2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考（鲁教版五四制）解析版

八年级数学上学期第三次月考（鲁教版五四制

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：鲁教版八年级上册第一章因式分解〜第五章平行四边形（5.3三角形的中位线）。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的）

I.下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

【答案】D

【分析】根据轴对称图形：一个图形如果沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；中心对称

图形：一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形；由此问题可求解.

【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；

B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意；

D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；

故选D.

2.下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（）

A.--w2-3mn-9n2B.x6--16

4

C.2xy-x2+y2D.X2-A-+1

【答案】A

【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，根据完全平方公式/±2。力+〃=（a±b）2,逐一验证各选项

是否符合公式结构.

【详解】选项A：-。〃尸—3〃?〃—%/=—。（加+6〃）2,故符合；

44

选项B：X6-8X3-16,无法通过完全平方公式分解，故不符合；

选项C：2^-?+/,无法通过完全平方公式分解，故不符合；

选项D：?-x+l,无法通过完全平方公式分解.，故不符合：

故选:A.

21

3.小明准备完成题目：解方程:+—==0.发现分母的位置“”处印刷不清，查阅答案后得知这个方程的解

是i=-l,请你帮助小明推断印刷不清的位置可能是（）

A.x-lB.-x-1C.x+1D.x2-l

【答案】A

【分析】此题考查了解分式方程，设印刷不清的位置的式子为。，把x=T代入分式方程计算确定出。即可.

21

【详解】解：设印刷不清的位置的式子为。，即一+--=0,

ax+2

解得：a=-2,

检验：把。=-2代入得：。二0,

•••分式方程的解为。=-2,

VX=-1,

•••x-1=-1-1=-2=tz»-x-l=0=a,x+l=0。。，x2-\=0a>

二推断印刷不清的位置可能是.

故选；A.

4.如图，在△/BC中，ZB=62\在平面内将△48。绕点力旋转到△/OE的位置，使点力落在8C边上.若

则NC的度数是（）

A____-^

BDC

A.28°B.31°C.34°D.36

【答案】C

【分析】本题考查旋转变换，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，求出NX。。，NBAD,再在。中,

利用三角形内角和定理求解.

【详解】解：如图，AC,DE交于点0.

由旋转变换的性质可知AB=AD,NB=NADE=62°,

ZB=ZADB=62°,

•••ACIDE,

N/KR=9()o,

••.mio=90°-62。=28°,

/BAD=180°-2x62°=56°,

ABAC=/BAD+ZDAO=56°+28。=84°,

NC=180°-62°-84°=34°.

故选：C.

5.“多读书，读好书〃是提升学生阅读能力的重要举措，某校倡议学生在家多读一些教育部推荐的中外名著,

王老师为了解学生每周在家阅读中外名著的时间，随机调查了本班20名学生，收集到如下数据：

时间（小时）65432

人数（人）26462

关于每周在家阅读中外名著的时间的描述，正确的是（）

A.众数是6B.平均数是4C.中位数是3D.方差是1

【答案】B

【分析】根据各统计数据的定义即可求解.

【详解】解：A：每周在家阅读中外名著的时间为5h,3h出现的次数最多

故众数为5和3,故A错误;

2x6+6x5+4x44-6x3+2x2”..—

B：-------------------------------------=4,故B正确;

C：中位数为：下一=4,故C错误；

D：方差为：

—xr2x（6-4）2+6x（5-4）2+4x（4-4）2+6x（3-4）2+2x（2-4）21=1.4

20L-

故D错误.

故选：B

6.在四边形力8co中，AB//CD,要判定四边形48。为平行四边形，可添加条件（）

A.AD=BCB.ZCBD=ZADB

C.AC^ZDABD.AB=AD

【答案】B

【分析】根据添加的条件和平行四边形的判定方法逐项判断即可解答.

