2024北师大版八年级数学上册《二元一次方程与一次函数》每课时教学设计汇编（含两个教学设计）

第五章二元一次方程组

4二元一次方程与一次函数（第1课时）

一、学习任务分析

本节是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”第4节。本节旨在

揭示二元一次方程与一次函数之间的关系，建立方程与函数的联系，引导学生从图形的角度

理解二元一次方程和二元一次方程组。本节内容共包含2个课时：第1课时着重通过对二元

一次方程、二元一次方程组与一次函数关系的讨论，建立两者之间的联系，引导学生从“形”

的角度认识二元一次方程和二元一次方程组；第2课时则通过待定系数法，引导学生利用二

元一次方程组确定一次函数的表达式。

本课时为第1课时，在学生已学习“一次函数”及“二元一次方程组”相关知识的基础

上展开。主要内容是揭示二元一次方程与一次函数之间的内在联系，引导学牛从“形”的角

度理解二元一次方程和二元一次方程组，进一步体会函数与方程之间的联系，深化数形结合

思想，发展几何直观。

二、学生起点分析

学生知识技能基础：学生已经学习了一次函数、二元一次方程（组）等相关知识，能够

求解二元一次方程组的解，会画一次函数的图象，并能根据一次函数图象与x轴的交点坐标

确定相应的一元一次方程为解，已初步具备运用数形结合思想解决问题的意识和能力。

学生活动经验基础：学生在本节课之前，己具备一定的数形结合研究问题的经验，但未

曾研究过方程与函数之间的关系，加之学生学习函数的经验相对有限，对函数这一抽象概念

的理解也不够深刻，因此在建立函数与方程之间的内在联系时，可能会存在一定的困难。

三、教学目标

1.经历观察、猜想、验证等数学活动，能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次

方程组；

2.探索二元一次方程组的解与相应两条直线交点坐标之间的关系，理解并体会二元一次

方程（组）与一次函数的内在联系及其蕴含的转化思想；

3.能通过直线间的位置关系解释二元一次方程组无解和有无数解的几何意义，体会数形

结合思想，发展几何直观，

教学重点：探索二元一次方程组的解与相应两条直线交点坐标之间的关系，体会二元一

次方程（组）与一次函数之间的联系及转化的思想方法。

教学难点：从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组。

四、教学过程设计

【第一环节】引入情境

1.活动内容

（1）情境感知

①方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个。

②在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象

上吗？

③在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标满足方程x+y=5吗？

④以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？

X——1>A—0,X—1,

解：①方程x+y=5的解有无数个，如《•

y-6；[y=5；=

②描出的点在一次函数y=5一工的图象上。

③所取点的坐标满足方程x+尸5。

④以方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=5—x的图象相同，是同一

条直线。

（2）归纳思考

①方程x+y=5的解有无数个。以方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象与一次函数

y=5—x的图象相同，是同一条直线。即x+y=5与j，=5—x表示的关系相同。

②一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相

同，是同一条直线。即一个二元一次方程对应着平面上的一条直线。

2.活动目的

让学生通过描点画图的过程，获得以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象的直观印

象，并亲身感受该图象是一条直线；在探索满足二元一次方程的点与相应一次函数图象上的

点之间的对应关系后，进一步明确以二元一次方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象是一

条直线，且与相应的一次函数图象相同。由此，揭示求二元一次方程组的解与确定相应两条

直线交点坐标之间的关系，深化学生对二元一次方程（组）与一次函数内在统一性的认知。

3.注意事项

教师可通过几何画板动态演示更多实例，进而引导学生理解并明确：以二元一次方程的

所有解为坐标的点，与相应一次函数图像上的点之间具有一一对应关系。

