2026年高考数学复习热搜题速递之一、二次函数及方程、不等式（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学复习热搜题速递之一、二次函数及方程、不等式（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．设x，y满足约束条件2x+3y-3≤02x-3y+3≥0y+3≥0，则zA．﹣15 B．﹣9 C．1 D．92．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，3） C．（1，3） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）3．对于任意实数x，不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则实数a取值范围是（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（﹣2，2） D．（﹣2，2]4．若不等式x2﹣2x﹣m＜0在x∈[1A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．(-34，+∞) D5．已知不等式组0≤x≤2x+y-2≥0A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．06．关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为（﹣3，1），则不等式cx2+bx+a＜0的解集为（）A．(-13，1)C．(-1，17．设集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉A C．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤32时，（2，1）8．如果函数f（x）＝x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）＝f（2﹣t），那么（）A．f（2）＜f（1）＜f（4） B．f（1）＜f（2）＜f（4） C．f（2）＜f（4）＜f（1） D．f（4）＜f（2）＜f（1）二．多选题（共4小题）（多选）9．设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2+[x]﹣12≤0的解可以为（）A．10 B．3 C．﹣4.5 D．﹣5（多选）10．已知关于x的不等式a（x﹣1）（x+3）+2＞0的解集是（x1，x2），其中x1＜x2，则下列结论中正确的是（）A．x1+x2+2＝0 B．﹣3＜x1＜x2＜1 C．|x1﹣x2|＞4 D．x1x2+3＜0（多选）11．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足x2-x-6≤0x2+2x-8＞0A．1 B．32 C．54 D（多选）12．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为M，则下列说法正确的是（）A．若M＝∅，则a＜0，Δ≤0 B．若aa'=bb'=cc'，则关于x的不等式a'x2+b'x+C．若M＝{x|﹣1＜x＜2}，则关于x的不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＜2ax的解集为{x|x＜0或x＞3} D．若M＝{x|x≠x0，x0为常数}，且a＜b，则a+3b+4cb-a的最小值为三．填空题（共3小题）13．已知实数x，y满足x-2y+4≥02x+y-2≥03x-y-3≤0，则x2+y214．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1＝0，若方程有两根，其中一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（1，2）内，m的范围是．15．若方程7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2＝0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，则实数m的取值范围为．四．解答题（共5小题）16．设函数f（x）＝x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（-π2，（Ⅱ）记f0（x）＝x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[-π2，π2]（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0＝b0＝0，求z＝b-a24满足条件D17．设a∈R，二次函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2a．若f（x）＞0的解集为A，B＝{x|1＜x＜3}，A∩B≠∅，求实数a的取值范围．18．二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．19．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．20．已知二次函数f（x）＝mx2﹣2x﹣3，若不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，n）．（1）解关于x的不等式2x2﹣4x+n＞（m+1）x﹣1；（2）已知实数a∈（0，1），且关于x的函数y＝f（ax）﹣4ax+1（x∈[1，2]）的最小值为﹣4，求a的值．

2026年高考数学复习热搜题速递之一、二次函数及方程、不等式（2025年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案AADBAADA二．多选题（共4小题）题号9101112答案BCACDBCACD一．选择题（共8小题）1．设x，y满足约束条件2x+3y-3≤02x-3y+3≥0y+3≥0，则zA．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式．【答案】A【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．【解答】解：x、y满足约束条件2x+3y-z＝2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由y=-32x-3y+3=0解得A（﹣6则z＝2x+y的最小值是：﹣15．故选：A．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．2．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，3） C．（1，3） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）【考点】解一元二次不等式．【专题】不等式的解法及应用．【答案】A【分析】利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），∴a＞∴关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0可化为（x+1）（x﹣3）＞0，∴x＜﹣1或x＞3．∴关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是{x|x＜﹣1或x＞3}．故选：A．【点评】熟练掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解题的关键．3．对于任意实数x，不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则实数a取值范围是（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（﹣2，2） D．