2026届福建省南安一中高二上数学期末考试试题含解析

2026届福建省南安一中高二上数学期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．圆（）上点到直线的最小距离为1，则A.4 B.3C.2 D.12．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为A. B.C. D.3．已知直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若满足，则直线的方程为（）A. B.C. D.4．如下图，面与面所成二面角的大小为，且A，B为其棱上两点．直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面中，且都垂直于AB，已知，，，则（）A. B.C. D.5．如果双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的标准方程是（）A. B.C. D.6．已知数列满足，则满足的的最大取值为（）A.6 B.7C.8 D.97．若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是()A. B.C. D.8．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（）A. B.C. D.9．设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是（）A. B.C. D.10．若实数x，y满足不等式组，则的最小值为（）A. B.0C. D.211．已知圆和椭圆．直线与圆交于、两点，与椭圆交于、两点．若时，的取值范围是，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.12．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=A. B.7C.6 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将集合且中所有的元素从小到大排列得到的数列记为，则___________（填数值）.14．如图所示四棱锥，底面ABCD为直角梯形，，，，，是底面ABCD内一点（含边界），平面MBD，则点O轨迹的长度为_____________.15．圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是________16．已知A(1,3)，B(5，－2)，点P在x轴上，则使|AP|－|BP|取最大值的点P的坐标是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍.求：（1）；（2）展开式中的所有的有理项.18．（12分）如图1是，，，，分别是边，上两点，且，将沿折起使得，如图2.（1）证明：图2中，平面；（2）图2中，求二面角的正切值.19．（12分）已知点是圆：上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（2）设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于，两点，记，的斜率分别是，．当，都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由20．（12分）命题p：直线l：与圆C：有公共点，命题q：双曲线的离心率（1）若p，q均为真命题，求实数m的取值范围；（2）若为真，为假，求实数m的取值范围21．（12分）已知：对任意，都有；：存在，使得（1）若“且”为真，求实数的取值范围；（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围22．（10分）已知椭圆的左右焦点分别为，，经过左焦点的直线与椭圆交于A，B两点（异于左右顶点）（1）求△的周长；（2）求椭圆E上的点到直线距离的最大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据题意可得,圆心到直线的距离等于,即,求得,所以A选项是正确的.【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法：(1)几何法：利用ｄ与ｒ的关系．(2)代数法：联立方程之后利用判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题2、B【解析】设，解集为所以二次函数图像开口向下，且与交点为，由韦达定理得所以的解集为，故选B.3、C【解析】求出抛物线的焦点，设出直线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量坐标表示，解得，即可得出直线的方程.【详解】解：抛物线的焦点，设直线为，则，整理得，则，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故选：C.【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题.4、B【解析】根据题意，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，进一步判断出该四边形为矩形，然后确定出为二面角的平面角，进而通过余弦定理和勾股定理求得答案.【详解】如图，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，所以.因为，所以，又，所以是该二面角的一个平面角，即，由余弦定理.因为，，所以，易得四边形ABDE为矩形，则，而，所以平面ACE，则，于是.故选：B.5、D【解析】根据渐近线方程设出双曲线方程，然后将点代入，进而求得答案.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为，将代入得：，即双曲线方程为.