2026年陈省身杯数学竞赛模拟

2026年陈省身杯数学竞赛模拟一、代数部分多项式的根与系数关系多项式是代数中的重要研究对象，其根与系数之间存在着紧密的联系。对于一个n次多项式(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0)（(a_n\neq0)），如果它的根为(r_1,r_2,\cdots,r_n)，那么根据韦达定理，我们有：(r_1+r_2+\cdots+r_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n})(r_1r_2+r_1r_3+\cdots+r_{n-1}r_n=\frac{a_{n-2}}{a_n})(\cdots)(r_1r_2\cdotsr_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n})在2026年陈省身杯数学竞赛模拟中，可能会出现利用韦达定理解决的问题。例如：已知多项式(x^3-3x^2+2x-1=0)的三个根为(a,b,c)，求(a^2+b^2+c^2)的值。根据韦达定理，(a+b+c=3)，(ab+bc+ca=2)，那么(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=3^2-2\times2=9-4=5)。函数方程函数方程是指含有未知函数的等式，求解函数方程需要根据给定的条件确定未知函数的表达式。常见的函数方程类型有一次函数型、二次函数型、指数函数型、对数函数型等。例如，求解函数方程(f(x+y)=f(x)+f(y))对所有实数(x,y)成立。如果函数(f(x))是连续的，那么它的解是(f(x)=kx)（(k)为常数）。我们可以通过数学归纳法来证明：当(x=n)（(n)为正整数）时，(f(n)=f(1+1+\cdots+1)=nf(1)=kn)；当(x=\frac{m}{n})（(m,n)为正整数）时，(nf(\frac{m}{n})=f(m)=km)，所以(f(\frac{m}{n})=\frac{km}{n})；对于负数(x)，(f(0)=f(x)+f(-x))，又因为(f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0))，所以(f(0)=0)，则(f(-x)=-f(x))，即函数是奇函数。二、几何部分平面几何中的相似三角形相似三角形是平面几何中的重要概念，两个三角形相似意味着它们的对应角相等，对应边成比例。相似三角形的判定定理有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。在竞赛中，相似三角形常常用于证明线段比例关系或求解线段长度。例如，在(\triangleABC)中，(DE\parallelBC)，交(AB)于(D)，交(AC)于(E)，则(\triangleADE\sim\triangleABC)，所以(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC})。如果已知(AD=2)，(AB=5)，(BC=10)，那么(\frac{2}{5}=\frac{DE}{10})，解得(DE=4)。立体几何中的体积与表面积立体几何主要研究空间中的几何体，如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。对于这些几何体，我们需要掌握它们的体积和表面积计算公式。几何体体积公式表面积公式长方体(V=a\timesb\timesc)（(a,b,c)为长、宽、高）(S=2(ab+bc+ac))正方体(V=a^3)（(a)为棱长）(S=6a^2)圆柱(V=\pir^2h)（(r)为底面半径，(h)为高）(S=2\pir^2+2\pirh)圆锥(V=\frac{1}{3}\pir^2h)(S=\pir^2+\pirl)（(l)为母线长，(l=\sqrt{r^2+h^2})）球(V=\frac{4}{3}\piR^3)（(R)为半径）(S=4\piR^2)例如，一个圆锥的底面半径为(3)，高为(4)，则它的母线长(l=\sqrt{3^2+4^2}=5)，体积(V=\frac{1}{3}\times\pi\times3^2\times4=12\pi)，表面积(S=\pi\times3^2+\pi\times3\times5=9\pi+15\pi=24\pi)。三、数论部分整除性问题整除性是数论中的基本概念，如果整数(a)除以整数(b)（(b\neq0)）的商是整数且没有余数，那么称(b)整除(a)，记作(b\mida)。常见的整除性质有：如果(a\midb)且(a\midc)，那么(a\mid(b+c))；如果(a\midb)，那么(a\midbc)（(c)为整数）等。例如，证明(3\mid(10^n-1))对所有正整数(n)成立。我们可以用数学归纳法：当(n=1)时，(10^1-1=9)，(3\mid9)，成立；假设当(n=k)时，(3\mid(10^k-1))，即(10^k=3m+1)（(m)为整数），那么当(n=k+1)时，(10^{k+1}-1=10\times10^k-1=10\times(3m+1)-1=30m+10-1=30m+9=3(10m+3))，所以(3\mid(10^{k+1}-1))，由归纳法可知，对所有正整数(n)成立。同余问题同余是数论中的重要概念，如果两个整数(a)和(b)除以整数(m)（(m>0)）的余数相同，那么称(a)和(b)模(m)同余，记作(a\equivb\pmod{m})。同余的性质有：如果(a\equivb\pmod{m})且(c\equivd\pmod{m})，那么(a+c\equivb+d\pmod{m})，(ac\equivbd\pmod{m})等。例如，求(2^{100})除以(7)的余数。因为(2^3=8\equiv1\pmod{7})，所以(2^{100}=2^{3\times33+1}=(2^3)^{33}\times2^1\equiv1^{33}\times2=2\pmod{7})，即余数为(2)。