2023-2024学年人教版八年级数学上册压轴题专练：角平分线模型的三种考法（解析版）

专题04角平分线模型的三种考法

类型一、角平分线上的点向两边作垂线

例1.已知，△ABC中，ZBAC=12Q(>,AD平分NBAC,NBOC=600,AB=2,AC=3,

则AD的长是.

【答案】5

【分析】过。作，DE_LAC,交AB延长线于凡然后根据全等三角形的性质和30。

角直角三角形的性质即可求解.

【详解】过。作，DEJ.AC,交A4延长线于F,

团平分NE4C,DE1XC.DF1.AH,

⑦DE二DF，ZDEC=ZDFB=90°=ZDEA,

0ZI3AC+ZBDC+ZDCE+/DBA=360°,

ZfiAC=120°,ZBZ)C=60°.

0Z£>CE+ZDBA=180°,

0ZDBF+ZDBA=18O°,

⑦NDCE=NDBF.

在和中,

NDCE=NDBF

/DEC=/DFB

DE=DB

0/\DEC^^DFB(AAS),

田CE=BF,

在RtADEA和Rt^DFA中，

DE=DF

DA=DA'

[?]RtADEA^ADFA(HL),

团AE=AF,

^AE=AC-CE,AF=AB^-BF,

^AC-CE=AB+BF,

^CE±BF=AC-AB=\,

^CE=BF=-

2f

^AF=AB+BF=-,

2

回人。平分N84C,

^ZDAB=-ZBAC=60°,

2

0ZADF=180°-ZDAB-乙DFB=30°,

^AD=2AF=5.

【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角

形.

【变式训练1】如图，AC.8。是四边形ABC。的对角线，BD平分NA8C,

2ZACD=ZABC+ABAC,已知NC4r>=43。，则N8DC=_.

【答案】47。

【分析】过。作。石_L8C于立DF工AB于F,7X7_LHC于G,依据。。平分NACE,BD

平分/ABC,利用角平分线的性质，即可得到。尸=7X7,进而得出入。平分NC4厂.再根

据三角形外角的性质，即可得到NB£>C=：NMC,进而得出结论.

【详解】如图所示，过。作OE_L8C于E,DFLAB于F,£>G_LAC于G,

团8Q平分48C,DEIBC,DFLAB,

^DF=DE,

02ZACD=ZABC+ZBAC,ZACE=ZABC+ABAC.

0ZAC£=2Z4CD,

团CO平分NACE,

又回OE_L8C,DGYAC,

©DE=DG,

田DF=DG,

又团DG1AC,

团AO平分NC4产，

0ZCAP=43°,

0ZC4F=86°,N84C=94。，

回N7)CE是△BCD的外角，N4CE是“8C的外角，

0NBDC=NDCE-Z.DBC=^Z4CE-|ZABC

=-ZACE--ZABC

22

=；(/ACE-/ABC)

=-ZBAC

2

=-x94°=47°

2

故答案为：47°.

【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角平分

线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

【变式训练2】已知：是△ABC的角平分线，且4014。.

图1图2

（1）如图1,求证：A8=AC；

（2）如图2,N/仍C=3（T,点七在AO上，连接CE并延长交43于点r，8G交C4的延

长线于点G,且/486=乙4b,连接尸G.

①求证：ZAFG=ZAFC；

②若％小S△冲=2：3,且AG=2,求AC的长.

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6.

【分析】（1）用ASA证明4A切猿△A8,即得"=RC；

12)①证明可得AG=AE.再用SAS证^FAGWFAE,即得ZAFG=ZAFC:

:

②过F作八±AG卜K,!18G:SA/1CF=2:3,可得S4cAES^ACF=2:3,S^FAE

而△Q4G乌△E4E,故S“^：S》"=1：3,即得4G:AC=1:3,根据AG=2,可求AC=6.

【详解】解：（1）证明：是AABC的角平分线,

...ZBAD=ZCAD,

•.•AD1BC,

:.ZADB=ZADC.