通过这样的对比分析，学生能够比较好地从“数”的角度认识方程与函数描述的是同样

的关系；从“形”的角度认识它们对应解.（点）组成的图象相同，得到二元•次方程的图象

特征。

【第二环节】操作探究

1.活动内容

操作-思考

如图，在同一平面直侑坐标系中分别画出一次函数），=5—X和），=2丫-1的图象，这两

个图象有交点吗？交点的坐标与方程组x〜+’y=5,的解有

[2x-y=\

什么关系？

步骤：（I）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出两

个一次函数的图象。

（2）发现：两个图象有交点，交点为4（2,3）。

x+y=5,x=2,

(3)解方程组＜解为〈c

2x-y=L

X-2y

（4）发现：一次函数y=5-r与y=2x-l图象的交点为4（2,3）,而《就是

），=3

方程组的解。

2x-y=1

小结：一般地，从图形的角度看，确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次

方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点坐标。

2.活动目的

引导学生通过操作，观察并发现二元一次方程组的解与相应一次函数交点的坐标具有一

致性，进而从图形的角度深化对二元一次方程组的理解，揭示求二元一次方程组的解与确定

相应两条直线的交点坐标之间的关系。

3.注意事项

学生容易观察得到图象交点坐标与方程组的解之间的关系，但数形结合的观念还有待加

强。教学时，教师要组织学生画出两个一次函数的图象、得到交点，为学生.感悟数形结合思

想的优势创造条件。

【第三环节】问题解决

1.活动内容

—3x+)+3=0,=4§

例I已知万程组I的解是试求直线y=3与）,=一一%+3

3x+2y-6=0

y=1,

的交点坐标。

4

解：由二元一次方程组与一次函数的关系，可得交点坐标为（一，1）。

3

例2如图，已知直线》=〃次与y=Ax+3女W0,6，在为常数）的交点坐标为P

(1,2)o

y=nix,

（1）试确定方程组,.的解;

y=k.x+3,

（2）试确定方程组晨工的解。

x=1,

解：（1）由点尸（1,2）可得，所求方程组的解为〈

y=2。

（2）画出一次函数尸质一3的图象（图略），由图可知,所求方程组的解为〈

y=-2o

2.活动目的

例I为二元一次方程组的解与对应函数图象交点坐标关系的直接应用。通过例2第（I）

问，引导学生利用二元一次方程组的解与相应两条直线交点坐标之间的关系解决简单问题。

第（2）问的目的在于让学生体会“以形助数”的直观性。问题逐层递进，方法不唯一，从

而促进学生数学思维能力的提高，通过对不同方法（代数法和图象法）的对比，体会数形结

合思想，发展几何直观。

3.注意事项

对于例2第（1）问，学生能很快得出答案并能正确阐述理由；对第（2）问，会出现代

数和几何两种不同的解决方法。

【第四环节】拓展探究

1.活动内容

思考•交流

如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x

+1与y=x—2的图象有怎样的位置关系？方程组

x—y=-1,

C解的情况如何？你发现了什么？与同伴

x-y=2

进行交流。

归纳：二元一次方程组的解对应着平面上两条直线

的交点。

2x—y=—3,

例3方程组4"解的情况如何？你是怎么考虑的呢？

-4x+2y=6

2.活动目的

引导学生探讨二元一次方程组无解和有无数解的几何意义,进一步体会二元一次方程组

的解与相应图象之间的关系，体会数形结合思想，发展几何直观。

3.注意事项

学生更多地还是从代数的角度去解方程组，从“形”的角度研究问题的意识还不够，需

要教师引导。

【第五环节】交流总结

1.活动内容

回顾反思

（1）通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识、数学方法，感悟到了哪些数学思想？

（2）我们是如何发现二元一次方程（组）与一次函数之间的关系的？

构建框架：

一次函数

直线（点）

在线交点坐标

2.活动目的

通过知识框架直观呈现本节课核心内容，引导学生枸建自己的知识体系，积累数学活动

经验，总结数学思想方法，体会函数与方程之间的相互转化，感悟数学学科知识间的普遍联

系。

3.注意事项

引导学生能够使用自己的语言正确总结本节课的相关知识及研究方法，如二元一次方程

（组）与一次函数的关系、数形结合、转化思想等。

第六环节：作业布置

1.活动内容

基础性作业：教科书习题5.4第1~3题。

发展性作业：

（1）图中两条直线/与/2的交点坐标可以//

看作哪个方程组的解？/XM/二2一】

（2）已知乂=一大+4,y2=2x+1,当x

取哪些值时，乂<%?你是怎样做的？/X.

