5.3 二元一次方程组的应用（第1课时 鸡兔同笼）导学案（解析版）

2/25.3二元一次方程组的应用导学案第1课时鸡兔同笼1.能根据“鸡兔同笼”及类似古算题的题意，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解，掌握用二元一次方程组解决实际问题的基本方法.2.通过对比算术推理、一元一次方程、二元一次方程组三种解法，理解二元一次方程组在解决含两个未知量问题时的优势，强化数学模型思想.掌握用二元一次方程组解决“鸡兔同笼”及类似实际问题的步骤（审、设、列、解、验、答）；能从实际问题中准确找出等量关系，列出二元一次方程组.理解二元一次方程组设元的思路，体会其与一元一次方程设元的区别与优势；准确解读古算题的文字表述，提炼复杂情境中的等量关系..第一环节自主学习新知自研：自研课本P120-P121页的内容，思考：【学法指导】情景引入《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国.●探究一：应用二元一次方程组解古算题◆1.“鸡兔同笼”题为:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?提示：“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”的意思是什么?你能算出鸡兔各几只吗？译文：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.问笼子里鸡和兔各有多少只?思考：已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什么条件？已知条件是：35个头，94只脚；所求问题是：鸡和兔的数量；隐藏的条件是：鸡有2只脚，兔有4只脚.◆2.小组讨论：你能用几种方法解决这一问题？【解法一】算术推理如果都是鸡，35头应该有70只脚，实际有94只脚，多出24只脚，应该是兔子的，每只兔子多两只脚，所以兔子应该有12只.所以鸡有35－12＝23(只)（列式算）.【解法二】用一元一次方程求解思考：趣题中有怎样的等量关系？解：设有鸡x只，则有兔（35－x）只．由题意得2x＋4×（35－x）＝94．解得：x＝23．所以兔的只数为：35－x＝12．答：有鸡23只，兔12只．【解法三】用二元一次方程组求解设鸡有x只，有兔y只，鸡兔合计只数xy35脚数2x4y94根据表格你能列出方程吗？【解答】解：设有鸡x只，兔y只．由题意得：x+y=5解得：x=23答：有鸡23只，兔12只.对比三种解法，总结优势：◆3.小组讨论：“算术法、一元一次方程法、二元一次方程组法，这三种方法各有什么优缺点？”总结：算术法：优点是无需设未知数，缺点是逻辑推理复杂，仅适用于简单问题；一元一次方程法：优点是比算术法更系统，缺点是需用一个未知量表示另一个未知量，列方程时易出错；二元一次方程组法：优点是直接设两个未知量，更贴合问题的数量关系，列方程更直观，缺点是需要解方程组，计算步骤稍多，但整体更易理解和掌握.总结：“当实际问题中含有两个未知量，且有两个等量关系时，用二元一次方程组解决更便捷.”◆4.总结归纳：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：审题：弄清题意和题目中的数量关系；设元：用字母表示题目中的未知数（设两个未知数）；列方程组：根据两个等量关系列出方程组；解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值；检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.【例题导析】自研下面典例的内容，回答问题：典例分析例1：今有甲、乙怀钱，各不知其数.甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等.问甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》）题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱?【分析】等量关系：甲+10=5（乙-10），乙+10=甲-10.【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，得x+10=5解这个方程组，得：x=38答：甲带了38钱，乙带了18钱.例2隔壁听到人分银，不知人数不知银.只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？【分析】等量关系：人数×5=银两数﹣6；人数×6=银两数+5【解答】解：设人数为x人，银两为y两，依题意得：5x=y-6解得：x=11答：人数为11人，银两为61两.第二环节合作探究小组群学A.探讨如何列二元一次方程解决古代数学问题，重点探讨如何找等量关系；B.交流例题的解题思路和易错点.C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1．《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x尺，表的长度为y，则可列方程组为（B）D.&x+D.&C.B.A.2.古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出关于x，y的二元一次方程组为x+3.《算法统宗》是我国明代著名数学家程大位的数学名著，它里面有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？若设该店有客房x间，房客y人，根据题意，可列方程组为7x4.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？(2)某商人准备用28两银子买牛和羊(要求既有羊又有牛，且银两须全部用完)，且羊的数量不少于牛数量的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得：&5&5解得：，答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；解：（2）设购买m头牛，n只羊，依题意得：3m+2n=28，∴&m=2∴∵m、n均为正整数，∴m为2的倍数，∵羊的数量不少于牛数量的2倍， ∴n≥2m，或&商人有2种购买方法：①购买2头牛，11只羊；②购买4头牛，8只羊．题型一鸡兔同笼问题1．我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（）A．x+y=162x+4y=44 B．x+y=16C．x+y=164x+4y=44 D．【分析】根据“上有16头，下有44足”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵上有16头，∴x+y＝16；∵下有44足，∴2x+4y＝44．∴根据题意可列方程组x+y=162x+4y=44故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（）A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2【分析】设蜻蜓是x只，蝉是y只，根据现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设蜻蜓是x只，蝉是y只，由题意得：6x+6y=422x+y=10解得：x=3y=4故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两．问：一头牛值金（）两．A．35 B．107 C．