2026年高考数学复习热搜题速递之抛物线（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学复习热搜题速递之抛物线（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→=3FQ→，则|A．83 B．52 C．3 D2．若点P到点F（4，0）的距离比它到直线x+5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是（）A．y2＝﹣16x B．y2＝﹣32x C．y2＝16x D．y2＝32x3．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x22-yA．﹣2 B．2 C．﹣4 D．44．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A（3，y）作准线l的垂线，垂直为B，若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程是（）A．y2=12x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝5．若抛物线y2=4mxA．-12 B．12 C．﹣2 6．已知点A（2，0），抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（）A．2：5 B．1：2 C．1：5 D．1：37．已知双曲线C1：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py（p＞0A．x2=833y B．x2=1633y C．x2＝88．已知倾斜角为π6的直线过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点，且与抛物线相交于A、B两点，若|AB|＝8，则pA．12 B．1 C．2 D．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，以该抛物线上三点A，B，C为切点的切线分别是l1，l2，l3，直线l1，l2相交于点D，l3与l1，l2分别相交于点P，Q．记A，B，D的横坐标分别为x1，x2，x3，则（）A．DA→⋅DB→=0 B．x1+x2C．|AF|•|BF|＝|DF|2 D．|AP|•|CQ|＝|PC|•|PD|（多选）10．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A．点F的坐标为（1，0） B．若A，F，B三点共线，则OA→C．若直线OA与OB的斜率之积为-14，则直线AB过点D．若|AB|＝6，则AB的中点到x轴距离的最小值为2（多选）11．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列说法一定正确的是（）A．|AB|的最小值为2 B．线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切 C．x1x2为定值 D．过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则|CD|2＝4|AF||BF|（多选）12．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（）A．对于任意直线m，均有AE⊥PF B．不存在直线m，满足BF→C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切 D．存在直线m，使|AF|+|BF|＝2|DF|三．填空题（共4小题）13．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（0，4），则点P满足λ=12的阿波罗尼斯圆的方程为．已知点C（﹣2，4），Q为抛物线E：y2＝8x上的动点，点Q在直线x＝﹣2上的射影为H，M为（x+2）2+y2＝4上动点，则12|MC|+|QH|+|QM|的最小值为14．已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣1，焦点为F，A、B、C为该抛物线上不同的三点，|FA|→、|FB|→、|FC|→成等差数列，且点B在x轴下方，若FA15．以抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F为圆心，p为半径作圆交y轴于A，B两点，连接FA交抛物线于点D（D在线段FA上），延长FA交抛物线的准线于点C，若|AD|＝m，且m∈[1，2]，则|FD|•|CD|的最大值为．16．如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．四．解答题（共4小题）17．如图，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），M为直线y＝﹣2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，﹣2p）时，|AB|=4（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2＝2py（p＞0）上，其中，点C满足OC→=OA→+18．设λ＞0，点A的坐标为（1，1），点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足，BQ→=λQA→经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM→=19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过点（2，0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，且OA→（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）点M坐标为（﹣2，0），直线MA，MB的斜率分别k1，k2，求证：1k20．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，﹣3）、N（5，1），若点C满足OC→=tOM→+（1﹣t）ON→（t∈R），点C的轨迹与抛物线：y2＝4x（Ⅰ）求证：OA→⊥OB（Ⅱ）在x轴上是否存在一点P（m，0）（m∈R），使得过P点的直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．