2.活动目的

通过设计不同层次的作业，使不同水平的学

生都能获得发展。

五、教学反思

1.重视教科书，整合教科书

在教科书原有问题的基础上进行了整合与拓展。例如，在探讨二元一次方程组的解与相

应一次函数图象（直线）交点坐标的关系时，引导学生自主发现和提出问题，进而开展新的

探索；又比如在探讨二元一次方程组无解和有无数解的几何意义时，既充分重视教科书，又

不局限于教科书，在考虑学牛.已有认知的基础上对教科书的问题进行了整合，体现了单元视

角下的教学设计。

2.重点突出，展开有序

以问题串的形式时重点内容展开探讨，从二元一次方程与一次函数关系的探讨，到二元

一次方程组与一次函数关系的探讨，逐步建立方程与函数、代数与几何的联系。在教师合理

引导下，学生参与知识的产生及发展过程，环环相扣，步步深入。引导学生从对二元一次方

程“形”的特征的感性认识上升为理性思考，进一步发展学生的思维水平，发挥数学的育人

价值，培养学生理性思维和科学精神。

3.技术赋能，合埋运用

在认识以二元一次方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象是一条直线后，运用几何动

态软件对其他二元一次方程进行验证，合理运用信息技术帮助学生更加直观形象地理解本节

课所学内容。

第五章二元一次方程组

4二元一次方程与一次函数（第2课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”笫四节“二元一

次方程与一次函数”的第2课时。一次函数与二元一次方程联系紧密。在上一课时中，学生

已经能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组的概念。本课时的主要内容是学

习利用待定系数法确定一次函数表i大式，并解决实际问颍，讲一步体会方程与函数的内在联

系。

二、学生起点分析

学生知识技能基础：学生已掌握一次函数的基本概念与图象特征，能根据特定的图象确

定一次函数表达式。此外，学生已学习了二元一次方程（组）的相关知识，能正确建立并求

解二元一次方程组。

学生活动经验基础：在前面章节的学习中，学生解决过比较特殊的确定一次函数表达式

的问题，即参数"女”或能够从给定条件中直接获取，从而将问题转化为用一元一次方

程确定一次函数表达式的问题。由于学生还未系统学习“用待定系数法确定一次函数表达

式”，对于更一般的情况（或“8”无法直接获得），存在一定困难。此外，在之前运

用一次函数解决实际问题时，教科书更侧重图象信息的识别与分析，意在培养、发展学生的

几何直观。但直观方法具有一定的局限性，因此就有必要掌握相应的代数方法。在上一课时

中，学生已经初步感知了二元一次方程与一次函数的内在联系，能从“形”的角度理解它们,

但这些知识之间的有效联系仍需要进一步强化。同时，学生在以前的数学学习中已经历较多

的合作学习过程，具有一定的合作学习经验。

三、教学目标

1.经历用待定系数法确定一次函数表达式的过程，会设函数表达式，并能根据所给条件

建立二元一次方程组求解函数表达式中的未知系数，进一步感悟二元一次方程（组）与一次

函数的联系，体会知识之间的普遍联系和相互转化。

2.经历运用一次函数模型解决实际问题的过程，发展抽象能力，增强模型观念与应用意

识。

3.积累从现实世界提出数学问题，并用数学知识分析、解决问题的活动经验，会用数学

眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表达现实世界。

教学重点：用待定系数法确定一次函数表达式，进一步感悟二元一次方程与一次函数的

内在联系。

教学难点：建立一次函数模型解决实际问题。

四、教学过程设计

【第一环节】引入情境

1.活动内容

情境探究

已知A,B两地相距100km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行。假设

他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间/（单位：h）

的一次函数。骑行1h乙距离A地80km,骑行2h甲距离A地30km。经过多长时间两人

相遇？

你能解决这个问题吗？

预设方案1：分别画出两人s与/之间关系的图象（如图），找出两个图象交点的横坐

标即可。

预设方案2：由于s是1的一次函数，只要分别求出甲、乙两人s与,的函数表达式，

再将这两个表达式联立，求解方程组，便可求得相遇时间。

预设方案3：分别求出甲、乙两人的骑行速度，再根据两人之间的距离计算相遇时间。

问题：（1）你是怎样做的？与同伴进行交流。

（2）你认为方案I和方案2哪一种求出的结果更准确？

（3）在方案2中，如何确定一次函数表达式呢？

小结：借助图象可以直观地获得结果，但往往难以获得准确的结果。为了获得准确的结

果，我们通常采用代数方法。

2.活动目的

创设贴近学生生活的问题情境，激发学生的学习兴趣，增强学生用数学思维思考现实世

界的意识。将不同方案进行对比，并通过问题（2）（3）,让学生感受“确定一次函数表达

式的必要性”，为下一环节“用待定系数法确定一次函数表达式”作铺垫。

3.注意事项

对于该问题，部分学生可能会受前面所学内容的影响，首先尝试用图象法解决问题。然

而，图象法得出的结果通常是近似的，难以精确。这种局限性会促使学生不满足于图象法得

到的近似结果，从而主动寻求代数方法。这样就自然地将学习过渡到“确定一次函数表认式”

的问题。通过对比方案I与方案2,学生能更好地体会确定一次函数表达式的必要性。

在学习“待定系数法”前，求s与,的函数表达式对部分学生而言具有一定的难度。因

此，本环节不要求学生算出结果，只需阐述可行的方案。

遵循“以学生为主体”的原则，先让学生自主提出解决方案，然后对方案进行交流、比

较，在这些活动过程中，动态地生成相关方法。同时，让学生带着问题与困惑进行后续学习，

让学生经历直面问题、探究问题并最终解决问题的仝过程，中富数学学习经脸，增强数学学

习的信心。

如果教师发现本班并未出现预设的某种方案时，可以介绍教科书人物解决方案的形式呈

现该方案，引导全班学生读懂该方案，从而实现不同方案的对比。

【第二环节】操作探究

1.活动内容

例在某汽车客运站，乘坐长途车的乘客可以免费携带定质量的行李，超过该质量需

购买行李票，且行李费y（单位：元）是行李质量x（单位：kg）的一次函数。已知李明带

了60kg的行李，交了行李费5元；张华带了90kg的行李，交了行李费10元。

（1）写出y与x之间的关系式；

（2）每名乘客最多可免费携带多少千克的行李？

解：（1）设根据题意，得

J5=6OH6.

110=901+6.

k=L

解这个方程组，得6

b=-5o

所以）'=%一5。

o

（2）令y=0,BP5=0,解得x=30；当x>30时，y>0.