在△A8O和AACD中,

ZBAD=ZCAD

AD=AD,

/ADB=ZADC

:.^ABD^ACD(ASA)t

:.AB=AC,

(2)①•.•AB=AC,Zz4BC=3O°,ADd.BC,

Z£M£>=ZC4£>=60°,

NB4G=60。=NO

在△BAG和VC4E中，

NBAG=NCAE

AB=AC,

NABG=NACE

「.△BAG0△CAE(ASA),

:.AG=AE,

在AEAG和△孙E中,

AG=AE

<NGAF=Z.EAF,

AF=AF

:./\FAG^^FAE(SAS),

/.ZAFG=ZAFC；

②过F作产KJ_AG于K,如图:

'*"S&AK:SdACF=2:3

,*•^ACAE•$MCF=2:3，

S^FAE:S^ACF=1:3,

由①知：ZkEAG乡△»!心

•*-S△用G*S.ACF=1:3，

.•.(gAG.FK):(gACFK、=1:3,

AG:AC=］：3,

QAG=2,

0/4C=6.

【点睛】本题主要考杳了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角

形的相关知识.

【变式训练3】在平面直角坐标系中，点A的坐标是⑴⑷，点8的坐标(尻°)且“，〃满足

/_12〃+36+卜_4=().

如图（1）,点C为工轴负半轴一动点，OCvOB,80_LAC于。，交y轴于点E,求

证：0D平分NCDB.

（3）如图（2）,点产为43的中点，点G为x正半轴点B右侧的一动点，过点尸作。的垂

线FH,交），轴的负半轴于点儿那么当点G的位置不断变化时，S△八的值是否发

生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果.

【答案】（1）A（（）,6）,B（6,0）；（2）证明见解析；⑶不变化，S"F〃-S"BG=9,

【分析】（1）由非负性可求”，〃的值，即可求A、B两点的坐标;

（2）过点。作QMJL8Q于M,ONJ.AC于N,根据全等三角形的判定和性质解答即可;

（3）由于点尸是等腰直角三角形AOB的斜边的中点，所以连接OF,得出

OF=BF.BBFO^GFH,进而得出回0户”=团8户G,利用等腰直角三角形和全等三角形的判定

和性质以及三角形面积公式解答即可.

【详解】解：（1）团〃-1%+36+,一耳=0

0(«-6)2+|«-/?|=0,

a-6=0

ad=0'即〃”=6.

0A(0,6),8(6,0).

(2)如图，过点。作0M_L8£＞「M,ON1ACI'M

根据题意可知NAC0+NC4O90。.

团A/)_LAC,

⑦NBCD+NCBE=90°,

团NC4O=NCBE.

0A(O,6),3(6,0),

0OA=OB=6.

ZCAO=NEBO

在“OC和△BOE中，•OA=OB

/AOC=NBOE=90。

^^AOC^BOECASA).

\^OE=OC,AC=BE»S,A0cHs.BOE.

^-AC»ON=-BE>OM,

22

中0M=0N,

团点O一定在(388的角平分线上，

即0。平分团CON.

(3)如图，连接OF,

0小OB是等腰直角三角形且点尸为AB的中点,

团OF_LA8,OF=FB,0/平分财。从

团4OFB=NOFH+ZHFB=90°.

又团/G_L"7,

回NHFG=ZBFG+N印证=90°,

QNOFH=/BFG.

团/尸OB=，NA08=45。，

2

04FOH=4FOB+ZHOB=45°4-90°=!35°.

又团/FBG=180°-ZABO=180°-45°=135°,

田/FOH=/FBG.

40FH=4BFG

在△网)”和△FBG中，OF=BF,

NFOH=NFBG

©△FOHMAFBGIASA).

国S/OH-S/BG，

团SSFH-S.FBG=SSg[=SFOA--S3OB=耳'5OA»OB=-x6x6=9.

故不发生变化，且S,"，-S"8C=9.

【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性

质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正

确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形

例.已知：AA8C中，。为8C的中点，AG平分NB4CCG_LAG于G,连结DG,茬

84=6,40=4,求力G的长.

【答案】DG=\

【分析】延长CG交AB于点E.根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG,AE=AC,再根据三角

形中位线的性质得出DG=；BE=：(AB-AC),从而得出DG的长.

【详解】解：延长CG交AB于点E.

•••AG平分NB4C,CGYAGJG,

:.CG=EG,AE=AC=4,

:.BE=AB-AC=2,

0CG=EG,。为8c的中点，

DG=-BE=\.

2

故答案为DG=1.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线,

利用三角形中位线定理求解是解题的关键.

