2025春季高中高二数学专项训练试卷

2025春季高中高二数学专项训练试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若集合A={x|x²-3x+2≥0},B={x|2a≤x≤a²+1},且A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)2.函数f(x)=log₃(x-1)的定义域是（）A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1]∪(1,+∞)3.“x>1”是“x²>1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若向量a=(1,k),b=(-2,4),且a⊥b，则实数k的值等于（）A.-2B.-8C.2D.85.已知等差数列{a<0xE2><0x82><0x99>}的前n项和为S<0xE2><0x82><0x99>，若a₃=5,S₅=25，则该数列的公差d等于（）A.1B.2C.3D.46.复数z=1+i(i为虚数单位)的共轭复数z̄等于（）A.1-iB.-1+iC.1+iD.-1-i7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=3,b=2,C=60°，则边c的长等于（）A.√7B.√15C.5D.√198.执行以下程序框图（注：程序开始前，S=1,i=1），若输出S的值为16，则判断框中应填入的条件是（）```开始S=1i=1----->||S=S*i|i=i+1V----|判断|i<=4?|----||输出S|----|结束```A.i<=5B.i<=6C.i>4D.i>=5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）9.若sin(α+β)=√3/2,cos(α-β)=1/2,且α,β均为锐角，则tan(α+β)的值等于________。10.已知函数f(x)=x³-3x+1，则方程f(x)=0在区间(-2,0)内有________个实根。11.在一个底面半径为2，高为3的圆柱中，其内接长方体的体积的最大值等于________。12.某小组有6名男生和4名女生，现要从中随机选出3人参加活动，则选出的3人中恰好包含1名女生的概率等于________。三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）13.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x²-2ax+2在区间(1,3)上的最小值为3。(1)求实数a的值；(2)判断函数f(x)在区间(0,2)上是否存在零点？若存在，求出零点所在的区间；若不存在，请说明理由。14.(本小题满分13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a=√3,b=1,sinC=√3/2。(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积S=√3/2，求边c的长。15.(本小题满分14分)已知等比数列{a<0xE2><0x82><0x99>}的前n项和为S<0xE2><0x82><0x99>，公比为q(q≠0)。(1)若a₁=1,S₃=7，求q的值；(2)设T<0xE2><0x82><0x99>=a₁+a₃+a₅+...+a<0xE2><0x82><0x99>₃，求T<0xE2><0x82><0x99>，并判断T<0xE2><0x82><0x99>是否构成等比数列，请说明理由。16.(本小题满分15分)已知向量u=(m,1),v=(1,n)，且u+2v=(4,3)。(1)求实数m,n的值；(2)若向量u与v的夹角为120°，求实数m的值。17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x²-2x+3和g(x)=ax+b。(1)若直线y=g(x)与曲线y=f(x)相切于点(1,2)，求a,b的值；(2)设h(x)=f(x)-g(x)，若对于任意x₁,x₂∈R，都有|h(x₁)-h(x₂)|≤4，求实数a的取值范围。18.(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(0,1)，动点P在直线l:x+y=1上运动。(1)求三角形OAB的内切圆圆心C的轨迹方程；(2)若点P在直线l上运动，求|PC|²+|PB|²的最小值。---试卷答案一、选择题1.B2.B3.A4.D5.C6.A7.A8.B二、填空题9.√310.111.12√212.3/10三、解答题13.(1)解：f(x)=(x-a)²+2-a²。对称轴x=a。①若a∈(1,3)，则f(x)在(1,3)上的最小值为f(a)=2-a²=3。解得a=±1。因a∈(1,3)，故舍去a=-1。所以a=1。②若a≤1，则f(x)在(1,3)上递增，最小值为f(1)=2-2a=3。解得a=-1/2。因a≤1，此解符合。