（﹣2，2]【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】不等式的解法及应用．【答案】D【分析】分类讨论，利用判别式，即可得到结论．【解答】解：a﹣2＝0，即a＝2时，﹣4＜0，恒成立；a﹣2≠0时，a-2＜04(a-2)2∴﹣2＜a≤2故选：D．【点评】本题考查不等式恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．4．若不等式x2﹣2x﹣m＜0在x∈[1A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．(-34，+∞) D【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】B【分析】把不等式化为m＞x2﹣2x，设f（x）＝x2﹣2x，求出f（x）在x∈[12，2]上的最小值，即可求得m【解答】解：不等式x2﹣2x﹣m＜0可化为m＞x2﹣2x，设f（x）＝x2﹣2x，则f（x）＝（x﹣1）2﹣1≥f（1）＝﹣1，所以不等式x2﹣2x﹣m＜0在x∈[12，2]实数m的取值范围是m＞﹣1，即m∈（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了不等式在闭区间上有解的应用问题，是基础题．5．已知不等式组0≤x≤2x+y-2≥0A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【答案】A【分析】由于直线y＝kx+2在y轴上的截距为2，即可作出不等式组表示的平面区域三角形；再由三角形面积公式解之即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如下图，解得点B的坐标为（2，2k+2），所以S△ABC=12（2k+2）×2＝解得k＝1．故选：A．【点评】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的作法．6．关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为（﹣3，1），则不等式cx2+bx+a＜0的解集为（）A．(-13，1)C．(-1，1【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】A【分析】由题意可知，a＜0，且-3+1=-ba，-3×1=ca，所以所求不等式可化为3x【解答】解：由题意可知a＜0，且-3+1=-b所以b＝2a，c＝﹣3a，所以cx2+bx+a＜0化为3x2﹣2x﹣1＜0，解得-1即不等式cx2+bx+a＜0的解集为（-13，故选：A．【点评】本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．7．设集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉A C．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤32时，（2，1）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【答案】D【分析】利用a的取值，反例判断（2，1）∈A是否成立即可．【解答】解：当a＝﹣1时，集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}＝{（x，y）|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A不正确；当a＝4，集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}＝{（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确；当a＝1，集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}＝{（x，y）|x﹣y≥1，x+y＞4，x﹣y≤2}，显然（2，1）∉A，所以当且仅当a＜0错误，所以C不正确；故选：D．【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避免可行域的画法，简洁明了．8．如果函数f（x）＝x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）＝f（2﹣t），那么（）A．f（2）＜f（1）＜f（4） B．f（1）＜f（2）＜f（4） C．f（2）＜f（4）＜f（1） D．f（4）＜f（2）＜f（1）【考点】二次函数的性质与图象．【专题】压轴题；数形结合．【答案】A【分析】先从条件“对任意实数t都有f（2+t）＝f（2﹣t）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可．【解答】解：∵对任意实数t都有f（2+t）＝f（2﹣t）∴f（x）的对称轴为x＝2，而f（x）是开口向上的二次函数故可画图观察可得f（2）＜f（1）＜f（4），故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观．二．多选题（共4小题）（多选）9．设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2+[x]﹣12≤0的解可以为（）A．10 B．3 C．﹣4.5 D．﹣5【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】新定义；转化思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】BC【分析】根据题意求不等式[x]2+[x]﹣12≤0的解集，得出[x]的取值范围，再判断选项是否满足条件．【解答】解：不等式[x]2+[x]﹣12≤0可化为（[x]+4）（[x]﹣3）≤0，解得﹣4≤[x]≤3；又[x]表示不小于实数x的最小整数，且[10]＝4，[3]＝3，[﹣4.5]＝﹣4，[﹣5]＝﹣5；所以满足不等式[x]2+[x]﹣12≤0的解可以为B、C．故选：BC．【点评】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，是基础题．（多选）10．已知关于x的不等式a（x﹣1）（x+3）+2＞0的解集是（x1，x2），其中x1＜x2，则下列结论中正确的是（）A．x1+x2+2＝0 B．﹣3＜x1＜x2＜1 C．|x1﹣x2|＞4 D．x1x2+3＜0【考点】由一元二次不等式的解求参数．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑思维．【答案】ACD【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系式，结合二次函数的图象与性质，即可判断出结论．【解答】解：由关于x的不等式a（x﹣1）（x+3）+2＞0（a≠0）的解集是（x1，x2），其中x1＜x2，所以a＜0，且x1，x2是一元二次方程ax2+2ax+2﹣3a＝0的解，所以x1+x2＝﹣2，x1x2=2-3aa=2所以x1+x2+2＝0，x1x2+3＜0，选项AD正确．又因为|x1﹣x2|=(x1+x2)2由方程a（x﹣1）（x+3）＝0的解是﹣3和1，得出不等式a（x﹣1）（x+3）+2＞0的解集为（x1，x2），此时x1＜﹣3＜1＜x2，选项B错误．故选：ACD．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及不等式的解集应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．（多选）11．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足x2-x-6≤0x2+2x-8＞0A．1 B．32 C．54 D【考点】一元二次不等式及其应用；充分条件与必要条件．【专题】分类讨论；定义法；简易逻辑；逻辑思维；运算求解．【答案】BC【分析】分别求出命题p、q中a的取值范围，根据p是q的必要不充分条件，从而求出a的取值范围．