【变式训练1】已知：等腰直角三角形ABC中,0ACB式0°；AC=BC：01=03；BE团AD.

求证：BE=^-AD.

C

【答案】见解析.

【分析】延长AC、BE交JF,首先由ASA证明△AEFiaAAEB,得到BE=5BF,然后再次逋过

ASA证明AACD团ZiBCF,得到AD=BF,问题得解.

【详解】证明：延长AC、BE交于F,

001=03,BE回AE,

Zl=Z3

在AAEF和AAEB中，AE=AE,

NA"=/4EB=90。

[UAAEF(2IAAEB(ASA),

0FE=BE,

团BE=)BF,

团团ACD=QBED=90°,0ADC=0BDE,

001=02,

4CQ=/8C〃=90。

在八ACD和ABCF中，'AC=BC,

Z1=Z2

EAACD0ABCF(ASA),

0AD=BF,

0BE=|AD.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，两次证明全等是解题

关键，也考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度.

【变式训练2】如图，在中，0C=9O°,BC=AC,。是4：上一点，4也8。交B。的延长线

于E,AE=-BD,且。用邓于F,求证：CD=DF

2

【答案】见解析

【解析】证明：延长AE、BC交于点F.如图所示：0AE0BE,歪BEA=90。,

又团ACFWACB=90°,03DBC+0AFC=SFAC+[3AFC=9OO,03DBC=0FAC,

ZACF=ZBCD=90°

在(3ACF和回BCD中，｛AC=BC,00ACF00BCD(ASA),0AF=BD.

/FAC=ZDBC

又AE=，BD,0AE=-AF,即点E是AF的中点，团AB=BF,团BD是0ABe的角平分线，

22

00C=9O°,DFMB于F,团CD=DF.

类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短

例.如图，在AA8c中，AB>AC,A。平分N8AC交5c于O,求证：AB-AC>I3D-CD.

BD

【答案】详见解析

【分析】可以在AB」：截取AE=AC,构造三角形全等，再结合三角形三边关系可证得结论.

【详解】在AB上截取AE=AC,

贝ljBE=AB-AC,

在0AED和回ACD中，

AE=AC

<ZEAD=ZCAD,

AD=AD

回团AED0回ACD(SAS),

0DE=DC,

在回BDE中，BD-DEVBE(三角形两边之差小于第三边)，

0BE>BD-CD,

即AB-AOBD-CD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造三角形全等是解题的

关键.

【变式训练1】如图所示，在A/WC中，Z4CB=60，A£B。是A/WC的角平分线，AE,BD

交于点G,求证：GD=GE.

【答案】详见解析

【分析】在AB上截A"=4O,连接FG,根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可

得NAGD=60。，ZAGB=120°,证明AA0G/A4FG,得GD=GF,Z4GD=ZAGF=60°,nJ-

证得MGF9MGE,即可得GF=GE=GD.

【详解】证明：在AB上截A/=4%连接FG,

GE

0AE平分团BAC,

00EAC=0EAB,

又团AG=AG,

0M£)G^MFG,

:.GD=GF,ZAGD=ZAGF,

0ZACB=6O°,AE,BD是AABC的角平分线，

回

NAGB=180。」/CAB--NCBA

22

1,

=180°--(zZCAB+ZCBA)

=120°

回ZAGD=ZAGF=/BGF=/BGE=60°,

NBGF=NBGE

回"G=AG

4GBF=ZGBE

..ABGF^ABGE(ASA),

^GF=GE,

0GD=GE.

【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键.

【变式训练2】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：

如图一，AABC中，0A=9C°,AB=AC,BD平分(3ABC,猜想线段AD与DC数量关系.小明发现

可以用下面方法解决问题作DE0BC交BC于点E：

⑴根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为.

⑵如图二，aABC中，0A=12O°,AB=AC,BD平分(3ABC：,猜想线段AD与DC的数量关系，井

证明你的猜想.

⑶如图三,AABC中，0A=1OO%AB=AC,BD平分0ABC,猜想线段AD与BD、BC的数量关系,

并证明你的猜想.

【答案】（1）CD=V2AD：（2）CD=V3AD；（3）BC=AD+BD.

