2026届新疆巴州焉耆县第三中学高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2026届新疆巴州焉耆县第三中学高二数学第一学期期末统考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A.6 B.12C.56 D.782．已知空间向量，，若，则实数的值是（）A. B.0C.1 D.23．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数的最小值为（）A. B.C. D.4．已知，，则等于（）A.2 B.C. D.5．已知球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为（）A. B.C. D.6．某学校高二级选择“史政地”“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为240，120和60．现采用分层抽样的方法选出14位同学进行一项调查研究，则“史政生”组合中选出的人数为（）A.8 B.6C.4 D.37．已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是（）A2 B.C.3 D.8．已知向量，，则以下说法不正确的是（）A. B.C. D.9．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A.必要条件 B.充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要10．若不等式在上有解，则的最小值是（）A.0 B.-2C. D.11．过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（）A. B.C. D.12．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.14．某校对全校共1800名学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是__________人.15．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点为椭圆C的下顶点，直线MA与MB的斜率之积为.（1）求椭圆C的方程；（2）设点P，Q为椭圆C上位于x轴下方的两点，且，求四边形面积的最大值.16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则的取值范围是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数在上的单调性.18．（12分）已知等比数列的前n项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，求数列的前n项和19．（12分）已知等差数列的前和为，数列是公比为2的等比数列，且，（1）求数列和数列的通项公式；（2）现由数列与按照下列方式构造成新的数列①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列；②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列;在以上两个条件中任选一个做为已知条件，求数列的前30项和.20．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且经过点和（1）求圆C的标准方程；（2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程21．（12分）已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程，并说明轨迹是何种曲线；（2）设过点的直线与直线交于两点，且满足的面积是面积的一半，求的面积22．（10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，（1）证明：；（2）当PB的长为何值时，直线AB与平面PCD所成角的正弦值为？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由等比数列的性质直接求得.【详解】在等比数列中，由等比数列的性质可得：由，解得：；由可得：，所以.故选：D2、C【解析】根据空间向量垂直的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，因此有.故选：C3、A【解析】首先解不等式得到或，根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】，解得或，因为“”的必要不充分条件是“或”，所以.实数的最小值为.故选：A4、D【解析】利用两角和的正切公式计算出正确答案.【详解】.故选：D5、B【解析】根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解.【详解】由球的性质可知，截面圆的半径为，所以截面的面积.故选：B6、C【解析】根据题意求得抽样比，再求“史政生”组合中抽取的人数即可.【详解】根据题意，分层抽样的抽样比为，故从“史政生”组合120中，抽取的人数时人.故选：.7、D【解析】由圆C的标准方程可得圆心为（1，1），半径为1，根据切线的性质可得四边形PACB面积等于，，故求解最小时即可确定四边形PACB面积的最小值.【详解】圆C：x2+y2-2x-2y+1=0即，表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆，由于四边形PACB面积等于2×××=，而，故当最小时，四边形PACB面积最小，又的最小值等于圆心C到直线l：的距离d，而，故四边形PACB面积的最小值为，故选：D8、C【解析】可根据已知的和的坐标，通过计算向量数量积、向量的模，即可做出判断.【详解】因为向量，，所以，故，所以选项A正确；，，所以，故选项B正确；，所以，故选项C错误；，所以，，故，所以选项D正确.故选：C.9、B【解析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件故选：B10、D【解析】将题设条件转化为在上有解,然后求出的最大值即可得解.【详解】不等式在上有解,即为在上有解,设,则在上单调递减,所以,所以,即,故选:D.【点睛】本题主要考查二次不等式能成立问题,可以选择分离参数转化为最值问题,也可以进行分情况讨论.11、A【解析】直线AC、BD与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD面积最小值，再比较大小即可作答.