2024冀教版八年级数学上册《直角三角形》教案

17.2直角三角形

课时目标

I.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余.

2.掌握两个角互余的三角形是直角三角形.

3.探索并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

学习重点

掌握直角三角形的性质定理和判定定理.

学习难点

初步养成综合运用知识解决问题的能力，进一步提高推理能力.

课时活动设计

教学通动1

导入新课

我们前边学习了等腰三角形，除了等腰三角形外，我们还学过直角三角形,

直角三角形是又一类特殊的三角形，那么它具有什么性质呢?本节课我们来学习

直角三角形的性质.

•设计意图：开门见山，直接引出本节课所学内容.

教学活动2

探究新知

教师出示问题：结合目前所学，你对直角三角形有什么认识呢?直角三角形

有什么特征呢？

学生：直角三角形的两个锐角互余.

由学生自己完成此猜想的证明.

己知：在RIZXA6C中，ZC=9(P.

求证：41+48=90'.

A

C^——

证明：在R3A5C中，zA+zB+zC=180°.

vzC=90%

.・."+43=180°-zC=180°-90°=90°.

几何语言：如图，•••在△ABC中，ZC=9O°,

・,.zA+N8=900.

直角三角形的性质定理1：直角三角形的两人锐角互余.

直角三角形的性质定理的逆命题显然也是真命题.

直角三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是

直角三角形.

此定理证明由学生完成.

已知：在"BC中，乙4+乙8=90。.

求证：△A8C是直角三角形.

证明：在"8C中，NA+N8+NC=180。.

•••〃+48=90。，

.*.ZC=180°-(zA+zB)=180o-90o=90°.

••.△ABC是直角三角形.

符号语言：

•••在△ABC中，44+48=90。，

.•.△A8C是直角三角形.

•设计意图：学生经过猜想并证明，能够熟练掌握直角三角形的性质定理和

判定定理，同时提升学生合情推理能力和演绎推理能力.

教学活动3

探究新知

设计活动，学生操作.

在一张半透明的纸上画出R3A8C,zC=90°,如图1；将乙B折叠，使点B

与点C重合，折痕为E凡沿BE画出虚线CE,如图2；将纸展开，如图3.

完成下列问题.

⑴乙ECF与乙B有怎样的关系?线段EC与线段EB有怎样的关系?

解：乙ECF=^B,EC=EB.

(2)由发现的上述关系以及乙4+乙8=乙4。8,以CE+乙ECF=^CB,你能判断

LACE与乙4的大小关系吗?线段AE与线段CE呢?

葩f：Z-ACE=Z-A,AE=CE.

(3)由发现的上述关系，你能猜想线段CE与线段AB的关系吗？

猜想：CE=AE=EB,即CE是△A8C中AB边的中线，旦

如何证明你的猜想呢?学生组内合作，互相交流讨论，教师引导，给予详细

的证明过程，最后进行总结.

A

k

图1

已知：如图1,在RtZkABC中，乙4cB=90。，C。为斜边AB上的中线.

求证：CD=/B.

证明：如图2,过点。作。镇归。，交AC于点E；

作。FII4C,交BC于点E

在AAEO和AOFB中，

A

R

图2

（乙4二乙尸。8（两直线平行，同位角相等），

•JAD=DB（中线的概念），

=两直线平行，同位角相等），

.-.△/IED^ADFB（ASA）.

:.AE=DF,（全等三角形的对应边相等）.

同理可证，&CDEKDCF.

从而，ED=FC,EC=FD.

：.AE=EC,C77=9?（等量代换）.

又,；DEtAC,L3C（两直线平行，同位角相等），

.•.。石为AC的垂直平分线，QE为BC的垂直平分线.

...A/）=C7）=8/）（线段垂直平分线的性质定理）.

・・.C峥.

直角三角形性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

»设计意图：通过学生动手操作，让学生初步感受并猜想直角三角形的性质

定理，理解其合理性，为下个环节的证明作铺垫.通过教师讲解，完成此定理的证

明，学生理解该定理的证明过程，并运用该定理去解决问题.

教学活动4

拓展应用

教师提出问题，学生完成证明.

证明：在直角三角形中，3（）。角所对的直角边等于斜边的一半.

已知：如图，在RSABC中，乙4CB=90。，zA=30°.

求证：BC=^AB.

证明：（方法1）如图1,作斜边上的中线CD,贝I」=

图1

vz^=30°,.-.zZ?=60°.

:ACDB是等边三角形，

'.BC=BD=2-AB.

（方法2）如图2,延长8c到。，使C7>8C,连接AD

AC=AC,

乙ACB=44CO,

BC=DC,

.•.A4/?C=A4DC(SAS).-.I/A«=4D.

•••NBAC=30,.-.Z^=90O-30O=60°.

••.△ABD是等边三角形.

・,.AB=BD.

:.BC』AB.

2

学生独立完成，教师及时给予指导，最后进行总结.

含30。角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜

边的一半.

•设计意图：学生通过完成此定理的证明，能够掌握含30。角的直角三角形

的性质.

教学活动5

巩固训练

1.如图，在aABC中，乙4CB=90。，C。是AB为上的高，若乙4=50。，则4DCB

的度数为(A)

R

A.50°B.45°C.40°D.25°

2.如图，在R248C中，乙AC8=900,乙4=50。，将其折叠，

使点A落在边C8上的点4处，折痕为C。，则乙A7)8的度数为

(D)

A.40°B.3O°C.2O°D.1O°

3.在RS4BC中，4090。，Z4=3O°,若48=4cm,则BC=2cm.

4.若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm,12cm,则它的面积是，2

cm2.

•设计意图：通过习题的练习，使学生能够熟练运用直角三角形的性质定理

解决问题.

教学活动6

课堂小结

这节课你有那些收获?和同学交流一下.

＞设计意图：通过小结让学生复述本节课所学知识，使学生牢固掌握本节课

所学内容，把所学知识内化成自己的知识.

随堂练习

相关练习.

课后作业

1.教材习题A组，习题B组.

2.相关练习.

板书设