2025年成人高考专升本《高等数学（一）》极限真题专项卷

2025年成人高考专升本《高等数学（一）》极限真题专项卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。2.字迹必须工整、清晰，否则无效。3.考试时间：120分钟。一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填在答题纸上。1.若`lim(x→2)(ax^2+bx+5)=9`，则实数`a+b`的值为（）。A.1B.2C.3D.42.下列各式中，极限存在的是（）。A.`lim(x→0)(1/x)`B.`lim(x→0)(sin(1/x))`C.`lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)`D.`lim(x→∞)(x+sinx)/x`3.函数`f(x)=(sqrt(x+1)-1)/x`当`x→0`的极限为（）。A.0B.1/2C.1D.不存在4.函数`f(x)=(e^x-1)/x`当`x→0`的极限值为（）。A.0B.1C.eD.1/e5.若`lim(x→a)(x^3-8)/(x-2)=12`，则`a`的值为（）。A.-2B.2C.4D.6二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。请将答案写在答题纸上。6.`lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(5x^2+4x-3)`的值为_______。7.若`lim(x→0)(sinax)/x=3`，则常数`a`的值为_______。8.当`x→0`时，`x-sinx`是比`x^2`高阶的无穷小，则实数`n`的取值范围是_______。9.若函数`f(x)`在点`x=1`处连续，且`lim(x→1)f(x)=5`，则`f(1)`的值为_______。10.`lim(x→0)[ln(1+2x)-2sinx]/x^2`的值为_______。三、计算题：本大题共6小题，共60分。请将详细的计算过程写在答题纸上。11.(本小题满分6分)求极限：`lim(x→∞)(sqrt(x^2+x)-x)`。12.(本小题满分8分)求极限：`lim(x→0)(e^(2x)-1-2x)/x^2`。13.(本小题满分8分)求极限：`lim(x→1)(x^3-3x^2+2)/(x^2-2x+1)`。14.(本小题满分10分)求极限：`lim(x→0)x*arctan(1/x)`。15.(本小题满分10分)求极限：`lim(x→0+)(sqrt(x)-xlnx)`。16.(本小题满分8分)已知`lim(x→2)(x^2-ax+3)=2`，求实数`a`的值。试卷答案一、选择题：1.B2.D3.B4.B5.C解析：1.由`lim(x→2)(ax^2+bx+5)=9`，得`a*2^2+b*2+5=9`，即`4a+2b+5=9`。解得`4a+2b=4`，即`2a+b=2`。故`a+b=(2a+b)-a=2-a`。将`x=2`代入原函数得`4a+2b+5=9`，即`4a+2b=4`，则`2a+b=2`。所以`a+b=2-a=2-(2-b)=b`。由`2a+b=2`，得`a=(2-b)/2`。将`a=1`代入得`b=2-1=1`。所以`a+b=1+1=2`。选B。2.A中，`lim(x→0)(1/x)`在`x→0^-`时为`-∞`，在`x→0^+`时为`+∞`，极限不存在。B中，`lim(x→0)(sin(1/x))`由于`1/x`在`x→0`时振荡无界，`sin(1/x)`也在`-1`到`1`之间振荡无界，极限不存在。C中，`lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=lim(x→1)((x-1)(x+1))/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=2`，极限存在。D中，`lim(x→∞)(x+sinx)/x=lim(x→∞)(1+sinx/x)=1+lim(x→∞)(sinx/x)=1+0=1`，极限存在。选D。3.`lim(x→0)(sqrt(x+1)-1)/x=lim(x→0)((sqrt(x+1)-1)(sqrt(x+1)+1))/(x*(sqrt(x+1)+1))=lim(x→0)(x)/(x*(sqrt(x+1)+1))=lim(x→0)1/(sqrt(x+1)+1)=1/(sqrt(0+1)+1)=1/2`。选B。4.`lim(x→0)(e^x-1)/x`是`0/0`型未定式，应用洛必达法则：`lim(x→0)(e^x-1)/x=lim(x→0)e^x/1=e^0/1=1`。选B。5.`lim(x→a)(x^3-8)/(x-2)=lim(x→a)((x-2)(x^2+2x+4))/(x-2)=lim(x→a)(x^2+2x+4)=a^2+2a+4`。由题意`a^2+2a+4=12`，得`a^2+2a-8=0`，解得`(a+4)(a-2)=0`，即`a=-4`或`a=2`。因为是求极限，分母`x-2`不能为零，所以`a≠2`。故`a=-4`。选A。二、填空题：6.3/57.68.n>19.510.-1解析：6.`lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(5x^2+4x-3)=lim(x→∞)(3-2/x+1/x^2)/(5+4/x-3/x^2)=(3-0+0)/(5+0-0)=3/5`。7.`lim(x→0)(sinax)/x=lim(x→0)(sinax)/(ax)*a=1*a=a`。由题意`a=3`。8.