2021 【分析】设一头牛值金x两，一头羊值金y两，根据牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两得：5x+2y=102x+5y=8【解答】解：设一头牛值金x两，一头羊值金y两，根据题意得：5x+2y=102x+5y=8解得x=34∴一头牛值金3421故选：D．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组．4．鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方程组解答）【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据“鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿”，列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得：x+y=202x+4y=54解得：x=13y=7答：鸡有13只，兔有7只．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”．其大意是“现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答．【分析】设鸡有x只，兔有y只，由题意：从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得：x+y=352x+4y=94解得：x=23y=12答：鸡有23只，兔有12只．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．题型二和、差、倍分问题6．现有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元．则其中面额100元的人民币有（）A．12张 B．14张 C．20张 D．21张【分析】根据“有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元”可得相应的方程组．【解答】解：设100元的人民币为x张，20元的人民币y张，根据题意得：x+y=33100x+20y=1620解得：x=12y=21即面额100的人民币有12张．故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题干信息找出等量关系并据此列式计算是解题的关键．7．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，那么3辆大货车与5辆小货车一次可以运货吨．【分析】设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（3x+5y）中即可求出结论．【解答】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，依题意得：2x+3y=15.55x+6y=35解得：x=4y=2.5∴3x+5y＝3×4+5×2.5＝24.5，∴3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨．故答案为：24.5．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8．开学初乐乐用自己积攒的零用钱购买一些文具，他先花了零用钱的13买了一支钢笔，接着又用剩下零用钱的34买了一个全自动削笔机，已知这个全自动削笔机比这支钢笔贵了【分析】本题主要考查一元一次方程的应用及分数的计算，根据题意列出方程是解题的关键．设乐乐积攒的零用钱为x元，则一支钢笔花了13x元，全自动削笔机花了1-1【解答】设乐乐积攒的零用钱为x元，则一支钢笔花了13x元，全自动削笔机花了又这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，所以12x-1一支钢笔花了13答：乐乐购买这支钢笔花了42元钱．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．如图，两根铁棒直立于桶底水平的水桶中，在桶中加入水，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15，两根铁棒的长度之和为【分析】设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．因为两根铁棒之和为55cm，故可得方程：x+y＝55，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程23x=4【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm，由题意得：x+y=552解得：x=30y=25答：较长铁棒的长度为30cm，较短铁棒的长度为25cm．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．10．北大附中畅春园校区教学楼有4层，其中初一、初二的班级教室都在2﹣4层，共有35个班，1200名学生．进出教学楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．周一早上参加升旗仪式时，各班从教室出发，如果通过两道正门和一道侧门走到操场，那么4分钟可以集合完毕；如果通过两道侧门和一道正门走到操场，那么5分钟可以集合完毕（出门跑到操场指定位置的时间忽略不计）．求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少人？【分析】设一道正门平均每分钟可以通过x人，一道侧门平均每分钟可以通过y人，根据两种假设列方程组求解即可．【解答】解：设一道正门平均每分钟可以通过x人，一道侧门平均每分钟可以通过y人，根据题意得4(2x+y)=12005(x+2y)=1200解得x=120y=60答：一道正门平均每分钟可以通过120人，一道侧门平均每分钟可以通过60人．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．题型三盈不足问题11．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树．”设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组（）A．3y+5=x5(y-1)=x B．3x+5=yC．3y+5=x5y=x-5 D．【分析】直接利用已知表示出乌鸦的数量进而得出答案．【解答】解：设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组：3y+5=x5(y-1)=x故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键．12．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（）A．7x+7=y9(x-1)=y B．7x+7=yC．7x-7=y9(x-1)=y D．【分析】根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住，∴7x+7＝y；∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，∴9（x﹣1）＝y．∴根据题意可列方程组7x+7=y9(x-1)=y故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两；则①人数为人；②银子共有两．【分析】设有x人，y两银子，列出方程组，解方程组即可求解．【解答】解：设有x人，y两银子，由