四、组合数学部分排列组合排列是指从(n)个不同元素中取出(m)个元素（(m\leqn)），按照一定的顺序排成一列，排列数记为(P(n,m)=\frac{n!}{(n-m)!})。组合是指从(n)个不同元素中取出(m)个元素（(m\leqn)），不考虑顺序组成一组，组合数记为(C(n,m)=\frac{n!}{m!(n-m)!})。例如，从(5)个不同的元素中取出(3)个元素进行排列，排列数(P(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{2\times1}=60)；从(5)个不同的元素中取出(3)个元素进行组合，组合数(C(5,3)=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{3\times2\times1\times2\times1}=10)。容斥原理容斥原理是组合数学中的重要原理，用于计算多个集合的并集的元素个数。对于两个集合(A)和(B)，有(\vertA\cupB\vert=\vertA\vert+\vertB\vert-\vertA\capB\vert)；对于三个集合(A,B,C)，有(\vertA\cupB\cupC\vert=\vertA\vert+\vertB\vert+\vertC\vert-\vertA\capB\vert-\vertA\capC\vert-\vertB\capC\vert+\vertA\capB\capC\vert)。例如，求不超过(100)的正整数中，能被(2)或(3)整除的数的个数。设(A)为能被(2)整除的数的集合，(B)为能被(3)整除的数的集合，则(\vertA\vert=\lfloor\frac{100}{2}\rfloor=50)，(\vertB\vert=\lfloor\frac{100}{3}\rfloor=33)，(\vertA\capB\vert=\lfloor\frac{100}{6}\rfloor=16)，所以(\vertA\cupB\vert=50+33-16=67)。五、概率与统计部分概率的基本概念概率是衡量事件发生可能性大小的量，取值范围在(0)到(1)之间。事件(A)的概率记为(P(A))，如果一个试验有(n)个等可能的基本事件，事件(A)包含(m)个基本事件，那么(P(A)=\frac{m}{n})。例如，掷一枚均匀的骰子，求出现点数为(3)的概率。骰子有(6)个面，每个面出现的可能性相等，出现点数为(3)的情况只有(1)种，所以概率(P=\frac{1}{6})。统计中的数据处理统计中常用的统计量有平均数、中位数、众数、方差、标准差等。平均数反映了数据的平均水平，中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数（如果数据个数为偶数，则是中间两个数的平均数），众数是数据中出现次数最多的数，方差和标准差反映了数据的离散程度。例如，有一组数据：(2,3,5,7,8)，平均数(\bar{x}=\frac{2+3+5+7+8}{5}=\frac{25}{5}=5)；中位数是(5)；众数没有（每个数出现的次数都是(1)）；方差(s^2=\frac{1}{5}[(2-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(8-5)^2]=\frac{1}{5}[9+4+0+4+9]=\frac{26}{5}=5.2)；标准差(s=\sqrt{5.2}\approx2.28)。六、综合应用题综合应用题通常会涉及多个数学分支的知识，需要考生综合运用所学知识进行求解。例如，在一个边长为(1)的正方形(ABCD)中，(E)是(AB)的中点，(F)是(BC)的中点，连接(DE)和(AF)交于点(G)，求四边形(BEGF)的面积。首先，建立平面直角坐标系，设(A(0,0))，(B(1,0))，(C(1,1))，(D(0,1))。则(E(0.5,0))，(F(1,0.5))。直线(DE)的方程：过点(D(0,1))和(E(0.5,0))，斜率(k_1=\frac{0-1}{0.5-0}=-2)，方程为(y=-2x+1)。直线(AF)的方程：过点(A(0,0))和(F(1,0.5))，斜率(k_2=\frac{0.5-0}{1-0}=0.5)，方程为(y=0.5x)。联立两条直线的方程：(\begin{cases}y=-2x+1\y=0.5x\end{cases})，解得(0.5x=-2x+1)，(2.5x=1)，(x=0.4)，(y=0.2)，即(G(0.4,0.2))。四边形(BEGF)的面积可以用梯形面积公式计算，上底(BE=0.5)，下底(FG)：先求(F(1,0.5))到(G(0.4,0.2))的距离？不，其实四边形(BEGF)是一个四边形，我们可以用坐标法计算面积。将其分割为三角形(BEG)和三角形(BFG)？或者用矩形面积减去其他部分的面积。正方形(ABCD)的面积为(1\times1=1)。三角形(ADE)的面积：(A(0,0))，(D(0,1))，(E(0.5,0))，面积(S_1=\frac{1}{2}\times0.5\times1=0.25)。三角形(ABF)的面积：(A(0,0))，(B(1,0))，(F(1,0.5))，面积(S_2=\frac{1}{2}\times1\times0.5=0.25)。三角形(DGF)的面积？或者计算三角形(AGD)的面积：(A(0,0))，(G(0.4,0.2))，(D(0,1))，面积(S_3=\frac{1}{2}\times0\times(0.2-1)+0.4\times(1-0)+0\times(0-0.2))？不，用坐标公式计算三角形面积，对于三点((x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3))，面积为(\frac{1}{2}\vertx_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\vert)。所以三角形(AGD)的面积(S_3=\frac