2026年高考数学复习热搜题速递之抛物线（2025年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ACDDACDB二．多选题（共4小题）题号9101112答案BCDBCDBCDAC一．选择题（共8小题）1．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→=3FQ→，则|A．83 B．52 C．3 D【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】A【分析】设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，由FP→=3FQ→，可得|NQ||MF|=23，又|【解答】解：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，∵FP→=3∴|NQ||MF|=23，又|MF|＝∴|NQ|=8∵|NQ|＝|QF|，∴|QF|=8故选：A．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．若点P到点F（4，0）的距离比它到直线x+5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是（）A．y2＝﹣16x B．y2＝﹣32x C．y2＝16x D．y2＝32x【考点】抛物线的定义．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】C【分析】根据题意，点P到直线x＝﹣4的距离等于它到点（4，0）的距离．由抛物线的定义与标准方程，不难得到P点的轨迹方程．【解答】解：∵点P到点（4，0）的距离比它到直线x+5＝0的距离少1，∴将直线x+5＝0右移1个单位，得直线x+4＝0，即x＝﹣4，可得点P到直线x＝﹣4的距离等于它到点（4，0）的距离．根据抛物线的定义，可得点P的轨迹是以点（4，0）为焦点，以直线x＝﹣4为准线的抛物线．设抛物线方程为y2＝2px，可得p2=4，得2p＝∴抛物线的标准方程为y2＝16x，即为P点的轨迹方程．故选：C．【点评】本题给出动点P到定直线的距离比到定点的距离大1，求点P的轨迹方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程和动点轨迹求法等知识，属于基础题．3．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x22-yA．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【考点】抛物线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】D【分析】求出双曲线的焦点坐标，可得抛物线y2＝2px的焦点坐标，即可求出p的值．【解答】解：双曲线x22-y22即抛物线y2＝2px的焦点为（2，0），∴p2=∴p＝4．故选：D．【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A（3，y）作准线l的垂线，垂直为B，若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程是（）A．y2=12x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学建模；运算求解．【答案】D【分析】根据抛物线的基本概念与正三角形的性质，利用解直角三角形算出|BF|＝2p，由AB⊥y轴，可得3+p2=2p【解答】解：设直线l交x轴于点C∵AB⊥l，l⊥x轴，∴AB∥x轴，可得∠BFC＝∠ABF＝60°，Rt△BCF中，|CF|＝|BF|cos60°＝p，解得|BF|＝2p，由AB⊥y轴，可得3+p2=∴p＝2，∴抛物线的标准方程是y2＝4x．故选：D．【点评】本题给出抛物线中的正三角形满足的条件，求抛物线的标准方程，着重考查了抛物线的基本概念、正三角形的性质与解直角三角形等知识，属于中档题．5．若抛物线y2=4mxA．-12 B．12 C．﹣2 【考点】抛物线的标准方程；椭圆的几何特征．【专题】计算题．【答案】A【分析】先确定抛物线与椭圆的焦点坐标，根据抛物线y2=4mx【解答】解：抛物线y2=椭圆x27+y23=1，∵a2＝∴c2＝a2﹣b2＝4，∴椭圆的左焦点坐标为（﹣2，0）∵抛物线y2=4∴1∴m=故选：A．【点评】本题重点考查圆锥曲线的几何性质，解题的关键是求出相应抛物线与椭圆的焦点坐标．6．已知点A（2，0），抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（）A．2：5 B．1：2 C．1：5 D．1：3【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】C【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=-12．