《微积分下册》课件 9.3 幂级数

定义在区间I上的一列函数则由这一列函数构成的表达式

称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数.（1）一、函数项级数的概念§9.3幂级数

对于每一个确定的值函数项级数就成为常数项级数:（1’）如果（1’）收敛，称点x0是函数项级数（1）的收敛点；如果（1’）发散，则称点x0是函数项级数（1）的发散点.此级数可能收敛可能发散.

由所有的收敛点构成的集合称为函数项级数的收敛域，由所有的发散点构成的集合称为函数项级数的发散域.

显然，在收敛域上，函数项级数的和是x的函数，记作称为函数项级数的和函数，即和函数的定义域就是级数的收敛域.函数项级数（1）的前n项和称为它的部分和函数，易知在收敛域上有

称为函数项级数的余项，在收敛域上有形如的级数称为幂级数，其中的常数称为幂级数的系数.

一个幂级数的和是定义在它们的收敛域内的一个函数，即和函数.二、幂级数及其收敛域1.幂级数定义如幂级数的收敛域是(-1,1)，当时有即当时,收敛；当时,发散.收敛域发散域定理1(阿贝尔Abel定理)(1)如果级数在处收敛,

则它在满足不等式的一切处绝对收敛；(2)如果级数在处发散,则它在满足不等式的一切处发散.使得当时,等比级数收敛,

收敛,即级数收敛.

证明收敛,假设当时发散,而有一点适合使级数收敛.由(1)结论,则级数当时应收敛,这与所设矛盾.推论如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数存在,使得当时,幂级数绝对收敛；当时,幂级数发散；当与时,幂级数可能收敛也可能发散

正数R称为幂级数的收敛半径.开区间(-R,R)称为收敛区间.从而决定了收敛域为以下四个区间之一:2.收敛半径几何意义收敛区域发散区域发散区域规定收敛域(1)幂级数只在处收敛,收敛域(2)幂级数对一切都收敛,幂级数收敛域举例(先不证明):证明对级数应用比值判别法()或定理2

如果幂级数的所有系数,设(1)则当时,(2)则当时,(3)则当时,如果存在由比值审敛法,当时,级数收敛,从而级数绝对收敛.当时,级数发散,并且从某个n开始从而级数发散,收敛半径由比值判别法知，对任意的x≠0，级数必发散.从而级数绝对收敛.收敛半径如果有级数收敛,级数必发散.如果故收敛半径当时，级数为，发散.例1

求幂级数的收敛域.解因为又当时，级数为，发散；所以这个幂级数的收敛域为

.解解令t=x–1,则级数变为解

求下列幂级数的收敛区间:该级数发散；当时,级数为该级数收敛；当时,级数为故收敛域是练1故收敛域是级数只在处收敛.当即时,原级数收敛.

求幂级数的收敛域.解级数缺少偶次幂的项,对级数用比值判别法练2当即时,原级数发散.当级数为,收敛.故原级数的收敛域为

求幂级数的收敛域.练3解令,原级数化为当时,,级数发散,当时,,级数收敛,原级数的收敛域为

的收敛域为ABCD提交练4单选题1分1.幂级数的四则运算(1)加（减）法(其中设和的收敛半径分别为三、幂级数的运算与性质(2)

乘法(其中注：

相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多.(3)除法在收敛域内2.幂级数的分析运算性质(2)幂级数的和函数在收敛区间内可积,且对可逐项积分.幂级数的和函数在收敛区间内连续,如在端点收敛,则在端点单侧连续.即收敛半径不变.收敛半径不变.即(3)幂级数的和函数在收敛区间内可导,且对可逐项求导任意次.

两边积分得例7

求下列幂级数的和函数.解易求得的收敛域为设显然又时,收敛.即易求得的收敛域为两边从到积分,得设两边求导得易求得的收敛域为设两式相减,得

求的收敛域及和函数.解易求得与的收敛域分别为收敛域为设练习5则故原级数的和函数为

求的收敛域及和函数.解练习6故收敛域为令积分求导令求导两边同时积分得所以内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通