【解答】解：a＞0时，解x2﹣4ax+3a2＜0得：x∈（a，3a），a＜0时，解x2﹣4ax+3a2＜0得：x∈（3a，a），解不等式组x2-x-6≤0x2+2x-8＞0，得：因为p是q的必要不充分条件，所以a＞0时，3a＞3且a≤2，解得1＜a≤2，a＜0时，3a≤2且a＞3，无解，综上可得：1＜a≤2．故选：BC．【点评】本题考查了充分必要条件的判断问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．（多选）12．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为M，则下列说法正确的是（）A．若M＝∅，则a＜0，Δ≤0 B．若aa'=bb'=cc'，则关于x的不等式a'x2+b'x+C．若M＝{x|﹣1＜x＜2}，则关于x的不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＜2ax的解集为{x|x＜0或x＞3} D．若M＝{x|x≠x0，x0为常数}，且a＜b，则a+3b+4cb-a的最小值为【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】利用二次函数的图象判断A，设aa'=bb'=cc'=1t，若t＜0时判断B，由M＝{x|﹣1＜x＜2}，得到b=-ac=-2a，且a＜0判断C，由M＝{x|x≠x0，x0为常数}，得到a【解答】解：A：当a＞0时，则一元二次不等式ax2+bx+c＞0一定有解，当a＜0，△≤0时，则一元二次不等式ax2+bx+c＞0无解，M＝∅，∴A正确，B：设aa'=bb'=cc'=1t，则a′＝若t＜0，则不等式a'x2+b'x+c'＞0⇔ax2+bx+c＜0，∴解集不为M，∴B错误，C：若M＝{x|﹣1＜x＜2}，则-ba=-1+2ca=-1×2，∴∴a（x2+1）+b（x﹣1）+c＜2ax⇔x2﹣3x＞0，∴x＜0或x＞3，∴不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＜2ax的解集为{x|x＜0或x＞3}，∴C正确，D：∵M＝{x|x≠x0，x0为常数}，且a＜b，∴a＞0且Δ＝b2﹣4ac＝0，b﹣a＞0，设b﹣a＝t＞0，则b＝t+a，则a+3b+4cb-a=a+3b+b2ab-a=5at+ta+5≥25+∴a+3b+4cb-a的最小值为5+25，∴故选：ACD．【点评】本题考查一元二次不等式的解法与应用，利用基本不等式求最值，属于中档题．三．填空题（共3小题）13．已知实数x，y满足x-2y+4≥02x+y-2≥03x-y-3≤0，则x2+y2的取值范围是[【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式．【答案】见试题解答内容【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z＝x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC：2x+y﹣2＝0的距离最小，由x-2y+4=03x-y-3=0得x=2y=3，即A（2，3），此时z＝22+32＝点O到直线BC：2x+y﹣2＝0的距离d=|-2|则z＝d2＝（25）2=故z的取值范围是[45，13]故答案为：[45，13]【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．14．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1＝0，若方程有两根，其中一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（1，2）内，m的范围是(-56【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】设f（x）＝x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）＝x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，由根与系数的关系得出不等式，解不等式组f(0)=2m+1＜0f(-1)=2【解答】解：设f（x）＝x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）＝x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，则f(0)=2m+1＜0f(-1)=2＞0故m的范围是(-故答案为(-【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．15．若方程7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2＝0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，则实数m的取值范围为（﹣4，﹣2）．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】根据方程和函数之间的关系设f（x）＝7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2，根据一元二次方程根的分布，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：设函数f（x）＝7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2，∵方程7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2＝0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2），∴f(0)＞0f(1)＜0则﹣4＜m＜﹣2，即实数m的取值范围是（﹣4，﹣2）；故答案为：（﹣4，﹣2）．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布，根据方程和函数之间的关系构造函数是解决本题的关键．四．解答题（共5小题）16．设函数f（x）＝x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（-π2，（Ⅱ）记f0（x）＝x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[-π2，π2]（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0＝b0＝0，求z＝b-a24满足条件D【考点】二次函数的性质与图象．【专题】创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）设t＝sinx，f（t）＝t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），讨论对称轴和区间的关系，即可判断极值的存在；（Ⅱ）结合不等式的性质求得最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）结合不等式的性质求得z＝b-a【解答】解：（Ⅰ）设t＝sinx，在x∈（-π2，即有f（t）＝t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），f′（t）＝2t﹣a，①当a≥2时，f′（t）≤0，f（t）递减，即f（sinx）递减；当a≤﹣2时，f′（t）≥0，f（t）递增，即f（sinx）递增．即有a≥2或a≤﹣2时，不存在极值．