2026年高考数学复习热搜题速递之空间向量及其运算（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学复习热搜题速递之空间向量及其运算（2025年12月）一．选择题（共9小题）1．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，AG→=2GEA．13AB→-2C．-23AB→2．已知向量a→=（1，1，0），b→=（﹣1，0，1）且ka→A．13 B．12 C．-133．已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA→=43PBA．13 B．-13 C．124．已知a→=(-3，2，5)，bA．3 B．4 C．5 D．65．若向量a→=（1，λ，1），b→=（2，﹣1，﹣2），且a→与bA．-2 B．2 C．-2或2 D6．在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知OA→=(1，2，3)，OB→=(2，1，A．(12，34C．(43，47．已知a→=(1，2，y)，A．13 B．2 C．-12 8．如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA→，OB→，A．14OA→+1C．14OA→+9．已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则（）A．AB→与AC→B．与向量AB→方向相同的单位向量是（25C．AB→与BC→夹角的余弦值是D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）二．多选题（共4小题）（多选）10．给出下列命题，其中正确的是（）A．若空间向量m→=(3，1，3)，B．若a→∥b→，则存在唯一的实数C．若空间向量a→=(1，0，1)，b→=(2，-1，2)D．点M（3，﹣2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，﹣2，﹣1）（多选）11．已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则下列结论错误的是（）A．AB→与AC→B．与AB→同向的单位向量是(C．AB→与BC→夹角的余弦值是D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）（多选）12．若{a→，A．b→+c→，b→，b→-c→ B．a→，a→+b→，a→-（多选）13．给定两个不共线的空间向量a→与b→，定义叉乘运算：a→×b→．规定：①a→×b→为同时与a→，b→垂直的向量；②a→，b→，a→×b→三个向量构成右手系（如图1）；③|a→×b→|=|aA．AB→B．AB→C．(ABD．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V=(三．填空题（共3小题）14．若a→=（2，3，m），b→=（2n，6，8）且a→，b→为共线向量，则m+n15．已知空间向量a→=(1，0，1)，b→=(2，16．已知a→=(x，32，3)，b→=(-1，y，2)，若四．解答题（共4小题）17．已知向量a→=(1，（1）求a→（2）求|2a（3）求cos〈18．直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝a，∠BCA＝90°，AA1＝2a，M，N分别是A1B1、AA1的中点．（I）求BN的长；（II）求BA1，CB1夹角的余弦值．19．设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，BB1的中点．如图，以D为坐标原点，DA→，DC→，DD1→为x（I）求A1（II）若点M，N分别是线段A1E与线段D1F上的点，问是否存在直线MN，使得MN⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA→=a→，CB→=b→，CC1→=c→，CA＝CB＝CC1＝1，（1）用a→，b→，c→（2）在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由．

2026年高考数学复习热搜题速递之空间向量及其运算（2025年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）题号123456789答案DBACACBAD二．多选题（共4小题）题号10111213答案ACACCDACD一．选择题（共9小题）1．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，AG→=2GEA．13AB→-2C．-23AB→【考点】空间向量及其线性运算．【专题】数形结合；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】利用向量加法法则能求出结果．【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，AG→则GF=1=1=-故选：D．【点评】本题考查向量的求法，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知向量a→=（1，1，0），b→=（﹣1，0，1）且ka→A．13 B．12 C．-13【考点】空间向量的数量积运算．【专题】转化思想；定义法；空间向量及应用．【答案】B【分析】根据ka→+b→与a→互相垂直，（ka【解答】解：∵向量a→=(1，∴ka→+b→=（k﹣1又ka→+∴（ka→+b→即（k﹣1）×1+k＝0，解得k=1故选：B．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．3．已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA→=43PBA．13 B．-13 C．12【考点】空间向量的共线与共面．【专题】平面向量及应用．【答案】A【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【解答】解：PA→=43PB→-xPC→又∵P是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，∴32-x-解得x=1故选：A．【点评】本题考查空间向量基本定理，考查向量共面的条件，属于中档题．4．已知a→=(-3，2，5)，bA．3 B．4 C．5 D．6【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题．【答案】C【分析】由已知中a→=(-3，2，5)，b【解答】解：∵a→=(-3，∴a→⋅b→=-3+2x解得x＝5故选：C．【点评】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，其中熟练掌握空间向量数量积运算的坐标表达公式，并由此构造关于x的方程，是解答本题的关键．5．若向量a→=（1，λ，1），b→=（2，﹣1，﹣2），且a→与bA．-2 B．2 C．-2或2 D【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】计算题；方程思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】利用向量夹角余弦公式直接求解．【解答】解：∵向量a→a→与b→的夹角余弦为∴cos＜a解得λ=-故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知OA→=(1，2，3)，OB→=(2，1，A．(12，34C．(43，4【考点】空间向量的数量积运算．【专题】空间向量及应用．