解：如图：A.添加8。后，四边形/BCD一组对边平行，另一组对边相等，不•定是平行四边形，有可

能为等腰梯形，因此A选项不合题意；

B.添加=后，利用平行线的判定定理可得,四边形力8c。是两组对边平行，能判定

为平行四边形，因此B选项符合题意：

C.添加47平分后，利用角平分线的定义和平行线的性质可推出四边形49CQ一组对边平

行，一组邻边相等，不能判定为平行四边形，因此C选项不合题意；

D.添加/8=力。后，四边形/BCD一组对边平行、邻边相等，不可以判定为平行四边形，因此D选项不符

合题意.

故选B.

7.如图，四边形48CD为平行四边形，过点。分别作48,的垂线，垂足分别为E,F,若48=12,

DE=6,BE=4,则的长为（）

AEB

A.7B.7.2C.8D.8.8

【答案】B

【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练的利用“等面积法”是解题的关键，利用48=12,

BE=4,求出/七的长，再利用勾股定理求出力。，得到8C,最后根据平行四边形面积即可求出QE的长.

解：丁/B=12,BE=4,

AE=AB-BE=12—4=g,

vDE=6,DELAE,四边形力8co为平行四边形，

1.BC=AD=>]AE2+DE2=782+62=10-

;DF±BC,

./旧ABDE12x6

BC10

故选：B.

8.近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线。为全程

10T•米的普通道路，路线6包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线4平均速度提高40%,时间节省

10分钟，求走路线。和路线力的平均速度分别是多少？设走路线，7的平均速度为x千米/小时，依题意，可

列方程为（）

71()_107

in一

1vB.-1V0

八，(l+40%)jrXX(l+40%)x

710_10107_10

U(l+40%)xD.

X60X(1+40%)工60

【答案】D

【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为（1+40%■千米/小时，根据

路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程.

【详解】解：由题意可得走路线b时的平均速度为（l+40%）x千米/小时,

107_10

,,x（l+40%）x60，

故选:D.

9.如图，在口力8CQ中，CE平分乙BCD,交,AB于点E,£4=3,EB=5,£0=4.则CE的长是（）

D________________"

'B

A.572B.6^/2C.475D.5>/5

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD=BC=EB=5,根据勾股定理的逆定理可得乙AED=

90°,再根据平行四边形的性质可用CD=AB=8,ZEDC=90°,根据勾股定理可求CE的长.

【详解】解：・.维平分4BCD,

.-.z.BCE=z.DCE,

•••四边形ABCD是平行四边形，

.'.AB=CD,AD=BC,J5IICD,

:•乙BEC=（DCE,

:•乙BEC=LBCE,

:.BC=BE=5,

二力。=5,

-：EA=3,ED=4,

在中，32+42=52,HREA2^ED2=AD2,

：.^ED=90°,

.♦•8=48=3+5=8,/.EDC=90°,

在用△EQC中，CE=^ED2-DC2=>/42+82=4>/5.

故选：C.

10.如图，点上为o48CD的对角线上一点，AC=5,CE=1,连接。上并延长至点产，使得b=OE,

连接4尸，则《尸为（）

7

C.D.4

22

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等

知识点，正确作辅助线是解题关键.

1

连接BD交AC于0,由平行四边形的性质推出。。=。8,OC=AC,判定OE是“拓"的中位线，推出

2

OE=；BF,求出=即可得到答案.

【详解】解：连接4。交4C于0,

•••四边形/8C。是平行四边形，

：.0D=0B,0C=-AC,

2

•:DE=EF,

••.0E是的中位线，

：.OE=-BF,

2

vAC=5,CE=1,

OC=—AC=—,

22

53

：.OE=OC-EC=--\=-,

22

:.BF=2OE=3.

故选：B.

第二部分（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.已知,+3=1,且。工—/）,贝！或二;的值为_______.

aba+b

【答案】1

【分析】根据1+3=1可得b+2a=M,即必-〃=/）+〃，然后将必-〃=/）+〃整体代入也;计算即可.

aba+b

12

【详解】解：•••上+：=1

ab

b+2a,

:.--------=1,

ab

:.b+2a=ab,HPab-a=b+a.

ab-aa+b,

:.--------=-------=1.

a+ba+b

12.己知多项式+/〃因式分解后有一个因式为x+2,则机的值为.

