2023-2024学年人教版八年级数学上册压轴题专练：分式方程中参数问题的四种考法（解析版）

专题09分式方程中参数问题的四种考法

类型一、整数解问题求参数

x-m<-1

例.若关于X的不等式组x+1X|有解且至多有5个整数解，且关于），的方程

------->-1

24

—r+3=—的解为整数，则符合条件的整数机的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

x-in<-I

【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组x+1x।有解且至多有5个整数

------>-1

24

解，即可求得m的取值范围，再根据一二+3=丹的解为整数，即可写出符合条件的加

），-1\-y

的值.

x-m<-1

【详解】解：解不等式组x+1x।得：-6<xWT+，〃，

------->-1

x-m<-1

回不等式组x+\x|至多有5个整数解,

------>-1

24

6<1\tn<1,

解得一5〈〃区0,

同整数m的值为-4,-3,-2,-1,0,

解方程」7+3=~得：y=

y-1i-y3+"1

又•.y为整数，

当=T时，y=-2,符合题意,

当〃g2时，）一2,符合题意，

当〃?=-1时，7=1,不符合题意,

2

当〃?=0时，y=-,不符合题意,

二符合条件的整数〃，的个数为2,

故选：C.

【点睛】本题考查了已知不等式组的解集求参数，分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等

式组的解集的确定方法是解题的关键.

3xv2（x+2）

【变式训练1】.若关于“的不等式组2'_把上！>£_有且仅有3个整数解，且关于的分

[-—3~~72

式方程-2----c匕iv-■5=]的解是正数，则符合条件的所有抠数〃的和为（）

3-yJ-3

A.6B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有3个整数解，确定出”的范围，分式

方程去分母转化为整式方程，表示出心由x为整数确定出。的值即可.

3x<2(x+2)

//4-4

【详解】解：不等式组4x+la解得：—~<x<4

2x---------->——8

312

团不等式组恰有3个整数解,

Z74-4

00<--^1,解得：-4<«<4

8

团整数〃可以为-3,-2,-L0,1,2,3,4

2ay-5

=1变形=。

3-yy-3

去分母，得纱-5+2+一八解得广言且y为正数

0«+1>0,BP«>-1

团"3

团后工3,解得"1且"T

回符合条件的整数〃为0,2,3,4

04-2+3+4=9

故选C

【点睛】此题考查/分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，热练掌握运算法则是

解本题的关键.

x-a

【变式训练2】,若整数〃使关于x的分式方程+-=--1--的解为非负整数，且使关于y

x-33-x

y+5工y

的不等式组｛3"2至多有3个整数解，则符合条件的所有整数。的和为（）

y-3>2（y-a）

A.24B.12C.6D.4

【答案】B

【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组至多有3个整数解，确定求出。的范围;

再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定〃的值即可解答.

【详解】解：解不等式?得：y>\0,

解不等式y-3>2（y-a）得：），<2〃-3,

010<y<2«-3

团不等式组至多有3个整数解，

府-3W13,

0rz<8.

1x-a

方程----+----

x—33-x

〃+4

l-x+a=x-3,解得：A=-----

2

因分式方程有非负整数解，

^x>0（x为非负整数）且工工3,

回胃对且第工3,

22

的偶数目.。工2,

团-44。〈8且。。2且4为偶数，

团符合条件的所有整数〃的值为：-4,-2,0,4,6,8.