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=12，从而得到|PN|＝2|PM|，进而算出|MN|=5|PM|，由此即可得到|FM【解答】解：∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y＝﹣1，直线AF的斜率为k=0-1过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP＝﹣k=1∴|PM||PN|=12，可得|PN|＝2|PM|，得|MN|因此，|PM||MN|=15，可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|故选：C．【点评】本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．7．已知双曲线C1：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py（p＞0A．x2=833y B．x2=1633y C．x2＝8【考点】抛物线的焦点与准线；双曲线的几何特征；点到直线的距离公式．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】D【分析】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．【解答】解：双曲线C1：x2a2所以ca=2，即：a2+b抛物线C2：x2=2py(p＞0)的焦点（0，所以2=|p2b|(1a抛物线C2的方程为x2＝16y．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．8．已知倾斜角为π6的直线过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点，且与抛物线相交于A、B两点，若|AB|＝8，则pA．12 B．1 C．2 D．【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】计算题；方程思想；转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】B【分析】求得抛物线的焦点，设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得所求值．【解答】解：倾斜角为π6的直线过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点（P2，可设直线方程为y=33（x联立抛物线方程y2＝2px可得13x2-73px设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝7p，由抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+p＝8p＝8，解得p＝1．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，以该抛物线上三点A，B，C为切点的切线分别是l1，l2，l3，直线l1，l2相交于点D，l3与l1，l2分别相交于点P，Q．记A，B，D的横坐标分别为x1，x2，x3，则（）A．DA→⋅DB→=0 B．x1+x2C．|AF|•|BF|＝|DF|2 D．|AP|•|CQ|＝|PC|•|PD|【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BCD【分析】利用导函数和斜率的关系表示出切线方程可求出D的坐标可判断B，根据向量数量积的坐标运算判断A，并根据两点间的距离公式运算求解即可判断C，D．【解答】解：A，B，D的横坐标分别为x1，x2，x3，则可设A(x1，x1由抛物线x2＝4y，可得y=14x2，求导得y'=12所以l1：y-同理可得l2直线l1，l2方程联立y=12x1x-14x12y=12x2D（x1+x则DA→⋅DB→=(|DF|2=(x1+x2)24+（x1x24-1P（x1+x02，x1x|AP|=(|CQ|=(|PC|=(|PD|=(∴|AP|•|CQ|＝|PC|•|PD|，D正确，故选：BCD．【点评】本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，向量的数量积运算，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）10．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A．点F的坐标为（1，0） B．若A，F，B三点共线，则OA→C．若直线OA与OB的斜率之积为-14，则直线AB过点D．若|AB|＝6，则AB的中点到x轴距离的最小值为2【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】综合题；方程思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】BCD【分析】根据抛物线的定义可判断A，对于B，设直线AB的方程为y＝kx+1，根据韦达定理和向量的运算即可判断，对于CD，设直线AB的方程为y＝kx+m，根据直线的斜率，弦长公式，点到直线的距离，即可判断．【解答】解：抛物线x2＝4y中的p＝2，则焦点F坐标为（0，1），故A错误，设直线AB的方程为y＝kx+1，联立方程可得x2=4yy=kx+1，消y可得x2﹣4kx﹣4∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，∴y1y2＝k2x1x2+k（x1+x2）+1＝1，∴OA→•OB→=x1x2+y1y2＝﹣4+1＝﹣3设直线AB的方程为y＝kx+m，联立方程可得x2=4yy=kx+m，消y可得x2﹣4kx﹣4m∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4m，∴y1y2＝k2x1x2+k（x1+x2）+m2＝﹣4k2m+4mk2+m2＝m2，∵直线OA与OB的斜率之积为-1∴y1x1即m2解得m＝1，∴直线AB的方程为y＝kx+1，即直线过点F；故C正确，∵|AB|=1+k2•(x∴4（1+k2）（k2+m）＝9，∴m=94(1+k∵y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝4k2+2m，∴AB的中点到x轴距离d＝2k2+m＝2k2+94(1+k2)-k2＝k2+94(1+k2)=k2+1+94(1+k2故AB的中点到x轴距离的最小值为2，故D正确．