【答案】-6

【分析】本题考查了因式分解的应用，设多项式的•人因式为X+P,则

2

x-x+m=(x+2)(x+p),再根据多项式乘多项式法则展开合并，即可作答.

【详解】解：设多项式F-x+M的一个因式为x+p,

•••多项式/一工+加因式分解后有一个因式为x+2,

.-.X2-x+w=(x+2)(x+p)=x2+xp+2x+2p=x2+(p+2)x+2p

则p+2=-l

p=-3

则阳=2p=2x(-3)=-6

故答案为：-6.

13.如图，在RtZ\45C中，ZC=90°,ZABC=30。,48=10,将△48。沿CB方向向右平移得到必即.若

四边形的面积为15,则平移距离为

D

【答案】3

【分析】本题考杳了含30。角的直角三角形的性质，平移的性质、也考查了平行四边形的判定与性质.先根

据含30度的直角三角形得到4C,再根据平移的性质得力O=5E,AD//BE,于是可判断四边形力4即为

平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到席的方程，则可计算出8E=3,即得平移距离.

【详解】解：在Rt△48c中，•.•/(?=90。，Z45C=30°,彳8=10,

AC=—AB=5,

2

•••△ABC沿CB向右平移得到GEF,

：.AD=BE,ADUBE,

••・四边形48后。为平行四边形，

•••四边形力8£。的面积等于15,

ACBE=15,

即5BE=15,

BE=3,

即平移距离等于3.

故答案为：3.

14.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形力8。。三个顶点坐标分别为4-1,-2),。(1,1),C(5,

2)，则顶点B的坐标为

【答案】(3,7)

【分析】设8点的坐标为(x,y),根据平行四边形的对角互相平分，利用中点坐标公式即可求解.

【详解】解：设8点的坐标为(X4),

•••平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(-1,-2),D(l,1),C(5,2),

x+\_-1+5y+\__2+2

•,*=,=，

2222

解得x=3j=-l,

・•.以3,-1).

故答案为：(3,-1).

15.如图，将RtAXBC绕直角顶点。顺时针旋转90。，得到△J'QC,连接力H,若48=4,44'4'=15。,

则［"的长度为.

【答案】2豆-2/-2+2G

【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，由旋转的性质可得4C=C4,NBAC=ZCAE,由

等腰直角三角形的性质可求NC4B'=30。，然后得到＜4=4*=4,BC=2,利用勾股定埋求得

AC=AC-2V3»最后利用AB'=AC—B'C解答即可.

【详解】解：•••将RtAMC绕直角顶点C顺时针旋转90。,得到△H8C,连接4H,

/.AC=CA\/BAC=/CAB'

•••NO14=NOL4=45°,且N44b=15°,

••.NCH8'=30°,

•.•AB=A'B'=4,/A'CB'=/ACB=%°,

/.BC=2,

•••AC-A'C-V42-22-273，

•••AB'=4C-B'C=2也-2,

故答案为：2百-2.

16.在o4?CD中，点E为。的中点，过点。作。G_L8C于点G,若点尸为8G的中点，QG=6,BC=1(),

则EF的长为.

【答案】V34

【分析】本题考查中位线有关的计算，勾股定理，取。8中点。，连接OE,OF,则。F是zJ比)G中位线,

0E是△8DC中位线，得到0/二」。G=3,OE=-BC=5,ZBFO=ZEOF=90°,最后在RtA£O「中利用

22

勾股定理计算即可.

【详解】解：连接08，取。8中点。，连接。E,OF,

是ABDG中位线,

•:DGLBC,DG=6,

.-.OF=-DG=3,OF//DG,

2

：.NBFO=/BGD=9Q。,

・・•点E为CO的中点，

是小DC中位线,

：.0E=LBC=5,OE//BC,

2

••.ZBFO=/EOF=90。,

••EF=ylOE2+OF2=,3?+5?=底，

故答案为：后.