团符合条件的所有整数.。的和是：12.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了解分式方程、一元一次不等式组的整数解等知识点，熟练掌握解一

元一次不等式组和解分式方程是解题的关键.

a-(8x+l3)<0

【变式训练3】.若整数〃使关于“的不等式组kyW有且仅有四个整数解，且使关

2

+1=上

于）'的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数。之和为.

y-22-y

【答案】-2

【分析】根据不等式组的整数解的个数确定。的取值范嗣，再根据分式方程的整数解确定4

的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论.

a-(8x+13)<00

【详解】解：川,号②

解不等式①得：入>三”

O

解不等式②得：x<2

•,,不等式组有且仅有四个整数解，

.3x2且-23<-1

88

解得：-3<«<5；

•.•分式方程_;+1=筝心有整数解，

y-22-y

44

二•解得：），=—^且。+2*0、），=--^2（增根）

a+2a+2

当了为整数时，。+2=-4或-2或-1或1或2或4,

解得々=-6或-4或-3或-1或。或2,

4

a+2工0、y=----工2,

a+2

，。=-6或-4或-3或-1或2:

又二-3<«<5

二.。=-3或-1或2,

则符合条件的所有整数a的和是-3-1+2=-2,

故答案为：—2.

【点睛】本题考查了不等式;组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的

整数解的个数及分式方程的整数解确定〃的取值范围.

类型二、由解的情况求参数

例1.关于x的分式方程”^=1的解为负数，则。的取值范围是（）

X+1

A.a>\B.a<1C.a<1且D.且。工2

【答案】D

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数及分式方程

分母不为。求出。的范围即可.

【详解】解：去分母得：2x+a=x+\,

解得：x=\-a,

由题意得；1一々<0,

解得：a>\

乂因为l+xh0,即1一。+1¥0

所以

综上所述：且。工2

故选D.

【点睛】此题考查了分式方程的解，解题关键是熟练解分式方程，要注意在任何时候都要考

虑分母不为0.

例2.已知不等式2工-相<1的解集为x<l,且关于工的分式方程生产+/一:3的解为非

x-1x-l

负数，则。的取值范围为.

【答案】。二4且

【分析】先根据不等式的解集确定小，再求得方程的解，根据非负性转化为不等式，求解集，

注意增根的陷阱.

【详解】①不等式的解集为x〈怨，又不等式2不一用<1的解集为x<l,

』山+1i

0—=1»

解得〃=?1,

回分式方程变形为空产+」=3,

x-1x-1

解方程，得户4-〃，

回分式方程生二十/一=3的解为非负数，

x-1x-1

04-t7>O.

解得a<4,

团x-l=O时，分式无意义，

团

团1工4一4，

团。w3,

故a的取值范围是aW4且。工3,

故答案为：且。工3.

【点睛】本题考查了根据不等式的解集情况求参数，分式方程的解的情况求参数，正确的求

出不等式的解集，分式方程的解，是解题的关键.

【变式训练1】.关于工的方程%-2=/~的解不小于1,则机的取值范围为________.

x-33-x

【答案】〃?4—7且小？9

【分析】先解分式方程可得x=-6-m，由题意得-6-〃>1,再由xw3,得-6-〃/3,求

出机的取值范围即可.

【详解】解：二\一2二白，

x-33-x

3x-2(x-3)=-m,

3x-2x+6=-m,

x=-6—tn,

同方程的解不小于1,

团一6一，〃>1,

0tn<-7,

团xw3,

团一6一=3,

团加？9,

团〃？的取值范围为：6K-7且〃?？9,

故答案为：，〃工-7且，〃？9.

【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解

题的关键.

【变式训练2】.若数。使关于*的分式方程=+4=3的解为正数，且使关于V的不等

x-22-x

-3(y-2)>4-y

式组”、八的解集为)屁1，则符合条件所有整数”的积为_____.

3()，一〃)<0

【答案】240

【分析】根据分式方程的解为正数即可得出〃<5且。工3,根据不等式组的解集为)*1,即

可得出。>1,找出1<。<5且。工3,中所有的整数，将其相乘即可得出结论.