【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE,根据0A=90。，AB=AC,可得配=45。，由DEOBC

可得^DEC是等腰直角三角形，可得CD=&DE,进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB,

连接DE,利用SAS可证明△ABDE^EBD,可得AD=DE,0BED=0A=12O°,由等腰三角形的性质

可得配=30。，利用三角形外角性质可得回CDE=90。，利用含30。角的直角三角形的性质即可得

答案；（3）在BC上取一点E,使BE=BD,作DR3BA于F,DG回BC于G,由角平分线的性质

就可以得出DF=DG,利用AAS可证明△DAF00DEG,可得DA=DE,利用外角性质可求出

0EDC=4O°,进而可得DE=CE,即可得出结论.

【详解】（1）00A=9O°.BD平分EIABC.DE0BC,

0DE=AD,

酿A=90°,AB=AC,

瓯=45°,

0ACDE是等腰直角三角形，

0CD=V2DE=V2AD,

故答案为CD=&AD

(2)如图，在BC上截取BE=AB,连接DE,

0BD平分回ABC,

@[?]ABD=0DBE,

AB=BE

在AABD和AEBD中，ZABD=ZDBE,

BD=BD

0AABD13AEBD»

团DE=AD,0BED=0A=12O\

0AB=AC,

00C=0ABC=3O°,

00CDE=0BED-aC=9Oo,

团CD=6DE=QAD.

D

C

BE

(3)如图，在BC上取一点E,是BE=BD,作DF团BA于F,DG(3BC于G,

00DFA=0DGE=9O°.

[3BD平分回ABC,DF0BA,DG0BC,

回DF=DG.

00BAC=1OO°,AB=AC,

回国FAD=80°,国ABCWC=40°,

回回DBC=20。，

0BE=BD,

酿BEDWBDE=80°,

00FAD=0BED.

ZDFA=ZDGE

在ZkDAF和ADEG中，2FAD=/BED,

DF=DG

00DAF00DEG(AAS),

@AD=ED.

00BED=0C+(3EDC,

08O0=4O+0EDC,

00EDC=4O°,

皿EDC=(3C,

0DE=CE,

0AD=CE.

0BC=BE+CE,

0BC=BD+AD.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定

及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键.

【变式训练3】如图，已知B(-1,0),C(1,0),A为y轴正半轴上一点，点D为第二象

限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F,且mBDCWBAC.

(1)求证：0ABD=SACD；

(2)求证：AD平分团CDE；

(3)若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB,在此过程中，团BAC的度数是否变化？如

果变化，请说明理由；如果不变，请求出团BAC的度数.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)不变，60°

【分I斤】(1)根据I3BDC=[3BAC,0DFB=0AFC,再结合13ABD十团BDC十团DFB=13BAC十13ACD十

0AFC=18O°,即可得出结论；

(2)过点A作AMmCD于点M,作AN0BE于点N.运用“AAS”证明回ACM团国ABN得AM=AN.根

据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证：

(3)运用截长法在CD上截取CP=BD,连接AP.证明团ACPQABD得团ADP为等边三角形，从

而求回BAC的度数.

【详解】(1)证明：E0BDC=0BAC,0DFB=0AFC,

又00ABD+团BDC+回DFB=TBAC+团ACD+团AFC=180°,

00ABD=0ACD：

(2)过点A作AM0CD于点M,作AN0BE于点N.

M0AMC=0ANB=9O°,

团OB=OC,OA0BC,

BAB=AC,

雕1ABD=OACD,

00ACM00ABN(AAS),

0AM=AN,

0AD平分（3CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）;

（3）0BAC的度数不变化.

在CD上截取CP=BD,连接AP.

0CD=AD+BD,

0AD=PD,

回AB=AC,0ABD=0ACD,BD=CP,

配1ABD豳ACP,

团AD=AP,0BAD=0CAP,

团AD=AP=PD,

即0ADP是等边三角形，

物DAP=60°,

00BAC=0BAP+0CAP=（3BAP+mBAD=60°.

【点睛】此题考查全等三用形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数

学思想方法，综合性较强.

【变式训练4】如图1,点A、。在y釉正半轴上，点8、。分别在x轴上，8平分NAC5

与y轴交于。点，NC4O=900-N8DO.