三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算:

⑴36/_（9『+1丫（分解因式）

（2）三+1=耳（解方程）

2x-ll-2x

【答案】（1）一（3。+1）2（3”1）2

⑵原分式方程无解

【分析1本题考查了因式分解和分式方程求解的知识点，解题的关键是掌握平方差公式以及分式方程的求

解方法和验根步骤.

（1）利用平方差公式进行因式分解；

（2）先将分式方程化为整式方程求解，再进行验根判断方程是否有解.

【详解】＜1）解：36“"一（9«2+1）"=［6。+（9“2+1）［6〃一（9a'+1）］

=仅4+9/+i)(6fl-9a2-1)=-(34+1)2(3。-I)2；

x-2,1.5

(2)----+1=-----

2.Y-1\-2x

1.5

整理，得:

2x-\

方程两边同乘（21）,得：x-2-f-2x-l=-1.5,

解之得：x=l

检验：当x=L时，2x-l=2xl-l=0,

22

.•"=g是原分式方程的增根，舍云，

原分式方程无解.

瓜（6分）化简仁高卜再从--，-2三个数字中选择一个你喜欢的数代人求值.

【答案】

1

(7-1

当〃=-1时，原式无意义

当4=1时，原式无意义

当〃=一2时，原式=-；

【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键.

根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的减法，再算除法，将除法转化为乘法后约分即

可得出化简结果，然后分别将-1,1,-2三个数字代入化简结果求值即可.

【详解】解：

_%+1__2]：("I)?

1a+\)67+1

“T：("1『

a+1tz+1

a-\4+1

=x~~

。+1(47-1)~

1

当〃=-1时，原式无意义，

当4=1时，原式无意义，

当。=-2时，原式=-、=-；

—2—13

19.(8分)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△44c的三个顶点加一2,2),8(0,

5),C(0,2).

⑴将。以点。为旋转中心旋转180。，得到△力用Q,请画出△小sc的图形.

(2)平移△J8C,使点力的对应点力坐标为(-2,-6),请画出平移后对应的的图形.

⑶若将△J/8/C绕某•点旋转可得到△力/2。2,请直接写出旋转中心的坐标.

y

【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）（0,-2）

【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；

（2）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；

（3）利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标.

【详解】解：（1）如图所示：△A：B】C即为所求;

（2）如图所示：AAzB2c2即为所求；

（3）旋转中心坐标（0,-2）.

V

20.（8分）如图，在四边形49CO中，4c与BD交于点O,AE=CF,BE=DF,AEA.BD、CF上BD,

垂足分别为E,F.

（1）求证：/XABE^CDF；

（2）求证：四边形48a＞是平行四边形.

AD

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定，

（1）根据力E18O,CFA.BD得乙4EB=NCFD=90。,再根据SAS即可得证；

（2）根据全等三角形的性质得4?一8,ZABE-2CDF,继而得到49〃DC,即可得证；

正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键.

【详解】解：（1）证明：-AELBD.CFLBD,

.ZEB=NCFD=900,

在公力4E和aCC尸中，

AE=CF

<4EB=ZCFD,

BE=DF

.•."8EgACO户（SAS）：

（2）由（1）知："BE也CDF,

••.AB=CD,ZABE=/CDF,

.'.AB//DC,

四边形是平行四边形.

21.（10分）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利.不同的快递公

司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势.樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快

递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理.、描述、分析

如下：

配送速度得分（满分10分）：

甲：66777899910

乙：67788889910

从服务质量得分统计图（满分10分）:

⑴表格中的〃?=：S；S；.（填，"="或

（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由.

⑶为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？

【答案】（1）7.5；<

（2）甲公司，理由见解析

⑶还应收集甲、乙两家公司的收费情况.（答案不唯一，言之有理即可）

【知识点】求中位数、求方差、运用方差做决策

【分析】（1）根据中位数和方差的概念求解即可；

（2）通过比较平均数，中位数和方差求解即可；

（3）根据题意求解即可.