【详解】解：分式方程=十二=3的解为x且x/2,

x-22-x2

盼式方程二+二=3的解为正数,

x-22-x

7—677-47._

0-->0K-2,

22

团a<7日一。工3,

J-3(y-2)>4-

Ry—a)<0②，

解不等式①，得丁力，解不等式②，得y<〃,

[-3（y-2）>4-y

团关于y的不等式组的解集为.VK1,

[3（y-«）<0

0«>1,

W<a<7且〃工3,又。为整数，则。的值为2,4,5,6

符合条件的所有整数〃的积为2x4x5x6=240,

故答案为：240

【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不

等式组的解集为了41,找出”的取值范围是解题的关键.

mx23

【变式训练3】.已知关于x的分式方程2）（工-6）+二I=三无解'且关于的不等

/zz-y>4

式组）,生3（），+4）有且只有三个偶数解,则所有符合条件的整数加的乘积为（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解,

第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定〃，的值，不

等式组整理后求出解集，根据有且只有三个偶数解确定出〃，的范围，进而求出符合条件的

所有m的和即可.

【详解】解：分式方程去分母得："氏+2@-6）=3（x-2）,

整理得：（6-以-6=0,

分式方程无解的情况有两种，

情况•：整式方程无解时,即〃2-1=0时.方程无解.

0m=1；

情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即m2或x=6,

①当.r=2时，代入（〃?-1）k一6=。，得：2/〃-8=0

解得：得〃?=4.

②当x=6时，代入Q〃-1）与一6=。，得：6〃L12=0,

解得：得〃?=2.

综合两种情况得，当〃『4或〃?=2或〃?=1,分式方程无解;

in-y>4y<m-4

解不等式《得：

y-4<3(y+4)y>-8

根据题意该不等式有且只有三个偶数解,

团不等式组有且只有的三个偶数解为-8,-6,-4,

0-4<//?-4<-2,00</??<2,

综上所述当m=2或机=1时符合题目中所有要求，

同符合条件的整数m的乘积为2x1=2.

故选B.

【点睛】此题考查了分式方程的无解的问题，以及一元一次不等式组的偶数解，其中分式方

程无解的情况有两种情况，一种是分式方程化成整式方程后整式方程无解，另一种是化成整

式方程后有解，但是解为分式方程的增根，易错点是容易忽略某种情况；对于已知一元•次

不等式组解，求参数的值，找到参数所表示的代数式的取值范围是解题关键.

类型三、由增根问题求参数

例.若关于X的分式方程=-7有增根，则机的值为()

x-\x+1X-1

A.1B.-2C.1或一2D.T或2

【答案】C

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0,求出

工的值，代入整式方程求巴〃?的值即可.

【详解】解：去分母得：2〃Z(X+1)+〃7(X-1)=4,

由分式方程有增根，得到x=l或4-1,

把x=l代入整式方程得：2/nx(l+l)+/Wx(|-l)=4

解得：〃?=1；

把下一1代入整式方程得：2mx(-I+l)+/〃x(T-l)=4,

解得：祇=一2；

故选：C.

【点睛】此题考瓷了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0

确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

【变式训练1］若关于＞的分式方程二=有增根，则〃=______.

x+\x+\

【答案】-2

【分析】根据增根的概念，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可.

【详解】解：关于x的分式;方程二=号-2,

X+lX+1

去分母可化为1="2(川)，

又因为关于x的分式方程==/7-2有增根产-1,

x+lx+\

所以x=-l是方程x-l=a-2(x+D的根，

所以a=-2,

故答案为：-2.

【点睛】本题考查分式方程的增根，理解增根的概念和产生过程是正确解答的关键.

【变式训练2】.若关于X的分式方程号-丁一=2有增根，求小的值.

x--42-xx+2

【答案】帆二—8或m二一12

【分析】先将方程转化为整式方程，求出使最简公分母的值为。的未知数的值，代入整式方

程进行求解即可.

【详解】解：分式方程去分母，得：m+2(x+2)=3(x-2),整理，得：x—10=〃?，

团分式方程有增根，0（x+2）（x-2）=O,

团工=2或x=-2,当x=2时，,n=x-10=-8；

当x=-2时，/??=-2-10=-12：团/〃=一8或6=一12.