②当﹣2＜a＜2时，﹣1＜t＜a2，f′（t）＜0，f（sina2＜t＜1，f′（t）＞0，f（sinf（sinx）有极小值f（a2）＝b-（Ⅱ）-π2≤x≤π2时，|f（sinx）﹣f0（sinx）|＝|（a﹣a0）sinx+b﹣b0|≤|a﹣a0|+|当（a﹣a0）（b﹣b0）≥0时，取x=π当（a﹣a0）（b﹣b0）≤0时，取x=-由此可知，|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[-π2，π2]上的最大值为D＝|a﹣a0|+|b﹣b（Ⅲ）D≤1即为|a|+|b|≤1，此时0≤a2≤1，﹣1≤b≤1，从而z＝b-a取a＝0，b＝1，则|a|+|b|≤1，并且z＝b-a2由此可知，z＝b-a24满足条件D≤1【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题．17．设a∈R，二次函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2a．若f（x）＞0的解集为A，B＝{x|1＜x＜3}，A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算．【专题】计算题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】解：注意到Δ＝4+8a2＞0，则函数有两个零点，由a的正负，确定不等式解集的形式．结合着数轴分类讨论．【解答】解：由题意可知二次函数a≠0，令f（x）＝0解得其两根为x由此可知x1＜0，x2＞0（i）当a＞0时，A＝{x|x＜x1}∪{x|x＞x2}，则A∩B≠ϕ的充要条件是x2＜3，即1a+（ii）当a＜0时，A＝{x|x1＜x＜x2}A∩B≠ϕ的充要条件是x2＞1，即1解得a＜﹣2综上，使A∩B≠ϕ成立的a的取值范围为(【点评】在对集合的相关问题进行求解时，分类讨论时经常考查到的思想方法，另外对于一元二次不等式的解法也是一个基本的知识点，要熟练掌握．18．二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．【考点】二次函数的性质与图象；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3，可求得其对称轴为x＝1，可设f（x）＝a（x﹣1）2+1（a＞0），由f（0）＝3，可求得a，从而可得f（x）的解析式；（2）由f（x）的对称轴x＝1穿过区间（2a，a+1）可列关系式求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）为二次函数且f（0）＝f（2），∴对称轴为x＝1．又∵f（x）最小值为1，∴可设f（x）＝a（x﹣1）2+1，（a＞0）∵f（0）＝3，∴a＝2，∴f（x）＝2（x﹣1）2+1，即f（x）＝2x2﹣4x+3．（2）由条件知f（x）的对称轴x＝1穿过区间（2a，a+1）∴2a＜1＜a+1，∴0＜a＜1【点评】本题考查二次函数的性质，着重考查二次函数的图象与性质，考查待定系数法，属于中档题．19．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．【考点】一元二次不等式及其应用；二次函数的性质与图象．【专题】分类讨论；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．【解答】解：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为（ax﹣2）（x+1）≥0，且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；∴2a=2，解得a＝（2）①a＝0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＞0时，原不等式化为（x-2a）（x+1）≥它对应的方程的两个实数根为2a和﹣1，且2a∴不等式的解集为{x|x≥2a或x≤﹣当a＜0时，不等式化为（x-2a）（x+1）≤不等式对应方程的两个实数根为2a和﹣1在﹣2＜a＜0时，2a＜∴不等式的解集为{x|2a≤x≤﹣在a＝﹣2时，2a=-1，不等式的解集为{x|x＝﹣在a＜﹣2时，2a＞-1，不等式的解集为{x|﹣1≤x综上，a＝0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，a＞0时，不等式的解集为{x|x≥2a或x≤﹣﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|2a≤x≤﹣a＝﹣2时，不等式的解集为{x|x＝﹣1}，a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2a【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想，是中档题目．20．已知二次函数f（x）＝mx2﹣2x﹣3，若不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，n）．（1）解关于x的不等式2x2﹣4x+n＞（m+1）x﹣1；（2）已知实数a∈（0，1），且关于x的函数y＝f（ax）﹣4ax+1（x∈[1，2]）的最小值为﹣4，求a的值．【考点】一元二次不等式及其应用；二次函数的性质与图象．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合根与系数的关系，求出m与n的值，再求不等式的解集；（2）用换元法，得函数y＝t2﹣（4a+2）t﹣3，求出最小值为﹣4时的a的值即可．【解答】解：（1）∵f（x）＝mx2﹣2x﹣3，且f（x）＜0的解集为（﹣1，n），∴方程mx2﹣2x﹣3＝0的两个实数根是﹣1，n，且m＞0；∴-1+n=解得m=1n=3∴原不等式可化为（x﹣2）（x﹣1）＞0，解得解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）；（2）设t＝ax，且a∈（0，1），∴x∈[1，2]时，ax∈[a2，a]；函数y＝f（ax）﹣4ax+1＝t2﹣（4a+2）t﹣3，对称轴是t＝2a+1＞a，∴ymin＝a2﹣（4a+2）a﹣3＝﹣4，解得a=13或a＝﹣∴存在实数a=1【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了换元法的应用问题，是中档题．

考点卡片1．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．2．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．3．二次函数的性质与图象【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=-b2a；最值为：f（-b2a）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=-ba，x1•x③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，p2），准线方程为y=-p④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命题方向】熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．4．一元二次不等式及其应用【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】①一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．②分式不等式问题：f(x)g(x)＞0⇔f（x）•g（x）＞f(x)g(x)＜0⇔f（x）•g（x）＜f(x)g(x)≥0⇔f(x)g(x)≤0⇔5．解一元二次不等式【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0﹣将不等式转化为ax2+bx+c＝0形式，求出根．﹣根据根的位置，将数轴分为多个区间．﹣在各区间内选择测试点，确定不等式在每个区间内的取值情况．﹣综合各区间的解，写出最终解集．不等式x2﹣2x＞0的解集是（）解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，{x|x＜0或x＞2}6．