综上所述：结论正确的是BCD．故选：BCD．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．（多选）11．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列说法一定正确的是（）A．|AB|的最小值为2 B．线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切 C．x1x2为定值 D．过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则|CD|2＝4|AF||BF|【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BCD【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由直线AB垂直于x轴，可判断A；设出AB的方程为x＝my+1，代入抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得AB的中点的横坐标和中点到准线的距离，以及弦长|AB|，可判断B；由A，B的坐标满足抛物线的方程，结合韦达定理可判断C；运用抛物线的定义和直角三角形的勾股定理，即可判断D．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，直线AB经过F，当直线AB垂直于x轴时，|AB|取得最小值4，故A错误；设AB的方程为x＝my+1，代入抛物线C：y2＝4x可得y2﹣4my﹣4＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，而y12＝4x1，y22＝4x2，所以x1x2=(y1yx1+x2=y124则弦长|AB|＝x1+x2+2＝4m2+4，设AB的中点为M，M到准线的距离为x1+x22+1＝2+2m所以以AB为直径的圆与准线相切，故B正确；设A，B在准线上的射影分别为C，D，|AF|＝a，|BF|＝b，可得|AC|＝a，|BD|＝b，设BE⊥AC，垂足为E，可得|AE|＝a﹣b，而|CD|2＝|AB|2﹣|AE|2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝4|AF|•|BF|，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和数形结合思想、运算能力和推理能力，属于中档题．（多选）12．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（）A．对于任意直线m，均有AE⊥PF B．不存在直线m，满足BF→C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切 D．存在直线m，使|AF|+|BF|＝2|DF|【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】AC【分析】A选项由E为线段PF的中点以及抛物线定义即可判断；B选项由BF→=2EB→及抛物线方程求出A，B坐标，再说明D，B，A三点共线，即存在直线m即可，C选项设A（x1，y1），表示出直线AE，联立抛物线，利用Δ＝0即可判断，D选项设出直线m，联立抛物线得到y1y2＝4，通过焦半径公式结合基本不等式得|AF|+|BF【解答】解：对于A：如图1：由抛物线知O为DF的中点，l∥y轴，所以E为线段PF的中点，由抛物线的定义知|AP|＝|AF|，所以AE⊥PF，故A正确；B选项，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＞x2，F（1，0），P（﹣1，y1），E为线段PF的中点，则E（0，y1BF→=（1﹣x2，﹣y2），EB→=（x2，y2-y12），由BF→=2EB→，得1-又y12＝4x1，y22＝4x2，故B（13，233），A（3，23），D（﹣1可得kDA=233+1=32，kDB=2C选项：由题意知，E为线段PF的中点，从而设A（x1，y1），则E（0，y1直线AE的方程：y=y12x1（x+x1），与抛物线方程yy=y12x1（y24+x1），由y12＝4x1，代入左式整理得y1y2﹣2y12∴Δ＝4y14﹣4y1y13＝0，所以直线AE与抛物线C相切，故C正确；对于D：设AB的方程my＝x+1，联立my=x+1y2=4x，则y2＝4（my﹣1），∴y1+y2＝4m，y1y2由|AF|+|BF|＝|BH|+|AP|＝2+y124+y224=2+14[（y1+y2）2而|DF|＝2，由m（4﹣y22）＝4y2，得Δ＝16m2﹣16＞0，解得：m2＞1，故4m2＞4＝2|DF|，故D错误；故选：AC．【点评】本题考查了抛物线的定义和性质，考查向量问题，考查韦达定理的应用以及数形结合思想，是难题．三．填空题（共4小题）13．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（0，4），则点P满足λ=12的阿波罗尼斯圆的方程为x2+y2＝4．已知点C（﹣2，4），Q为抛物线E：y2＝8x上的动点，点Q在直线x＝﹣2上的射影为H，M为（x+2）2+y2＝4上动点，则12|MC|+|QH|+|QM|的最小值为17【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】综合题；方程思想；转化思想；定义法；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用直译法直接求出P点的轨迹．