【点睛】本题考查分式方程有增根的问题.熟练掌握增根是使整式方程成立，使分式方程无

意义的未知数的值，是解题的关键.

类型三、由无解问题求参数

例.分式方程」\+7^-=2无解，则。的值是（）

x-11-x

A.3或2B.-2或3C.-3或3D.-2或2

【答案】A

【分析】分两种情况讨论：①分式方程的分母为0时，无解；②分式方程化为形如的

整式方程后，如果。=0且亦无解.据此即可解答.

【详解】解：将f+「-=2化为整式方程得：av-3=2（x-l）

X-1

整理得：（。-2）工=1

①团分式方程0；+"-=2无解，

x-11-x

0X=1

将X=1代入（。-2）x=l得：a-2=l

0«=3.

②整式方程（。一2）%=1中，

当。-2=0时，方程无解，

此时，a=2

综合①②两种情况可知，〃的值为3或2.

故选：A.

【点睛】本题主要考查分式方程无解的情况，分情况讨论分式方程无解的条件是解题关健.

【变式训练1】.关于工的方程当+学竺=-1无解，则机的值为_____.

x—33—x

【答案】-1或-《

【分析】方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得T-〃7=0或戈=3,分别求出〃?

值即可.

【详解】去分母得：3-2x-（2+/nr）=3-x,

整理得：（-l-/n）x-2=0,

当一1一/〃=0,即，〃=-1时，方程无解；

25

当一1一〃?wO,x=3时，方程无解，即x二一；——=3,解得：m=--,

-1-m3

团A的值为-1或-g.故答案为：-1或-;.

【点睛】此题考查分式方程无解的情况，分情况求出方程中未知数的值，解题中注意运用分

类思想解答.

【变式训练2].若关于x的分式方程三十与=三无解，则，"的值为

x-2x'-4x+2

【答案】10或-4或3

【分析】分式方程无解的堵况有两种：(1)原方程存在增根；(2)原方程约去分母后，整式

方程无解.

【详解】解：(1)%=-2为原方程的增根，

此时有2(x+2)+mr=5(x-2),g|J2x(-2+2)-2/n=5x(-2-2),

解得〃z=10；

(2)尤=2为原方程的增根.

此时有2(x+2)+,〃r=5(x-2),即2x(2+2)+26=5x(2-2),

解得〃?=

(3)方程两边都乘(X+2)(X-2),

得2(%+2)+nix=5(x-2),

化简得：(吁3)x=-14.

当m=3时，整式方程无解.

综上所述，当机=10或/〃=-4或〃?=3时，原方程无解.

故答案为：10或Y或3.

【点睛】本题考查的是分式;方程的解，解答此类题H既要考虑分式方程有增根的情形，又要

考虑整式方程无解的情形.

课后训练

1.分式方程二=0有解，则4的取值范围是()

x+\X

A.ar0B.C.4Ko或D.4Ko且

【答案】D

【分析】先求出相与x的关系，再根据分式方程有解的条件判断即可.

【详解】解：-^---=0

X+1X

方程两边同时乘以x(x+l)得：6ir-(x+l)=0,

0(a-l)x=l,

同分式方程有解,

0«—10,

团aw1.

0（t/-l）x=l,

团分式方程二-'=0有解，

X+1X

团工。0且x+1工0

团xwO且"-1

团4-1工一1,

团。工0,

综上可知，。工0且。工1,

故选D

【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键是找出增根.

2.关于x的分式方程」、一2二—3有增根，则机的值为（）

x-2x-2

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】去分母，分式方程化为整式方程，由增根的定义，则整式方程根为4=2,代入求

解参数值.

【详解】解：分式方程变形，得1-2（%-2）=小，

把。=2代入,得/〃=2；

故选：B.