【答案】C【分析】由点Q在直线OP上运动，可得存在实数λ使得OQ→=λOP→=（λ，λ，【解答】解：∵点Q在直线OP上运动，∴存在实数λ使得OQ→=λOP→=（λ，∴QA→=(1-λ，∴QA→⋅QB→=（1﹣λ）（2﹣λ）+（2﹣λ）（1﹣λ）+（3﹣2λ）（＝6λ2﹣16λ+10＝6(λ-当且仅当λ=43时，上∴Q(4故选：C．【点评】熟练掌握向量共线定理、数量积运算、二次函数的单调性等是解题的关键．7．已知a→=(1，2，y)，A．13 B．2 C．-12 【考点】空间向量的数量积运算．【专题】方程思想；转化法；空间向量及应用．【答案】B【分析】由(a→+2b→)∥(2a→【解答】解：a→+2b→=（1+2x，4，4+y），2a→-b→=（∵(a∴存在实数k使得a→+2b→∴1+2x=k(2-x)4=3k4+y=k(2y-2)，解得x=1∴x•y＝2．故选：B．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA→，OB→，A．14OA→+1C．14OA→+【考点】空间向量的数乘及线性运算．【专题】计算题；对应思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】利用空间向量基本定理，空间向量的线性运算求解即可．【解答】解：∵M是四面体OABC的棱BC的中点，MN=12∴OM→=12（OB→∵AP=34∴OP→=OA=14OA=1故选：A．【点评】本题考查空间向量基本定理，空间向量的线性运算，属于中档题．9．已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则（）A．AB→与AC→B．与向量AB→方向相同的单位向量是（25C．AB→与BC→夹角的余弦值是D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）【考点】空间向量的共线与共面；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】利用空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量直接求解．【解答】解：空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），对于A，AB→=（2，1，0），AC→=（﹣1，2，1），∴AB→对于B，AB→=（2，1，0），AB→|AB→|=（对于C，AB→=（2，1，0），BC→=（﹣3，∴AB→和BC→夹角的余弦值是：cos＜AB→，对于D，AB→=（2，1，0），AC→=（﹣1，设平面ABC的法向量n→=（x，y，则n→⋅AB→=2x+y=0n→⋅AC→=-x+2y+z=0，取x＝1故选：D．【点评】本题主要考查空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）10．给出下列命题，其中正确的是（）A．若空间向量m→=(3，1，3)，B．若a→∥b→，则存在唯一的实数C．若空间向量a→=(1，0，1)，b→=(2，-1，2)D．点M（3，﹣2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，﹣2，﹣1）【考点】空间向量的数量积运算；平面向量的相等与共线；空间中的点的坐标；空间向量的共线与共面．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】AC【分析】利用空间向量的对称特征可判定D，利用空间向量平行的充要条件及坐标表示可判定A、B，利用投影向量的概念可判定C．【解答】解：对于A，可知3-1=1对于B，显然b→=0→时，a→∥b对于C，向量b→在向量a→上的投影向量为a→对于D，易知点M（3，﹣2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，﹣2，1），故D错误．故选：AC．【点评】本题考查了空间向量的数量积运算，涉及到向量共线，空间中的点对称等问题，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．（多选）11．已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则下列结论错误的是（）A．AB→与AC→B．与AB→同向的单位向量是(C．AB→与BC→夹角的余弦值是D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）【考点】空间向量的数量积运算；平面的法向量；空间向量的共线与共面．【专题】计算题；整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】AC【分析】A：利用共线向量定义进行判断；B：与AB→同向的单位向量AB→|AB→|；C：利用向量夹角余弦公式判断；【解答】解：对于A：AB→=(2，1，0)，AC→对于B：AB→=(2，1，0)，则与A对于C：AB→=(2，1，对于D：AB→设平面ABC的法向量为n→则n→⋅AB→=2x+y=0n→⋅AC故选：AC．【点评】本题主要考查空间向量的应用，属于中档题．（多选）12．若{a→，A．b→+c→，b→，b→-c→ B．a→，a→+b→，a→-【考点】空间向量的共线与共面；空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；逻辑思维．【答案】CD【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量共面定理，依次判断四个选项即可．【解答】解：对于A，b→所以b→+c→，故选项A错误；对于B，a→所以a→，a→+故选项B错误；对于C，假设a→+b→，则存在非零实数x，y，满足a→整理可得(x-因为a→，所以x﹣1＝﹣x﹣1＝y＝0，无解，所以假设不成立，则a→+b→，a→故选项C正确；对于D，假设a→则存在非零实数x，y，满足a→所以x＝﹣x＝y＝1，无解，所以假设不成立，则a→-b故选项D正确．故选：CD．【点评】本题考查了空间向量基本定理以及空间向量共面定理的理解与应用，属于基础题．（多选）13．给定两个不共线的空间向量a→与b→，定义叉乘运算：a→×b→．规定：①a→×b→为同时与a→，b→垂直的向量；②a→，b→，a→×b→三个向量构成右手系（如图1）；③|a→×b→|=|aA．AB→B．AB→C．(ABD．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V=(【考点】空间向量的数量积运算．【专题】新定义；转化思想；向量法；简易逻辑；逻辑思维．【答案】ACD【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵|AB→×AD→|=|AB→||由题意，AB→×AD→=∵AB→+AD→=AC→∵|AB→×AA1→|=2×4×1=8，AB→∴|AB→×AA1→+AD→(AB→×AD→)⋅CC1→故选：ACD．【点评】本题是新定义题，考查命题的真假判断与应用，考查计算能力，是中档题．三．填空题（共3小题）14．若a→=（2，3，m），b→=（2n，6，8）且a→，b→为共线向量，则m+n【考点】空间向量的共线与共面．【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】a→，b→为共线向量，a→=λb→【解答】解：a→=（2，3，m），b→=（2n，6，8）且a→，b→为共线向量，∴a→=λ故答案为：6【点评】本题考查了空间向量共线的判定，属于基础题．15．已知空间向量a→=(1，0，1)，b→=(2，【考点】空间向量的投影向量与投影．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据向量a→，b→的坐标可求出a→【解答】解：a→⋅b∴向量a→在向量b→上的投影向量的坐标是：故答案为：(8【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，投影向量的计算公式，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．