（2）先利用阿氏圆的定义将12|MC|转化为M点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得12|MC|+|QH|+|【解答】解：设P（x，y），由题意可得：PAPB=12，即x2+(y-1)2x做出图象如右：设圆（x+2）2+y2＝4是动点M（x，y）到C（﹣2，4）与到定点D（﹣2，m）的距离比为2的阿氏圆．所以(x+2)2则m﹣1＝0，所以m＝1，故D（﹣2，1），∴12|MC|=|MD|，结合抛物线定义|QH|＝|QF∴12|MC|+|QH|+|QM＝|MD|+|QM|+|QF|≥|FD|（当且仅当D，M，Q，F四点共线，且Q，M在D，F此时|FD|=(-2-2故12|MC|+|QH|+|QM|的最小值为17故答案为：x2+y2＝4，17．【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力．难度较大．14．已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣1，焦点为F，A、B、C为该抛物线上不同的三点，|FA|→、|FB|→、|FC|→成等差数列，且点B在x轴下方，若FA→+FB→+FC→【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】方程思想；转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】根据抛物线的准线方程求出p，设A，B，C的坐标，根据|FA|→，|FB|→，|FC|→成等差数列，且点B在x轴下方，若FA→+FB→+FC→=0，求出x1+【解答】解：抛物线的准线方程是x=-p2=-1，∴即抛物线方程为y2＝4x，F（1，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵|FA→|，|FB→|，|FC∴|FA→|+|FC→|＝2|FB即x1+1+x3+1＝2（x2+1），即x1+x3＝2x2，∵FA→∴（x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1，y1+y2+y3）＝0，∴x1+x2+x3＝3，y1+y2+y3＝0，则x1+x3＝2，x2＝1，由y22＝4x2＝4，则y2＝﹣2或2（舍），则y1+y3＝2，则AC的中点坐标为（x1+x32，yAC的斜率k=y1则直线AC的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0，故答案为：2x﹣y﹣1＝0【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，根据条件求出直线AB的斜率和AB的中点坐标是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．15．以抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F为圆心，p为半径作圆交y轴于A，B两点，连接FA交抛物线于点D（D在线段FA上），延长FA交抛物线的准线于点C，若|AD|＝m，且m∈[1，2]，则|FD|•|CD|的最大值为32．【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题．【答案】见试题解答内容【分析】由题意得到以F为圆心，P为半径的圆的方程，再令A为y轴正半轴上的点，从而求出A点坐标，得到直线AF的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出C、D两点坐标，即可用p表示出|FD|•|CD|，再由|AD|＝m，且m∈[1，2]，求出p的范围，即可得出结果．【解答】解：由题意可得抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（p2，0），准线方程为x=所以以F为圆心，p为半径的圆的方程为(x-p2)2+因为A，B两点为圆(x-p2)2+y2＝p2与y由x＝0得，A（0，3p所以直线AF的斜率为kAF=-3p2p2=-3由y=-3x+3p2x=-p由y=-3x+3p2y所以|FD|=p6+p2=2p|AD|=(p又|AD|＝m，且m∈[1，2]，所以13p∈[1，2]，即p∈[3，6]因此|FD|•|CD|=89p2≤32，当且仅当p＝故答案为：32．【点评】本题主要考查抛物线的性质，通常需要联立直线与抛物线方程等求解，是中档题．16．如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为26米．【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】计算题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y＝﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将A（2，﹣2）代入x2＝my，得m＝﹣2∴x2＝﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=6故水面宽为26m．故答案为：26．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．四．解答题（共4小题）17．如图，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），M为直线y＝﹣2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，﹣2p）时，|AB|=4（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2＝2py（p＞0）上，其中，点C满足OC→=OA→+【考点】直线与抛物线的综合．