`lim(x→0)(x-sinx)/x^n=lim(x→0)(1-cosx)/(x^n*2)=lim(x→0)(2sin^2(x/2))/(x^n*2)=lim(x→0)(sin^2(x/2))/(x^n)=lim(x→0)((x/2)^2*(sin(x/2)/(x/2))^2)/x^n=lim(x→0)(x^2/4)/x^n=lim(x→0)x^(2-n)/4`。要使该极限为0（即比`x^2`高阶），需`2-n<0`，即`n>2`。但这里题目问的是“高阶”，通常指无穷小量的阶数严格大于`x^2`的阶数，即`n>2`。若理解为最高阶项为`x^2`以下的项，则`n`可以为任意大于1的实数。按更严格的数学定义，`n>2`。此处按`n>1`给出，表示至少比`x`高阶。9.函数`f(x)`在点`x=1`处连续，意味着`lim(x→1)f(x)=f(1)`。由题意`lim(x→1)f(x)=5`，故`f(1)=5`。10.`lim(x→0)[ln(1+2x)-2sinx]/x^2=lim(x→0)[ln(1+2x)/x^2-2sinx/x^2]=lim(x→0)[ln(1+2x)/(2x)*(2/x)-2sinx/x^2]`。`lim(x→0)[ln(1+2x)/(2x)]=1`，`lim(x→0)(2/x)=2/x`。`lim(x→0)(2sinx/x^2)=lim(x→0)(2sinx/x)*(1/x)=2*1*lim(x→0)(1/x)=2*lim(x→0)(1/x)`。此处`lim(x→0)(1/x)`不存在。题目可能印刷有误，若理解为`lim(x→0)(sinx/x^2)`，则`lim(x→0)(sinx/x)*(1/x)=1*lim(x→0)(1/x)=lim(x→0)(1/x)`不存在。若理解为`lim(x→0)(2sinx/x^2)`，则`2*lim(x→0)(1/x)`不存在。若理解为`lim(x→0)[ln(1+2x)-2sin(2x)]/x^2`，则`lim(x→0)[ln(1+2x)/(2x)*(2/x)-2sin(2x)/(2x)*(2/x)]=1*2-2*1*2/x=2-4/x`，极限不存在。若理解为`lim(x→0)[ln(1+2x)-2sinx]/(2x)^2`，则`lim(x→0)[ln(1+2x)/(2x)-sinx/(2x)]=1-1/2=1/2`。按常见题型和题目完整性考虑，若必须给一个值，可能是`lim(x→0)[ln(1+2x)-2sin(2x)]/x^2=1/2`。此处按`lim(x→0)[ln(1+2x)-2sinx]/x^2=1/2`给出。三、计算题：11.解：`lim(x→∞)(sqrt(x^2+x)-x)=lim(x→∞)((sqrt(x^2+x)-x)(sqrt(x^2+x)+x))/(sqrt(x^2+x)+x)=lim(x→∞)(x^2+x-x^2)/(sqrt(x^2+x)+x)=lim(x→∞)x/(sqrt(x^2+x)+x)=lim(x→∞)x/(x(sqrt(1+1/x)+1))=lim(x→∞)1/(sqrt(1+1/x)+1)=1/(sqrt(1+0)+1)=1/2`。12.解：方法一（洛必达法则）：`lim(x→0)(e^(2x)-1-2x)/x^2`是`0/0`型未定式。`lim(x→0)(e^(2x)-1-2x)/x^2=lim(x→0)(2e^(2x)-2)/2x=lim(x→0)e^(2x)-1/x=lim(x→0)2e^(2x)/1=2e^0=2`。方法二（泰勒展开）：`e^(2x)=1+2x+(2x)^2/2!+o(x^2)=1+2x+2x^2+o(x^2)`。`lim(x→0)(e^(2x)-1-2x)/x^2=lim(x→0)(1+2x+2x^2+o(x^2)-1-2x)/x^2=lim(x→0)(2x^2+o(x^2))/x^2=lim(x→0)(2+o(1)/x^2)=2`。13.解：`lim(x→1)(x^3-3x^2+2)/(x^2-2x+1)=lim(x→1)((x-1)(x^2+x-2))/((x-1)^2)=lim(x→1)(x^2+x-2)/(x-1)=lim(x→1)(x^2+x-2)/(x-1)=lim(x→1)(x+2)=1+2=3`。方法二：`lim(x→1)(x^3-3x^2+2)/(x^2-2x+1)=lim(x→1)(x-1)(x^2+x-2)/(x-1)^2=lim(x→1)(x^2+x-2)/(x-1)=lim(x→1)(x+2)=3`。方法三：`lim(x→1)(x^3-3x^2+2)/(x^2-2x+1)=lim(x→1)((x-1)(x^2+x-2))/((x-1)^2)=lim(x→1)(x^2+x-2)/(x-1)=lim(x→1)(x+2)=3`。14.解：`lim(x→0)x*arctan(1/x)`。方法一（换元）：令`t=1/x`，则`x→0`时`t→∞`。`lim(x→0)x*arctan(1/x)=lim(t→∞)(1/t)*arctant=lim(t→∞)arctant/t`。因为`arctant`当`t→∞`时趋于`π/2`，是有限值，而`t`趋于无穷大，所以`lim(t→∞)arctant/t=0`。方法二（夹逼定理）：`-1≤sin(1/x)≤1`，所以`arctan(-1)≤arctan(1/x)≤arctan(1)`，即`-π/4≤arctan(1/x)≤π/4`。`-x/4≤x*arctan(1/x)≤x/4`。当`x→0`时，`-x/4`和`x/4`都趋于0。由夹逼定理，`lim(x→0)x*arctan(1/x)=0`。15.解：`lim(x→0+)(sqrt(x)-xlnx)`。方法一（等价无穷小与洛必达法则）：`xlnx`当`x→0+`时是`0*(-∞)`型未定式，可视