7.3 平行线的证明（第2课时）教学设计

2/27.3平行线的证明（第2课时）教学设计一、内容与内容解析（一）教学内容本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第七章“证明”的第3节。内容包括：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。（二）教学内容解析地位与作用：本节是在学生学习了"命题、定理与证明"以及"平行线的判定"的基础上，对平行线性质的进一步研究。它是平面几何的基础知识，也是后续学习三角形、四边形等知识的重要工具。核心素养：通过对平行线性质的探索和证明，培养学生的逻辑推理能力、几何直观能力和数学语言表达能力。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：【教学重点】平行线的三个性质定理及其应用。二、目标与目标解析（一）教学目标1.能说出平行线的三条性质，并会用符号语言表示。2.能运用平行线的性质进行简单的推理和计算。3.经历观察、操作、猜想、推理、交流等活动，探索平行线的性质。4.通过对比，理解平行线的性质与判定的区别和联系。5.在探索和合作交流的过程中，体验学习数学的乐趣，培养主动探究的精神。（二）教学目标解析达成目标1的标志是：学生能独立复述性质内容，并在具体图形中正确写出对应的角的关系。达成目标2的标志是：学生能利用平行线的性质，结合对顶角、邻补角等知识，解决求角的度数或证明角相等的问题。达成目标3的标志是：学生能通过测量、剪拼等方式提出猜想，并尝试用"反证法"或利用"判定定理"进行证明。达成目标4的标志是：学生能在具体问题中，明确何时用性质（由平行推角相等/互补），何时用判定（由角相等/互补推平行）.三、学生学情分析已有基础学生已经学习了平行线的定义、画法以及三种判定方法。学生初步具备了一定的观察、操作和简单推理能力。学生对"三线八角"的识别有了一定的基础。可能困难容易混淆平行线的性质和判定，特别是在复杂图形中。从"判定"的正向思维转向"性质"的逆向思维存在障碍。用严谨的数学语言进行推理和证明，对学生来说仍是难点。辅助线的添加是后续学习的难点，本节课虽不直接要求，但需为其铺垫。基于以上分析，确定教学难点如下：【教学难点】平行线的性质与判定的区别，以及综合运用它们进行逻辑推理。四、教学策略分析1.教学方法启发探究式：通过设置问题链，引导学生自主探索、合作交流。对比教学法：将性质和判定进行对比，帮助学生辨析，加深理解。讲练结合法：教师精讲点拨，学生多练巩固，及时反馈。2.教学手段利用多媒体课件展示图形、动画，增强直观性。引导学生使用量角器、直尺等工具进行动手操作。3.学法指导鼓励学生动手实践、自主探索、合作交流。指导学生进行对比学习，梳理知识结构。培养学生规范的解题步骤和书写格式。五、教学过程分析（一）复习引入问题1：如何判断两条直线平行？（引导学生回顾判定定理）问题2：反过来，如果知道两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角之间有什么关系呢？分析：通过复习判定，创设"逆向思考"的情境，自然引入本节课主题，激发学生的探究欲望。设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。（二）主动参与、感悟新知我们已经探索过平行线的性质，下面证明它们。定理两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简述为：两直线平行，同位角相等。已知：如图,直线AB//CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角。求证：∠1=∠2。*证明：假设∠1≠∠2,那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2,如图7-10所示。根据“同位角相等，两直线平行”,可知GH//CD。又因为AB//CD,这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行。这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾。这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2。利用上面的定理，我们可以证明：定理两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简述为：两直线平行，内错角相等。已知：如图7-11,直线l₁//l₂,∠1和∠2是直线l₁,l₂被直线l截出的内错角。求证：∠1=∠2。分析：由条件l₁//l₂可以得到哪些角的等量关系，这些等量关系中的角与∠1,∠2有什么联系?证明：∵l₁//l₂(已知),∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等)。又：∠2=∠3(对顶角相等),∴∠1=∠2(等量代换)。类似地，还可以证明：定理两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简述为：两直线平行，同旁内角互补。例已知：如图7-12,b//a,c//a,∠1,∠2,∠3是直线a,b,c被直线d截出的同位角。分析：由条件b//a,c//a可以得到哪些等量关系?为了证明b//c需要怎样的等量关系?∴∠2=∠1(两直线平行，同位角相等)。:c//a(已知),∴∠3=∠1(两直线平行，同位角相等)。∴∠2=∠3(等量代换)。:b//c(同位角相等，两直线平行)。一般地，我们有如下定理：定理平行于同一条直线的两条直线平行。回顾·反思(1)回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节?(2)对于证明思路的分析，你积累了哪些经验?【例1】如图①所示的是大众汽车的图标，图②反映其中直线间的关系，并且AC∥BD，AE∥BF.∠A与∠B相等吗？请证明.【解析】首先判断两个角是否相等，再根据平行线的性质说明理由即可.【解】∠A与∠B相等.证明：∵AC∥BD，AE∥BF（已知），∴∠A＝∠DOE，∠DOE＝∠B（两直线平行，同位角相等），∴∠A＝∠B（等量代换），即∠A与∠B相等.【例2】如图，AB∥CD，∠B＝∠D.求证：AD∥BC.【解析】根据平行线的性质得出∠B＋∠C＝180°，求出∠D＋∠C＝180°，根据平行线的判定推出即可.【解】如图，连接BD（构造一组内错角）.∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等）.∵∠B＝∠D（已知），∴∠B－∠1＝∠D－∠4（等式的性质），即∠2＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.【例3】如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C＝50°，则∠AED的度数为.【解析】根据平行线的性质得出∠BAE＋∠AED＝180°，∠BAC＋∠C＝180°.求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，即可得出答案.【解】115°【例4】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，F是BC上任意一点，EF⊥AB，垂足为E，且∠1＝∠2.求证：∠B＝∠ADG.【解析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程.【解】∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知），∴∠CDE＝∠FEB＝90°（垂直的定义），∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD（两直线平行，同位角相等）.∵∠1＝∠2（已知），∴∠BCD＝∠1（等量代换），∴DG∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠B＝∠ADG（两直线平行，同位角相等）.（三）课堂总结1、本节课研究了什么问题？2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？【设计意图】梳理知识