【专题】综合题；压轴题；探究型．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）根据题意先设出A，B和M的坐标，对抛物线方程求导，进而表示出AM，BM的斜率，则直线AM和BM的直线方程可得，联立后整理求得2x0＝x1+x2．推断出A，M，B三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，x0＝2代入抛物线方程整理推断出x1，x2是方程x2﹣4x﹣4p2＝0的两根，利用韦达定理求得x1+x2的值，表示出直线AB的方程，利用弦长公式求得|AB|，进而求得p，则抛物线的方程可得．（Ⅲ）设出D点的坐标，进而表示出C的坐标，则CD的中点的坐标可得，代入直线AB的方程，把D点坐标代入抛物线的方程，求得x3，然后讨论x0＝0和x0≠0时，两种情况，分析出答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意设A(x由x2＝2py得y=x22p所以kMA=x因此直线MA的方程为y+2p=x直线MB的方程为y+2p=x所以x122p+2p=x由①、②得x1因此x0=x1+x22，即2x所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0＝2时，将其代入①、②并整理得：x12﹣4x1﹣4p2＝0，x22﹣4x2﹣4p2＝0，所以x1，x2是方程x2﹣4x﹣4p2＝0的两根，因此x1+x2＝4，x1x2＝﹣4p2，又kAB所以kAB由弦长公式得|AB|=又|AB|=4所以p＝1或p＝2，因此所求抛物线方程为x2＝2y或x2＝4y．（Ⅲ）解：设D（x3，y3），由题意得C（x1+x2，y1+y2），则CD的中点坐标为Q(x设直线AB的方程为y-由点Q在直线AB上，并注意到点(x1+代入得y3若D（x3，y3）在抛物线上，则x32＝2py3＝2x0x3，因此x3＝0或x3＝2x0．即D（0，0）或D(2（1）当x0＝0时，则x1+x2＝2x0＝0，此时，点M（0，﹣2p）适合题意．（2）当x0≠0，对于D（0，0），此时C(2x0又kAB=x0p所以kAB即x12+x22＝﹣4p2，矛盾．对于D(2x0，2x0又kAB所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以x0≠0时，不存在符合题意的M点．综上所述，仅存在一点M（0，﹣2p）适合题意．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系的综合问题．考查了学生分析推理和分类讨论思想的运用．18．设λ＞0，点A的坐标为（1，1），点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足，BQ→=λQA→经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM→=【考点】抛物线的焦点与准线；轨迹方程．【专题】综合题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】设出点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量的坐标，代入已知条件中的向量关系得到各点的坐标关系；表示出B点的坐标；将B的坐标代入抛物线方程求出p的轨迹方程．【解答】解：由QM→=λMP→知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P（x，y），Q（x，y0），M（xx2﹣y0＝λ（y﹣x2）即y0＝（1+λ）x2﹣λy①再设B（x1，y1）由BQ→=λ将①代入②式得x又点B在抛物线y＝x2将③代入得（1+λ）2x2﹣λ（1+λ）y﹣λ＝（（1+λ）x﹣λ）2整理得2λ（1+λ）x﹣λ（1+λ）y﹣λ（1+λ）＝0因为λ＞0所以2x﹣y﹣1＝0故所求的点P的轨迹方程：y＝2x﹣1【点评】本题考查题中的向量关系提供点的坐标关系、求轨迹方程的重要方法：相关点法，即求出相关点的坐标，将相关点的坐标代入其满足的方程，求出动点的轨迹方程．19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过点（2，0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，且OA→（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）点M坐标为（﹣2，0），直线MA，MB的斜率分别k1，k2，求证：1k【考点】抛物线的标准方程．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】（Ⅰ）抛物线C的方程为y2＝x；（Ⅱ）证明：∵M坐标为（﹣2，0），∴1=y由（Ⅰ）可得y1+y2＝m，y1y2＝﹣2，∴1k【分析】（Ⅰ）设l方程为x＝my+2，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及向量数量积列式求解p，则抛物线方程可求；（Ⅱ）利用直线的斜率公式及根与系数的关系证明．【解答】（Ⅰ）解：设l方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+2y2=2px∴y1+y2＝2pm，y1y2＝﹣4p．∴OA→∴p=∴抛物线C的方程为y2＝x；（Ⅱ）证明：∵M坐标为（﹣2，0），∴1=y由（Ⅰ）可得y1+y2＝m，y1y2＝﹣2，∴1k【点评】本题考查抛物线标准方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，﹣3）、N（5，1），若点C满足OC→=tOM→+（1﹣t）ON→（t∈R），点C的轨迹与抛物线：y2＝4x（Ⅰ）求证：OA→⊥OB（Ⅱ）在x轴上是否存在一点P（m，0）（m∈R），使得过P点的直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；压轴题．