16．已知a→=(x，32，3)，b→=(-1，y，2)，若【考点】空间向量的共线与共面；平面向量的相等与共线．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】由向量共线的坐标表示得出x+y的值．【解答】解：因为a→与b所以(-所以x=-32，y则x+y=-故答案为：-1【点评】本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．已知向量a→=(1，（1）求a→（2）求|2a（3）求cos〈【考点】空间向量的数量积运算．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】（1）﹣2；（2）52（3）-6【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解．【解答】解：（1）a→（2）2a则|2a（3）|a→|=【点评】本题主要考查空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算，属于基础题．18．直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝a，∠BCA＝90°，AA1＝2a，M，N分别是A1B1、AA1的中点．（I）求BN的长；（II）求BA1，CB1夹角的余弦值．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；棱柱的结构特征．【专题】计算题．【答案】（I）3a（II）3010【分析】（I）以C为原点建立空间直角坐标系，B（0，a，0），N（a，0，a），由此能求出|BN（II）A1（a，0，2a），C（0，0，0），B1（0，a，2a），BA1→=（a，﹣a，2a），CB1→=（0，a，2a），再由cos【解答】解：以C为原点建立空间直角坐标系（I）B（0，a，0），N（a，0，a），∴|BN→|=（II）A1（a，0，2a），C（0，0，0），B1（0，a，2a），∴BA1→=（a，﹣a，2a），CB1→=∴BA1→•CB1→=a×0+（﹣a）×a+2a×2a|BA1→|CB1→∴cos＜BA1【点评】本题考查线段的长和两异面直线夹角余弦值的求法，解题时要恰当地建立空间直角坐标系，合理地运用cos＜B19．设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，BB1的中点．如图，以D为坐标原点，DA→，DC→，DD1→为x（I）求A1（II）若点M，N分别是线段A1E与线段D1F上的点，问是否存在直线MN，使得MN⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】空间向量的数量积运算．【专题】数形结合；定义法；空间向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）利用空间直角坐标系中点及向量坐标表示，计算A1E→（Ⅱ）存在唯一直线MN，使MN⊥平面ABCD，利用平面ABCD的法向量求出点M，N的坐标．【解答】解：（Ⅰ）在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标为A1（2，0，2），E（1，2，0），D1（0，0，2），F（2，2，1），A1E→=（﹣1，2，﹣2），D1F→=（所以A1E→（Ⅱ）存在唯一直线MN，使MN⊥平面ABCD；设M（x1，y1，z1），N（x2，y2，z2），且A1M→则（x1﹣2，y1，z1﹣2）＝λ（﹣1，2，﹣2），（x2，y2，z2﹣2）＝t（2，2，﹣1），所以M（2﹣λ，2λ，2﹣2λ），N（2t，2t，2﹣t），故MN→=(2t-2+λ，若MN⊥平面ABCD，则MN→与平面ABCD的法向量n→=（0，0所以2t-解得λ=t=2所以点M，N的坐标分别是（43，43，23），（43，43【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，是综合性题目．20．如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA→=a→，CB→=b→，CC1→=c→，CA＝CB＝CC1＝1，（1）用a→，b→，c→（2）在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由．【考点】空间向量的数量积运算；数量积表示两个平面向量的夹角．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】（1）A1（2）当C1M=23C1B1时，AM⊥A【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可；（2）根据空间向量共线向量的性质，结合空间向量垂直的性质进行求解即可．【解答】解：（1）A1N→=A（2）假设存在点M，使AM⊥A1N，设C1M→=λC1B显然λCB→=λb→，AM因为AM⊥A1N，所以AM→⊥A1即（c→-a→+λb∴-12c→•a→+12c→•b→-c→2∵CA＝CB＝CC1＝1，＜a→，b→＞=＜a∴-12c→•a→-c→2+12即12×1×1×（-12）﹣12+12×12﹣（12+12λ）×1×1解得λ=23，所以当C1M=13C1B1时，AM【点评】本题考查空间向量的运算，考查利用向量的综合运用，属中档题．

考点卡片1．平面向量的相等与共线【知识点的认识】相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任一向量平行．注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．【解题方法点拨】平行向量与相等向量的关系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命题方向】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．2．数量积表示两个平面向量的夹角【知识点的认识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量a→与b→不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ【解题方法点拨】例：复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60°解：zz=3+i3-i∴复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为故答案为：60°．点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（3，1）与向量（3，﹣1）的夹角．【命题方向】这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．3．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征棱柱1根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．4．空间中的点的坐标【知识点的认识】1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．