-7.0

【详解】（1）由题意可得，〃?=%—=7.5,

4」X|~3X（7-7）2+4X（8-7）2+2x（6-7）2+（5-7）［=1

10L-

s：=-px［（4-7）2+（8-7）2+2x（10-7）2+2x（6-7）2+（9-7）2+2x（5-7）2+（7-7）2］=4.2,

故答案为：75＜；

（2）•・•配送速度得分甲和乙的得分相差不大，

服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，

・••甲更稳定，

・•・小丽应选择甲公司；

（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况.（答案不唯一，言之有理即可）

22.（10分）如图所示，在“8C中，点。，E分别为48,力。的中点，点〃在线段CE上，连接8”,点

G,F分别为BH,C”的中点.

（1）求证：四边形OEFG为平行四边形；

（2）若ZX7_L8〃，BD=3,EF=2,求3〃的长.

【答案】⑴证明见解析；（2）2石o

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的

判定与性质是解题的关键.

【详解】（1）证明：:点。、E分别为在，4C的中点，点G、尸分别为BH,。〃的中点，

.•・DE•是—8C的中位线，Gb是"3C的中位线，

:.DE//BCDE=-BCGF〃BC,GF=-BC

f2f2f

DE//GF,DE=GF,

.•・四边形O£FG为平行四边形；

（2）解：•••四边形。£FG为平行四边形，

:.DG=EF=2,

•;DGLBH,

NQG8=90。，

/.DG->!BD2-DG2-Vy-F-yfs，

・•・G为4〃中点，

即线段的长度为2石.

23.（12分）某生态示范园积极响应政府提出的〃践行生态有机理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优

良品种，种植了多种有机水果.某超市从该示范园第一次用500元购进甲种水果，500元购进乙种水果.乙

种水果的进价是甲种水果进价的2.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多30千克.

⑴求甲、乙两种水果的进价分别是每T克多少元？

⑵第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100

千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍.若甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价

为30元/千克，超市第二次购进两种有机水果各多少千克时获得最大利润，最大利润是多少？

【答案】⑴甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为25元/千克

（2）超市第二次购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时获得最大利润，最大利润是425元

【分析】本胭考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等用关系，列出

相应的分式方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值.

（1）根据题意，先设出甲、乙两种水果的单价，然后根据超市所进甲种水果比所进乙种水果多30千克，

可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；

（2）根据题意，可以写出利润和购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据甲种水果的质量不少于乙种水

果质量的3倍，可以得到甲种水果数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值.

【详解】（1）解：设甲种水果的进价是x元/千克，则乙种水果的进价为2.5x元/十克，

…内q3500500.八

由题意得：-----=30,

x2.5x

解得x=10,

经检验：x=10是原分式方程的解，

/.2.5x=25,

答：甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为25元/千克；

（2）解：设购进甲种水果aT•克，则购进乙种水果（100-a）T・克，利润为w元，

由题意可得：卬=（14-10”+（30-25）（100-。）=—a+500,

V-l<0,

Av/随a的减小而增大，

•・•甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍,

Aa>3(I00-tf),

解得aN75,

，当a=75时，w取得最大值，

此时卬=_。+500=-75+500=425,

l（X）-rt=25,

答：超市第二次购进甲种水果75丁克，乙种水果25T•克时获得最大利涧，最大利润是425元.

24.（12分）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点4

B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和

证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点〃，该问题也被称为“将军巡营〃问题.

（1）下面是该问题的•种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从"直角"和"等边”中选择填

空，②处从〃两点之间线段最短”和"三角形两边之和大于第三边〃中选择填空，③处填写角度数，④处填写

该三角形的某个顶点）

当的三个内角均小于120°时，

如图1,将尸。绕点C顺时针旋转60。得到△/!'2C,连接尸P，

由PC=P'C,NPCP=60。，可知△PCC为①三角形,故.PP=PC,又PA'=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP>AB,

由②可知,当B,P,P,/在同一条直线上时，2I+PB+PC取最小值，如图2,最小值为此时

的P点为该三角形的"费马点〃，且有4