⑴求证：AC=BC；

⑵在（1）中点。的坐标为（4,0）,点E为AC上一点，且=如图2,求BC+EC

的长；

⑶在（1）中，过。作。尸工AC于尸点，点，为尸。上一动点，点G为OC上一动点，（如

图3）,当点〃在爪上移动、点G在OC上移动时，始终满足NGDH=NGDO+NFDH，试判

断/77、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明.

【答案】⑴见解析；

⑵8：

(3)GH=FH+OG,证明见解析.

【分析】(1)结合题意易得NC4O=NC6O,从而易证AC4gAC5D(AAS)得到结论：

(2)如图所示，过D作DNJ.AC于N点、,结合(1)易证得RsH)OgRsEON(HL)及

RLCOO2RsaW(HL),由全等三角形的性质可求解；

(3)如图所示，在x釉的负半轴上取OM=-7,连接。M,易证得△OH/g.DOM(SAS),

得到=及N1=NO力M,结合题意易得NGDH=NGDM,再证得

△GDHg.GOM(SAS)得到MG=G〃从而得到结论.

【详解】(1)证明：0ZCAO=9O°-ZBZX>,NCBD=900-/BDO,

团NC4O=NC8D,

•.•CO平分N4C5,

:.ZACD-^DCD,

在△C4O和△C8O中，

NCAO=NCBD

ZACD=NBCD,

CD=CD

.•.△CAD^ACBD(AAS),

AC=BC；

(2)解：由(1)知N£)E4=N£)8O=NCW,

©BD=AD=DE,

如图所示，过。作ON1AC于N点，

•.•CD平分NAC8,

:.DO=DN,

在和Rt®N中，

BD=DE

DO=DN'

0Rt△8ZX/R[AEDN(HL),

中BO=EN,

在RtACDO和RtACD/V中，

CD=CD

DO=DN'

0RtAC/X^Rt^CDN(HL),

0CO=GV,

团5C+EC=（8O+OC）+（C7V-EN）=2OC=8：

•.♦CO平分NAC8,

在x轴的负半轴上取QW="/,连接。M,如图所示:

在△。户'”和中，

DF=DO

4DFH=ZDOM,

OM=FH

0ADFH^ADOM（SAS）,

中DH=DM,Z1=ZODM,

回ZGDH=Z1+Z2=4ODM+N2=NGDM,

在△GOH和△GOM中，

DH=DM

-NGDH=ZGDM,

DG=DG

0AGD/7^AGDM（SAS）,

@MG=GH,

⑦GH=MG=OM+OG=FH+OG.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用；解题的关键是

熟练掌握全等三角形的判定和性质的综合运用.

课后训练

1.如图，在AA8C中，ZB=60°,AD.CE分别是484C、/4C8的平分线，人。、CE相

交于点尸，试判断小和尸。之间的数量关系.

【答案】详见解析

【分析】如图，过点F作尸〃_L8C,FGJ.AB，垂足分别为H、G,根据角平分线，可得点

F是AA8C的内心，则有%=/77,继而根据三角形内心的性质可得N/7)”=N"EG，从而

可得AFQH且AFEG,继而可得FE=FD.

【详解】FE=FD,理由如下：

如图，过点F作切_L8C,FGJ.AB,垂足分别为H、G.

•产是N6AC,NAC3的平分线AD、CE的交点，

了.尸为的内心，:.FG=FH.

ZB=60°,

,ZE4C+ZFC4=g(N4AC+N4c4)=60°,

乂•/ZFDH=NB+/BAD=60°+/BAD；

NFEG=/BAD+ZE4C+ZFCA=60°+/BAD,

乙FDH=ZFEG,

乂GH=FH,

..^FDH^^FEG,

:.FD=FE.

【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键是注意数形

结合思想的应用，注意辅助线的作法.

2.如图，在A4BC中，NA8C=2NC,BE平分/ABC,交AC于E,AZ5_L8E于。，求证：

AC=2BD.

A

E

【答案】详见解析

【分析】延长BD至N,使DN=BD,易得AD垂直平分BN,继而证得AE=EN,则可证得结论.

【详解】延长BD至N,使DN=BD,连接AN.

0AD0BE,

(3AD垂直平分BN,

回AB=AN,

00N=0ABN,

又(3BE平分团ABC,0ABC=23C,

00ABN=0NBC=0C,

00NBC=SC,

0AN0BC,

00C=0NAC,

00NAC=0N,

团AE=EN,

0BE=EC,

0AC=BN=2BD.