故选：D.6、B【解析】首先地推公式变形，得，，求得数列的通项公式后，再解不等式.【详解】因为，两边取倒数，得，整理为：，，所以数列是首项为1，公差为4的等差数列，，，因为，即，得，解得：，,所以的最大值是7.故选：B7、A【解析】利用函数的导数，求解函数的极值，推出最大值，然后转化列出不等式组求解的范围即可【详解】，或，∴在单调递减，在单调递增，在单调递减，∴f(x)有极大值，要使f(x)在上有最大值，则极大值3即为该最大值，则，又或，∴，综上，.故选：A.8、D【解析】将用基底表示，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得结果.【详解】因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，，则.故选：D9、C【解析】求出圆心到直线距离，再借助圆的性质求出d的最大值与最小值即可.【详解】圆的方程化为，圆心为，半径为1，则圆心到直线的距离，即直线和圆相离，因此，圆上的动点到直线的距离，有，，即，即的取值范围是：.故选：C10、A【解析】画出可行域，令，则，结合图形求出最小值，即可得解；【详解】解：画出不等式组，表示的平面区域如图阴影部分所示，由，解得，即，令，则．结合图形可知当过点时，取得最小值，且，即故选：A11、C【解析】由题设，根据圆与椭圆的对称性，假设在第一象限可得，结合已知有，进而求椭圆的离心率.【详解】由题设，圆与椭圆的如下图示：又时，的取值范围是，结合圆与椭圆的对称性，不妨假设在第一象限，∴从0逐渐增大至无穷大时，，故，∴故选：C.12、A【解析】由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝故答案为考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、992【解析】列举数列的前几项，观察特征，可得出.详解】由题意得观察规律可得中，以为被减数的项共有个，因为，所以是中的第5项，所以.故答案为：992.14、【解析】绘出如图所示的辅助线，然后通过平面平面得出点轨迹为线段，最后通过求出、的长度即可得出结果.【详解】如图，延长到点，使且，连接，取上点，使得，作，交于点，交于点，连接，因为，所以，因为，又，所以，，因为，，，所以平面平面，因为平面，面，所以点轨迹为线段，因为，，所以，因为，，，所以，因为底面为直角梯形，所以，，，，故答案为：.15、【解析】由，求得圆心，再根据圆过原点，求得半径即可.【详解】由，可得，即圆心为，又圆过原点，所以圆的半径，故圆的标准方程为故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，属于基础题.16、【解析】首先求得点A关于x轴的对称点，然后数形结合结合直线方程求解点P的坐标即可.【详解】点A(1,3)关于x轴的对称点为A′(1，－3)，如图所示，连接A′B并延长交x轴于点P，即为所求直线A′B的方程是y＋3＝(x－1)，即.令y＝0，得x＝13则点P的坐标是.【点睛】本题主要考查直线方程的应用，最值问题的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）6；（2），，【解析】（1）先得到二项展开式的通项，再根据第五项的二项式系数是第三项系数的4倍，建立方程求解.（2）根据（1）的通项公式求解.【详解】（1）二项展开式的通项.依题意得，，所以，解得.（2）由（1）得，当，3，6时为有理项，故有理有，，.【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）、利用线面垂直的判定，及线面垂直的性质即可证明；（2）、建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，利用求出两平面所成角的余弦值，进而求出求二面角的正切值.【小问1详解】由已知得：,平面，又平面,在中，,由余弦定理得：，，即，平面.【小问2详解】由（1）知：平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则与，即与,..,观察可知二面角为钝二面角，二面角的正切值为.19、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)根据给定条件探求得，再借助椭圆定义直接求得轨迹的方程.(2)设出直线的方程，再与轨迹的方程联立，借助韦达定理计算作答.【小问1详解】圆：的圆心，半径，因线段的垂直平分线与半径相交于点，则，而，于是得，因此，点的轨迹是以C，A为左右焦点，长轴长为4的椭圆，短半轴长有，所以轨迹的方程为.【小问2详解】依题意，设直线的方程为：，，由消去y并整理得：，，则且，设，则有，，因直线，的斜率，都存在且不为，因此，且，，，所以直线，的斜率，都存在且不为时，是定值，这个定值是.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值20、（1），；（2）.【解析】(1)求出，成立的等价条件，即可求实数的取值范围；(2)若“”为假命题，“”为真命题，则、一真一假，当真假时，求出的取值范围，当假真时，求出的取值范围，然后取并集即可得答案【小问1详解】若命题为真命题，则，解得：，若命题为真命题，则且，，解得，∴，均为真命题，实数的取值范围是，；【小问2详解】若为真，为假，则、一真一假；①当真假时，即“”且“或”，则此时的取值范围是；当假真时，即“或”且“”，则此时的取值范围是；综上,的取值范围是21、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得，均为真命题，分别求得为真命题，为真命题时，实数的取值范围，再由集合的交集运算求得答案；（2）由已知得，一真一假，建立不等式组，求解即可.【小问1详解】解：因为“且”为真命题，所以，均为真命题若为真命题，则，解得；若为真命题，则，当且仅当，即时，等号成立，此时故实