【点睛】本题考查分式方程的求解，增根的定义；理解增根的定义是解题的关键.

y-2<^

3.若关于y的不等式组）3有且只有2个奇数解，且关于人的分式方程

4y+l-zn>0

3-1匚=/一的解为非负数，则符合条件的所有整数机的和为（）

l-xx-1

A.3B.4C.11D.12

【答案】C

【分析】先解一元一次不等式组，再解分式方程，从而确定”的值，进而解决此题.

【详解】解：一2《臂，

3v-6<y+2,

2y<8,

)w4,

4y+1-/n>0,

4y之-1,

、m-\

•.r

),+2

y-2<

关「y的不等式组3有且只有2个奇数解,

4y+l-/7/>0

-1<----4I,

4

.,.-4</?/-1<4,

-3<m<5，

,1m

3-----=----

I-xx-1

/.3(x-l)+l=/«,

「.3x-3+l="?

:,3x=m+2,

rn+2

x=-----

3

・•・关于”的分式方程3-£=£的解为非负数，

帆+2、C,,m+2«

——>0,且二一wl,

33

.•.加之一2且机工1,

•・•所有满足条件的整数〃?为：-2或-1或0或2或3或4或5,

•••所有满足条件的整数〃?的值的和为：-2+(-l)+0+2+3+4+5=ll,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组、

分式方程的解法是解决本题的关键.

2-nix6

4.关于x的分式方程=1的解为非负数，则〃?的取值范围.

2-xx-2

［答案】m>1"工4

【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，求出x的值，再根据分式方程解为非负数和

分式有意义的条件，即可得出机的取值范围.

2-nix6

【详解】解:

2-xx-2

去分母，得：inx-2-6=x-2,

移顶，得：inx-x=-2+2+6,

合并同类项，得：（〃L1）X=6,

化系数为1,得：工=工.

m-i

团分式方程的解为非负数，

0-^->0,解得：m>1,

m-\

团xw2,

0---*2,解得：W4,

ZM-1

0/77>1目，〃H4.

故答案为：m>1IL.

【点睛】本题主要考杳了解分式方程，分式有意义的条件，解题的关键是掌握解分式方程的

方法和步骤，以及分式有意义的条件：分母不等于0.

5.若关于工的方程弋+件=4的解为正数，则〃?的取值范围是________.

x-22-x

【答案】〃?<8且〃2H2

【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出〃？

的取值范围.

【详解】解：#=4,

x-22-x

去分母得，x+m-2m=4（x-2）,

整理得，-m=3x-S,

8-in

解得，工=三一，

团分式方程的解为正数，

8—"1八8-〃，_

0x=------>0且-----02,

33

回机v8且加工2.

故答案为:机<8且加工2.

【点睛】本题考查了解分式方程和一元一次不等式.解分式方程时注意分母不能为零.

6.若整数〃既使得关于x的分式方程与竺-2=一、有整数解，又使得关于x,y的方程组

\-xx-\

av-y=1

的解为正数，则a=

8x-2y=-1

【答案】5

【分析】先解分式方程，根据分式方程有整数解求出。的值，再解不等式组，根据不等式组

解为正求出a的取值范围，再综合得M结论.

【详解】解：解方程与竺-2=-^得，

1-Jx-\

4

X=~，

〃一3

团分式方程有整数解，且XW1,

用4-3=-4或-2或-I或1或2或4,且《工7,

团。=一1或1或2或4或5,

ax-y=\

解方程组《得,

8x-2y=-1

3

x---------

2。-8

a+8'

y=-------

[2a-8

团方程组的解为正数,

2a+8>0

a+8>0

解得。>4,

综上，4=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查解分式方程与不等式组，熟练掌握根据分式方程与不等式组解的情况求字

母参数值是解题的关键.

x—2

7.若关于1的一元一次不竽式组，丁+1<2%-3,的解集为l>2,且关于y的分式方程

x+a<2x+5

—r=-2+-r的解为非负整数，则所有满足条件的。的值之积为____________.

y-2y-2

【答案】35

【分析】先解一元一次不等式组得出。的取值范围，再解分式方程得。的范围，最后