BC

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与

性质.注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

3.如图，在“18。中，AB=AC,ZA=100°,“。是/ABC的平分线，延长至点E,

DE=AD,试求NEC4的度数.

【答案】400

【分析】在8C上截取BF=AB，连接。尸，通过证明“瓦汪AraD(SAS),可得

ZDFC=180°-ZA=80°,再通过证明△£><?咫△DCF(&IS),即可求得NEC4=N£>C8=40。

【详解】解：如图，在8C上截取=连接。尸，

Q8。是。的平分线，

，ZABD=/FBD,

在△ABO和中，

AB=FB、

/ABD=ZFBD,

BD=BD,

:△ABDMFBD(SAS),

"BFD=AA，AD=DF,

0DE=DF,

/.ZDFC=1800-Z4=80°.

又•.•ZABC=ZACB=40。NFDC=60。，

•.•ZE£>C=Z4r)B=180o-ZAB£>-ZA=60o,

/.NEDC=NFDC,

在△DCE和l)。/中，

DE=DF,

ZEDC=4FDC,

DC=DC,

.•.△DCE0△DCF(SAS),

故NEC4=NOC8=400.

【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键.

4.如图1,在“18。中，CM是八〃边的中线，/BCN=NBCM交AB延长线于点N,

2cM=CN.

A

MM

（1）求证AC=8N；

（2）如图2,N0平分NANC交CM于点P,交灰7于点O,若NAMC=120。，CP=MC,

求名的值.

Civl

【答案】（l）见解析；（2）分2a

【分析】（1）延长CM至点。，使CW=OM,可证AACM二由全等三角形的性质

从而得出AC=8O,根据题目已知，可证ADCAN&Va,由全等三角形的性质从而得出

BN=BD,等量代换即可得出答案：

（2）如图所示，作CQ二"，可证△CPONACQO,由全等三角形的性质相等先从而得出

N1=N2=N3,进而得出/4=N5,故可证&VOQ等量转化即可求出?•的值.

【详解】（1）如图1所示，延长CM至点。，使CM=OM,

在AACM与△8DM中，

CM=DM

/AMC=NBMD,

AM=BM

^ACM二^BDM,

AC=BD,

•：2cM=CN,

:.CD=CN,

在△OC8与ANCB中,

CD=CN

NDCB=ZNCB,

CB=CB

:.ADCB三ANCB,

BN=BD，

AC=BN：

,-.ZC^V=60°,

•:NP平分4MNC,/BCN=/BCM,

/PNC+/BCN=-ZAMC=60°,

2

ZCO7V=120°,ZCOP=60°,

;"CMN+/BOP=180。,作CQ二C『，

在△CPO与ACQ。中，

CQ=CP

4QC0=NPC0,

CO=CO

bCPO=bCQO,

Z1=Z2=Z3,

.\Z4=Z5,

在ANOB与ANOQ中,

'Z4=Z5

NBNO=NQNO,

NO=NO

^NOB主&VOQ,

BN=NQ,

:.CN=CP+NB、

:.2CM=CP+AC,

设4C=a,

:.CP=ka,CM=^^t

2

•CP2k

N

【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

5.如图，在“ABC中，A。为BC边上的高，是—BAD的角平分线，点F为AE上一点,

连接斯，ZBFE=45°.

⑴求证：的'平分/A4E；

⑵连接CF交AO于点G,若SgRF=Sw,求证：ZAFC=90°：

⑶在（2）的条件下，当BE=3,AG=4.5时，求线段A4的长.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

（3）7.5

【分析】（1）根据AE是“胡。的角平分线和正1=45。得2NF8A+2N8A尸=90。，再结

合A。为8c边上的高得出AEBF=4FBA即可证明；

（2）过点"乍FM±BC7点M,FN±AB丁点N,证明zMBF=ACBF,得出ZAFB=KFB,

再根据NBFE=45。，解出NA尸8=NCFB=135。即可证明；

(3)根据△AB尸主△C8F及人。为边上的高证明△AFGN.CFE,得出4G=EC=4.5,

再根据8E=3,解得3C=8E+EC=7.5,结合△A8"?Z\C8/即可求出A8=8C=7.5：

【详解】(1)证明：•.•AE是N8W的角平分线，

：.Z.BAD=2ZBAF.