【详解】因四边形ABCD的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD的四个顶点为椭圆顶点时，而，四边形ABCD的面积，当直线AC斜率存在且不0时，设其方程为，由消去y得：，设，则，，直线BD方程为，同理得：，则有，当且仅当，即或时取“=”，而，所以四边形ABCD面积最小值为.故选：A12、C【解析】设，用表示出，求得的表达式，结合二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标.【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，即点Q的坐标为.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，分别求出每种的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，①步：即步两阶，有种；②步：即步两阶与步一阶，有种；③步：即步两阶与步一阶，有种；④步：即步两阶与步一阶，有种；⑤步：即步两阶与步一阶，有种；⑥步：即步一阶，有种；综上可得一共有种情况，满足7步登完楼梯的有种；故7步登完楼梯的概率为故答案为：14、810【解析】分析：首先确定抽取的女生人数，然后由分层抽样比即可确定女生的人数.详解：设抽取的女生人数为，则：，解得：，则抽取的女生人数为人，抽取的男生人数为人，据此可知该校女生人数应是人.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比15、（1）（2）【解析】（1）由斜率之积求得，再由已知条件得，从而得椭圆方程；（2）延长QF2交椭圆于N点，连接，，设直线，，.直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，结合不等式的性质、函数的单调性可得的范围，再计算出四边形面积得结论【小问1详解】由题知：，，，又，∴椭圆.【小问2详解】延长QF2交椭圆于N点，连接，，如下图所示：，∴设直线，，.由，得，，，.，由勾形函数的单调性得，根据对称性得：，且，，∴四边形面积的最大值为.16、【解析】设出半焦距c，用表示出椭圆的长半轴长、双曲线的实半轴长，由可得为直角三角形，由此建立关系即可计算作答.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为c，于是得，，由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在x轴上，点P在y轴右侧，由椭圆及双曲线定义得：，解得，，因，即，而O是线段的中点，因此有，则有，即，整理得：，从而有，即有，又，则有，即，解得，所以的取值范围是.故答案：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）答案见解析【解析】（1）求出导函数后计算得斜率，由点斜式得直线方程并整理；（2）求出导函数，然后分类讨论它在上的正负得单调性【小问1详解】当时，，则，故切线的斜率.又.所以函数在处的切线方程为：.【小问2详解】由，得①当时，在上单调递减；②当时，在上单调递减；③当时，令，得当时，在上单调递减；当时，在单调递增；④当时，在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增.18、（1）；（2）【解析】(1)设等比数列公比为q，利用与关系可求q，在中令n＝1可求；(2)根据等差数列前n项和公式可求，分析{}的通项公式，利用错位相减法求其前n项和.【小问1详解】设等比数列的公比为q，由己知，可得，两式相减可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比数列的通项公式为；【小问2详解】由题意知在与之间插入n个数，这个数组成以为首项的等差数列，∴，设{}前n项和为，①①×3：②①－②：19、（1），（2）答案见解析【解析】（1）由题意可直接得到等比数列的通项公式；求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；（2）若选①，则可确定由数列前33项的和减去，即可得答案；若选②，则可确定由数列前27项的和加上，即可得答案.【小问1详解】因为数列为等比数列，且，所以.又因，所以，又，则，故等差数列的通项公式为.【小问2详解】因为，，所以，而若选①因为在数列前30项内，不在在数列前30项内.，则数列前30项和为：=1632.若选②因为在数列前30项内，不在在数列前30项内.，则数列前30项和为：=1203.20、（1）（2）或【解析】（1）点和的中垂线经过圆心，两直线联立方程得圆心坐标，再利用两点间距离公式求解半径.（2）已知弦长，求解直线方程，分类讨论斜率是否存在.小问1详解】点和的中点为，,所以中垂线的，利用点斜式得方程为，联立方程得圆心坐标为，所以圆C的标准方程为.【小问2详解】当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为，此时弦长，符合题意.当过点的直线l斜率存在时,设直线方程为，化简得，弦心距，所以，解得，所以直线方程为.综上所述直线方程为或.21、（1）（2）或【解析】（1）设圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为，由题意，，从而可得，由椭圆的定义即可求解；（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，设，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及点为线段的中点，可得，利用弦长公式求出及到直线AB的距离即可得的面积.【小问1详解】解：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，设圆的半径为，由题意，，所以，由椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，则，所以，所以动圆圆心的轨迹的方程为；【小问2详解】解：由题意，直线的斜率存在且不为0，设，，由，可得，所以①，②，且，即，因为的面积是面积的一半，所以点为线段的中点，所以，即③，联立①②③可得，所以，因为到直线AB的距离，，所以，所以当时，，当时，.所以的面积为或.22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由线面垂直的判断定理证明平面PAB，再由线面垂直的性质定理即可证明；（2）以A为原点，