2、点P（a，b，c）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，）点P（a，b，c）关于y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）；点P（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOz的对称点为（a，﹣b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（﹣a，b，c，）；点P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）．3、已知空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）则线段P1P2的中点坐标为（x15．空间向量及其线性运算【知识点的认识】1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为|AB→|，|a特别地：①规定长度为0的向量为零向量，记作0→②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a→的相反向量记为-5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，规定0→②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．1．加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．2．加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．（1）交换律：a（2）结合律：(a3．推广：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：A1（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量A11．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量a→的乘积λ①当λ＞0时，λa→与②当λ＜0时，λa→与③当λ＝0时，λa④|λa→|＝|λ|•|aλa→的长度是a→的长度的|λ2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）结合律：λ(μ注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±6．空间向量的数乘及线性运算【知识点的认识】1．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量a→的乘积λ①当λ＞0时，λa→与②当λ＜0时，λa→与③当λ＝0时，λa④|λa→|＝|λ|•|aλa→的长度是a→的长度的|λ2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）结合律：λ(μ注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±【解题方法点拨】﹣标量运算：进行数乘运算时，将标量与向量分量相乘．﹣线性组合：应用线性组合公式，计算向量的线性组合结果．【命题方向】﹣向量数乘和线性运算：考查如何进行空间向量的数乘和线性组合运算．7．空间向量的共线与共面【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理对于空间任意两个向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果两个向量a→、b→不共线，则向量p→与向量a→、b→共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x【解题方法点拨】空间向量共线问题：（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a→=λb→成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出（2）a→∥b→表示空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使MP→=xMA→+yMB→．满足这个关系式的点P证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-分析：利用共线向量的条件b→=λa→，推出比例关系求出解答：∵a→=（2x，1，3）与b→=（1，﹣2故有2x1∴x=16，y故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根据共面向量定理OM→=m⋅OA→+n⋅OB→+p⋅OC解答：由共面向量定理OM→说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确．故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．8．空间向量的数量积运算【知识点的认识】1．空间向量的夹角已知两个非零向量a→、b→，在空间中任取一点O，作OA→=a→，OB→=b→，则∠2．空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a→、b→，则|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→与b→的数量积，记作a→•b→（2）几何意义：a→与b→的数量积等于a→的长度|a→|与b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘积，或b→的长度|b→|与3．空间向量的数量积运算律空间向量的数量积满足交换律和分配律．（1）交换律：(λa→)⋅b→=λ（a（2）分配律：a→4．数量积的理解（1）书写向量的数量积时，只能用符号a→⋅b→（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）当a→≠0→时，由a→⋅b→=0不能推出【解题方法点拨】利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：利用数量积求两点间的距离：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a→|=利用数量积证明垂直关系：（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断a→⊥b→时，须指明（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a→，b→，c→【命题方向】求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1），则分析：通过2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0解答：∵2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=∴a→=（1，﹣3，∴a→•b→=1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1故答案为：﹣7．点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．9．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式设空间向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2cos＜注意：（1）当cos＜a→，b→＞（2）当cos＜a→，b→＞（3）当cos＜a→，b→＞2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB→dA，B＝|AB→|=【解题思路点