③若a≥3，则f(x)在(1,3)上递减，最小值为f(3)=2-6a+9=3。解得a=2。因a≥3，故舍去。综上，实数a的值为-1/2或1。(2)当a=-1/2时，f(x)=x²+x+2。在区间(0,2)上，f(x)=x²+x+2>0，无零点。当a=1时，f(x)=x²-2x+2=(x-1)²+1>0，无零点。所以函数f(x)在区间(0,2)上不存在零点。14.(1)由正弦定理得：c/sinC=b/sinB。即√3/sin(√3/2)=1/sinB。解得sinB=1/2。又b<c，所以B∈(0,π)。所以B=π/6。(2)S=(1/2)*a*b*sinC=(1/2)*√3*1*(√3/2)=3/4。又S=(√3/2)*c。所以(√3/2)*c=3/4。解得c=3/(2√3)=√3/2。15.(1)当q=1时，S₃=3a₁=3≠7，舍去。当q≠1时，S₃=a₁(1+q+q²)=7。由a₁=1，得1+q+q²=7。解得q=2或q=-3。所以q的值为2或-3。(2)T<0xE2><0x82><0x99>=a₁+a₃+a₅+...+a<0xE2><0x82><0x99>₃=a₁+a₁q²+a₁q⁴+...+a₁qⁿ⁻²=a₁(1+q²+q⁴+...+qⁿ⁻²)。当q=2时，T<0xE2><0x82><0x99>=1*(1+2²+2⁴+...+2ⁿ⁻²)=(1/3)*(2ⁿ⁰⁰⁻¹-1)=(1/3)*(2ⁿ⁻¹-1)。此时T<0xE2><0x82><0x99>=(1/3)*(2ⁿ⁻¹-1)。T<0xE2><0x82><0x99>₊₁=(1/3)*(2ⁿ⁰-1)=(1/3)*[2*(2ⁿ⁻¹-1)+1]=(2/3)*(2ⁿ⁻¹-1)+(1/3)≠q*T<0xE2><0x82><0x99>。所以T<0xE2><0x82><0x99>不构成等比数列。当q=-3时，T<0xE2><0x82><0x99>=1*(1+(-3)²+(-3)⁴+...+(-3)ⁿ⁻²)=(1/5)*[(-3)ⁿ⁰⁰⁻¹-1]=(1/5)*[(-3)ⁿ⁻¹-1]。此时T<0xE2><0x82><0x99>=(1/5)*[(-3)ⁿ⁻¹-1]。T<0xE2><0x82><0x99>₊₁=(1/5)*[(-3)ⁿ⁰-1]=(1/5)*[(-3)*(-3)ⁿ⁻¹-1]=(-3/5)*[(-3)ⁿ⁻¹-1]=-3*T<0xE2><0x82><0x99>。所以T<0xE2><0x82><0x99>构成等比数列，公比为-3。16.(1)由题意得：u+2v=(m+2,1+2n)=(4,3)。所以m+2=4且1+2n=3。解得m=2,n=1。(2)向量u=(2,1),v=(1,1)。向量u与v的夹角为120°。则cos120°=(u·v)/(|u||v|)=[(2*1)+(1*1)]/(√(2²+1²)*√(1²+1²))=3/(√5*√2)=3√10/10。由(2,1)·(1,n)=2+n=|u||v|cos120°=√5*√2*(3√10/10)=3。解得n=1。17.(1)直线y=g(x)与曲线y=f(x)相切于点(1,2)。则有f(1)=g(1)且f'(1)=g'(1)。由f(1)=1²-2*1+3=2，得g(1)=a*1+b=a+b=2。由f'(x)=2x-2，得f'(1)=2*1-2=0，所以g'(1)=a=0。解得a=0,b=2。(2)h(x)=f(x)-g(x)=x²-2x+3-(0*x+2)=x²-2x+1=(x-1)²。所以h(x)=(x-1)²。对于任意x₁,x₂∈R，有|h(x₁)-h(x₂)|=|(x₁-1)²-(x₂-1)²|=|(x₁-1+x₂-1)(x₁-1-x₂+1)|=|(x₁+x₂-2)|*|(x₁-x₂)|。因为|x₁-x₂|≥0，所以|h(x₁)-h(x₂)|≥0。又因为|h(x₁)-h(x₂)|≤4，所以对于任意x₁,x₂∈R，|(x₁+x₂-2)|*|x₁-x₂|≤4。令t=|x₁-x₂|，则t≥0。原不等式变为|(x₁+x₂-2)|*t≤4。由Cauchy-Schwarz不等式，(x₁+x₂-2)²≤(1²+1²)*(x₁²+x₂²-2x₁x₂)=2(x₁-x₂)²=2t²。所以|x₁+x₂-2|≤√(2t²)=√2*|t|=√2*t。代入原不等式得(√2*t)*t≤4，即√2*t²≤4。解得t²≤2√2/√2=2。因为t≥0，所以0≤t≤√2。即对于任意x₁,x₂∈R，0≤|x₁-x₂|≤√2。令x₂=1，则0≤|x₁-1|≤√2。所以1-√2≤x₁≤1+√2。对于任意x₁∈[1-√2,1+√2]，有|(x₁+x₂-2)|*|x₁-x₂|≤|(x₁+1-2)|*|x₁-1|=|x₁-1|*|x₁-1|=(x₁-1)²≤2。所以原不等式|(x₁+x₂-2)|*|x₁-x₂|≤4对任意x₁,x₂∈R恒成立。因此，a的取值范围是所有实数，即a∈R。18.(1)设三角形OAB的内切圆圆心为C(x,y)，则C在AB的垂直平分线上，也在AO的垂直平分线上，也在BO的垂直平分线上。AB中点为(1/2,1/2)，AB的垂直平分线方程为y-1/2=-(x-1/2)，即x+y=1。这与直线l:x+y=1重合。AO中点为(1/2,0)，AO的垂直平分线方程为y-0=-(x-1/2)，即x+2y-1=0。BO中点为(0,1