由一元二次不等式的解求参数【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0，﹣设定一元二次不等式的解，并根据解的形式建立不等式．﹣求出根，结合数轴分析区间．﹣通过区间分析，确定参数的取值范围．设a，b，c为常数，若不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），则不等式ax2﹣bx+c＜0的解集是（）解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），可得﹣3，2是方程ax2+bx+c＝0的两根，且a＜0，则-3+2=-ba-3×2=ca不等式ax2﹣bx+c＜0整理可得x2-bax+即x2﹣x﹣6＞0，解得x＞3或x＜﹣2，所以不等式ax2﹣bx+c＜0的解集为（3，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．7．一元二次方程的根的分布与系数的关系【知识点的认识】一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2=-ba，x1•x【解题方法点拨】例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0两根的平方．解：方程x2﹣3x+1＝0中，∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，设方程两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝1，∴（x1+x2）2=x12+x22+2x∴x12+x22=7，又x12x22则所求方程为x2﹣7x+1＝0．这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2与x1•x2可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．【命题方向】首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．8．二元一次不等式（组）与平面区域【知识点的认识】二元一次不等式（组）与简单线性规划问题1、二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l：ax+by+c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＝0；②直线l一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＞0；③直线l另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＜0．所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0，y0），从ax0+by0+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．2、线性规划相关概念名称意义目标函数欲求最大值或最小值的函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组可行解满足约束条件的解（x，y）可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域的顶点处取得二元线性规划问题如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次函数的最大值或最小值问题叫作二元线性规划问题3、线性规划（1）不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．z＝Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数．由于z＝Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．（2）一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．（3）那么，满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域．其中可行解（x1，y1）和（x2，y2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行．4、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）．②设z＝0，画出直线l0．③观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的最大值及最小值．5、利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解．最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．【解题方法点拨】1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距【命题方向】题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+43分为面积相等的两部分，则k的值是A．73B．37C．43分析：画出平面区域，显然点（0，43）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，4解答：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx+43过定点（0，43）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（12，5当y＝kx+43过点（12，52）时，5答案：A．点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．题型二：求线性目标函数的最值典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．题型三：实际生活中的线性规划问题典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．解析设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知x+y求目标函数z＝x+0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．题型四：求非线性目标函数的最值典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为．（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|OA→+OM→|的最小值是分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．解答：（1）yx表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，3（2）依题意得，OA→+OM→=（x+1，y），|OA→+OM→|=(x+1)2+y2可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x故答案为：（1）32（2）3点评：常见代数式的几何意义有（1）x2+y2表示点（x，y）与原点（（2）(x-a)2+(y-b)2表示点（x（3）yx表示点（x，y）与原点（0，0（4）y-bx-a表示点（x，y）与点（a，b9．简单线性规划【知识点的认识】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【解题方法点拨】1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距【命题方向】例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件x+2y≥（1）试确定可行域的面积；（2