+24=64(种).考点四排列与组合的综合问题角度一分组与分配问题[例4]有6本不同的书按下列方式分配或分组,问:各有多少种不同的分法?(1)分给甲、乙、丙三人,甲得1本,乙得2本,丙得3本;解:(1)分三步完成:甲选1本、乙选2本、丙选剩下的3本,共有=60种分法.(2)分成1本、2本、3本三组;解:(2)由于分成三组,各组之间的本数不同,因此可直接根据分步乘法计数原理得=60种分法.(3)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;解:(3)由(2)可知分成1本、2本、3本三组,共有60种方法,然后再分给甲、乙、丙三人,所以有60×=360种分法.(4)分成三组,每组都是2本;(5)分给甲、乙、丙三人,每个人2本;(6)分成三组,一组4本,另外两组各1本;解:(6)只需从6本中选4本一组,有=15种分法,其余2本为2组,因此共有15种分法.(7)分给甲、乙、丙三人,其中一个人4本,其余一人1本;解:(7)在问题(6)的基础上,将分成的3组分配给甲、乙、丙3个人,有15=90种不同的分法.(8)甲得1本,乙得1本,丙得4本;(9)分给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少1本.求解分组与分配问题的方法(1)分配问题中,目标与数目确定的可以直接利用组合数及两个计数原理求解.(2)对于分配问题,应先分组后分配.(3)对于不均分分组问题,即各组个数均不相同的问题,可以直接按照组数及各组的元素数目利用组合数求解.(4)对于部分均分分组问题,均分的部分可以参考平均分组问题的求解处理.角度二与几何图形有关的排列组合问题[例5](1)(多选题)(2024·山东济南模拟)如图所示,各小矩形(邻边不相等)都全等,各条线段均表示道路.某销售公司经理从单位A处出发到达B处和C处两个市场调查了解销售情况,行走顺序可以是A→B→C,也可以是A→C→B,该经理选择了最近的路径进行两个市场的调查工作.则他可以选择的最近的不同路线共有(

)A.31条 B.36条

C.210条 D.315条√√解析:(1)设小矩形的长为a,宽为b,则从A→B的最近路线为2a+4b,从A→C的最近路线为3a+2b,综上,该经理可以选择的最近不同路线共有210条或315条.故选CD.(2)由正方体的棱、面对角线和体对角线共可组成

对异面直线.

174几何图形背景下的排列组合问题解题策略(1)明确题目要求,能否建立相应的“模型”.如本例第(2)小题中异面直线问题,可以转化为四面体问题,因为一个四面体中包含三对异面直线,这就大大提高了解题效率.(2)“正难则反”的策略,当遇到直接解决问题情况较多、分类复杂等情况,可以考虑间接手段,即可以先不管限制条件得出总数,再减去不合要求的,剩余的就是所求结果,但要注意,在扣除不合要求的情况时,是否有重复计数问题,以免出现多减了的情况.[针对训练](1)(角度一)某班开展阅读比赛,老师选择了5本不同的课外书,要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书,每天至少选一本阅读,选择的课外书当天需阅读完,则不同的选择方式有(

)A.540种 B.300种C.210种 D.150种√解析:(1)先将每天读书的本数分组,有1,2,2和