所以，每名乘客最多可免费携带30kg的行李。

像本例这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到

函数表达式的方法，叫作待定系数法“

一次函数的表达式有两个参数6,因此要确定一次函数的表达式，需要两个条件！

2.活动目的

通过例题的解决，引导学生认识待定系数法。待定系数法的木质是利用方程与函数的关

系，将求函数表达式的问题转化为求解方程组的问题。其一般步骤为，先设出含待定系数的

函数表达式，再根据已知条件列出关于系数的方程（组），最后解方程（组）确定系数的值。

3.注意事项

本例旨在通过具体实例让学生初步认识待定系数法。教学重点在于引导学生体会方程与

函数之间的关系，教学中应避免在此处专门安排其他待定系数法的拓展训练。

【第三环节】问题解决

1.活动内容

尝试-思考

已知一次函数y=2x—。的图象经过点（/7）和1一2,a）,求这个函数的表达式。

问题：（I）确定一次函数表达式时，需要确定哪几个参数的值？需要几个条件？

（2）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤是什么？

※（3）在本题y与x的一次函数关系式中，左值的实际意义是什么？

2.活动目的

学习待定系数法并总结其解题的一般步骤，提升总结归纳能力，进一步体会一次函数与

二元一次方程之间的联系，建立一次函数模型解决实际问题，增强模型观念与应用意识。借

助一元二次方程组帮助学生理解％值在问题中的实际意义，促进思维进阶。开展小组活动，

丰富学生合作学习经验，提高互帮互助的精神。

3.注意事项

学生在前面的学习中解决过比较特殊的确定一次函数表达式的问题，即某个参数仪或

b）可以从所给条件中直接获得。本节课，学生学习了用待定系数法确定一次函数表达式，

从而能解决更•般的确定•次函数表达式的问题。设置问题（1）让学生明确“确定一次函

数表达式时必须确定A和方两个参数”。此外，教师还可以从“数”与“形”两个角度，让

学生体会“确定一次函数表达式，需要两个基本量”这一事实（如图），同时可点明：当“数”

与“形”结合时（将两个点的横、纵坐标代入一次函数表达式），便可建立二元一次方程组，

进而确定一次函数表达式，再次感悟方程与函数间的联系，感受数形结合思想，体会知识间

的相互转化。

一次事数的用a戈一条He.因此

」只叁发定两个晨*可以*定一次▲

做的H达火!

敦V一次属敕的嶷达人奇西个拿IU.

b.因此要“文一次4代的表达

X,育鲁4个*件！

明确“确定一次函数表达式需要两个条件”虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概

念—基本量，例如一次函数含有两个基本量匕历反比例函数含有一个基本量队确定平

行四边形需要3个条件（两邻边及其夹角），因此平行四边形的基本量数是3；同理，长方

形和菱形的基本最数是2,正方形的基本量•数是1。学生若能常进行这样的思考，必招增强

其对数学对象的理解。

设置问题（3）,鼓励学生探究〃值在问题中的实际意义。在此前的学习中，教材试图

给学生渗透“k是函数值y相对于自变量x的变化率”，但受限于当时学生知识积累不够，

只能从x增加1的时候来理解”的实际意义。学习了待定系数法之后，学生便能更好地理解

A值的实际意义。

考虑到问题（3）对学生的思维水平要求更高，故设置※号标记。教师可根据自身所教

班级的实际情况选用，也可作为分层教学使用的素材。在“行李托运费用”问题中，左值的

实际意义是每增加Ikg行李所需要缴纳的费用，这一实际意义在解方程组的过程中得到了

展现（如图），这将帮助学生进一步体会方程与函数之间的关系。

解：设），=心:+〃，根据题意，得

由②一①得30攵=5,即多30kg行李所对应增

[10=90i4*>--------©加的费用为5元，故上值表示的是每多1kg

由②一①，得|30k=5|行李所需缴纳的费用为，元。

6

此外，在“尝试•思考”中，虽然所求函数表达式只需确定一个参数从但所给条件中

包含另一个未知参数因此仍需建立并求解二元一次方程组来确定函数表达式。这进一步

表明了二元一次方程（组）与一次函数之间紧密的内在联系。

【第四环节】学以致用

1.活动内容

A,B两地相距100km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行。假设他们都

匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间，（单位：h）的一

次函数。骑行1h乙距离A地80km,骑行2h甲距离A地30km,经过多长时间两人相遇？

2.活动目的

引导学生重回第一环节中的问题，采用方案2计算相遇时间，并上讲台展示自己的解法,

最后将方案1与方案2再次进行对比，研究二者之间的异同，进一步巩固待定系数法。通过

不同方法的对比，让学生体会数形结合思想，进一步感受二元一次方程与一次函数间的联系。

3.注意事项

方案2利用待定系数法，建立二元一次方程组分别确定甲、乙的s与/一次函数表达式，

再联立表达式求出相遇时M，这是从“数”的角度解决问题。而方案1是从“形”的角度看

待问题，方案2可以看作是在方案1的基础上，用代数法精确求得函数图象的交点横坐标。

这两种方案都是从函数视角解决问题，将方案I和方案2再次进行对比，研究二者之间的异

同，让学生在实际问题背景下