♦;NBFE=45。,

:.ZFBA+ZBAF=45°.

:.2ZFBA+2ZBAF=90°.

•••AD为BC边上的高，

:"EBF+/FBA+2/BAF=90°.

:"EBF=/FBA.

二•BF平分NABE.

(2)过点尸作BW_L8C于点M,FNtAB于点、N,

•••B尸平分/ABE，且加_L8C,FN工AB,

:.FM=FN.

,*eSMBF—S&CBF，

:.AB=BC,

BF平分NABE,

：.ZABF=^CBF,

AB=BC

在AABF和\JCBF中，^ABF=NORF

BF=BF

:.AABF三QF(SAS),

；.ZAFB=/CFB,

•.•NBFE=45。,

ZAFB=NCFB=135。,

.1.ZAFC=90°,

(3)•;&ABF*CBF,

/.AF=FC,NA尸C=90°,

ZAFC=ZEFC.

•••AO为8c边上的高，

:.ZADE=90°,

:.ZEAD+ZAEC=ZFCE+ZAEC,

:"EAD=/FCE.

ZEAD=ZFCE

在AA户G*口ACTE中，<AF=CF

/AFC=NEFC

.△AFGmCFE(ASA).

/.AG=EC=4.5,

BE=3,

BC=BE+EC=7.5>

•.•△ABF'CBF,

AB=BC=7.5.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质,

熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键.

6.已知“8C中，BE平分/ABC,BE交AC于点E,。。平分NAC8,交于点Q，BE

与CO交于点。.

(1)如图I,求证：N80c=90°+3N84c.

图1

(2)如图2,连接。4,求证：Q4平分/B4C.

图2

⑶如图3,若4MC=60。，80=4,CE=2,求空的值.

A

1)

3

BC

图3

【答案】(1)见解析

⑵详见解析

⑶1

【分析】(1)由角平分线的性质得出N08C=g/4BC,NOCB=；ZACB,由三角形的内

角和定理得出NA8C+NAC3=18()o-/8AC,N8OC+NO3C+NOC8=180。，代入即可得

出结论；

(2)过点。作0NJ.8C于N,。“_1_43于知，OKJ.HC于K,证明OM=OK,则点。在

N8AC的平分线上，即可得出结论；

(3)过点8作出7_LC£＞交CQ的延长线于点〃，过点。作OF平分N8OC交3c于点尸，

过点。作ONJ.BC于N,OM工AB于M,证明NAOb=NBOD,乙COF=4C0E,由角平

分线的性质得出NO8尸=/O8O,NOb=NOCE,由ASA证得ABO尸名△88,

BF=BD=4,由ASA证得△CO/7四△COE,CF=CE=2,求出BC=6,由

5AOUU:S=2-ODBH.-2OCBH=OD:OC,

S.BOD:S.BOC=3BD-OM:；BC•ON=BD:BC,进行计算即可得出结论•

【详解】(1)证明：•.・班:平分NA8C,8平分/ACA,

；.NOBC=L/ABC,NOCB=L/ACB,

22

•.•ZABC+ZACB+ZBAC=180°,

ZABC+ZACI3=180°-/BAC,

NBOC+ZOBC+ZOCfi=180°,

\?BOC180?(?OBC?OCB)

=180°-|-ZA5C+-ZACB|

(22J

=180。-；(/AAC+NACB)

=180°-g(180°—N34C)

=180°-90°+-ZB4C

2

=90°+-ZBAC；

2

(2)证明：如图，过点。作ON_L8c于N,OM_LA8于M,OKJ.AC于K,

A

•.•BE平分NA8C,C。平分4CB,

:.OM=ON,ON=OK,

:.OM=OK,

二点。在N84C的平分线上，

「.04平分NBA。；

(3)解：如图，过点A作8”_1_8交。。的延长线于点”，过点。作OF平分NBOC交BC

于点尸，过点。作ONJLBC于N,于M,

/.Z.BOC=90°+-NBAC=120°,

2

NBOD=ZCOE=180O-NBOC=180°-120°=60°.

・.・O尸平分*/8OC,

ZBOF=ZCOF=-ZBOC=60°,