【答案】（Ⅰ）证明：由OC→=tOM→+（1﹣t）ON→（t∈R），知点C故点C的轨迹方程是：即y＝x﹣4．由得x2﹣12x+16＝0．∴x1x2＝16，x1+x2＝12∴y1y2＝（x1﹣4）（x2﹣4）＝x1x2﹣4（x1+x2）+16＝﹣16∴x1x2+y1y2＝0故OA→⊥OB（Ⅱ）存在；m＝4；y2＝2x﹣8．【分析】（1）欲证两向量垂直，通过向量的坐标运算，就是证明它们的数量积为0，将直线与抛物线的方程组成方程组，利用设而不求的方法求解；（2）对于存在性问题，可设假设存在，本题中将垂直关系合理转化，找出m的一个相等关系，从而解出了m的值，即说明存在．【解答】解：（Ⅰ）解：由OC→=tOM→+（1﹣t）ON→（t∈R），知点C故点C的轨迹方程是：即y＝x﹣4．由得x2﹣12x+16＝0．∴x1x2＝16，x1+x2＝12，∴y1y2＝（x1﹣4）（x2﹣4）＝x1x2﹣4（x1+x2）+16＝﹣16，∴x1x2+y1y2＝0，故OA→⊥OB（Ⅱ）解：由题意知：弦所在的直线的斜率不为零．故设弦所在的直线方程为：x＝ky+m，代入y2＝4x得y2﹣4ky﹣4m＝0，∴y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4m．若以弦DE为直径的圆都过原点，则OD⊥OE，∴x1x2+y1y2＝0．即y124×y224+y1y2=当m＝0时，P即为原点O重合，这与过P点的直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点矛盾，所以m≠0．∴存在点P（4，0），使得过P点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点．设弦AB的中点为M（x，y）则x=x1+xx1+x2＝ky1+4+ky2+4＝k（y1+y2）+8＝4k2+8，∴弦AB的中点M的轨迹方程为：消去k得：y2＝2x﹣8．∴圆心的轨迹方程为y2＝2x﹣8．【点评】对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在．这是一种最常用也是最基本的方法．本题根据抛物线的定义，结合焦点三角形，引出矛盾，从而问题得解．解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．

考点卡片1．点到直线的距离公式【知识点的认识】﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为：d=|A【解题方法点拨】﹣计算距离：1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程．2．计算绝对值：计算Ax0+By0+C的绝对值．3．计算模：计算法向量的模A24．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离．【命题方向】﹣距离计算：考查点到直线的距离计算，可能涉及多种坐标系变换或应用．2．椭圆的几何特征【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．3．抛物线的定义【知识点的认识】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．标准方程①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．性质我们以y2＝2px（p＞0）为例：①焦点为（p2，0）；②准线方程为：x=-p2；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于【解题方法点拨】例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，∴设P（x，x），∵点Q的坐标为（3，0），∴|PQ|==x=(x-∴当x=52，即P（|PQ|取最小值112故答案为：112这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|=3即|PM|+|PQ|的最小值为10．故答案为：10．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【命题方向】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．4．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（p2，0），（p（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，p2），（p四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x轴焦点在x轴长上y轴焦点在y轴长上焦点（p2，0（0，p2焦距无无离心率e＝1e＝1准线x=y=5．抛物线的焦点与准线【知识点的认识】抛物线的简单性质：6．直线与抛物线的综合【知识点的认识】直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与抛物线相交⇔Δ＞0；直线与抛物线相切⇔Δ＝0；直线与抛物线相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解，同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用．直线y＝kx+b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组y2（1）若k≠0，则当Δ＞0时，直线和抛物线相交，有两个公共