数学南开中学2026届高三第五次质量检测答案

数学试题参考答案与评分细则题号123456789选项BCABDCAB6.C【解析】中位数是5,则a₂+a₃=10,平均数是5,则a₁+a₂+@₃+a₄=20,放a₁+a₄=a₂+a₃=10,由于2≤a₁≤a₂≤a₃≤a₄≤8,当(a₁,a₄)=(2,8),则(a₂,a₃)=(2,8),(3,7),(4,6),(5,5);当(a₁,a₄)=(3,7),则(a₂,a₃)=(3,7),(4,6),(5,5);当(a₁,a₄)当(a₁,a₄)=(5,5),则(a₂,a₃)=(5,5);综上，一共有10种.则m>1,于是令t=x"-1,原方程转化为有2个正根，对函数,所以当0<x<e时，令,y=2sint,刚好3个零点，故C正确；由于,故f(x)关于10.AC【解析】设A(y₁,y₁),B(x₂,y₂),y₁>0,y₂<0,设直线AB:x=ty+4,联立方程得：所以y₁y₂=-8p,则,故,y₁²=2py₁选项,C对；选项D:由于四点A,B,C,D共线，故IBDI·IBAI=IACI·ICDI⇔|xg-xpIlxg-xAI=lxA-xc11xc-xpl,显然后一个等式不成立，故D错.选项B:S₂026=220²7-2=4×86⁵-2=4×(9-1)⁶75-2=4×(9K-1)-2=36K-6,k∈Z,选项C:取p=2025,q=2026即可；所以2⁹+3-(-1)⁹≥2P+¹+2,从而有：-2×(-1)≥2,故p+1=q,p为奇数，此时q²-102p=(p-50)²-2499≥1-2499=-2498,p=49或51.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【解析】枚举法即可.此题本质是排序不等式.4面A₁BD的法向量不妨取,点P到面A₁BD的距离为4当且仅当时取“=”B15.(13分)所以：………………………4分(2)因为f(x)=e*-1·x²,所以f'(x)=e-¹(x²+2x)6分所以f(x)在-1<x<0单调递减，在0<x<2单调递增…………………9分,f(2)=4e,所以fmax(x)=f(即f(x)在区间[-1,2]上的值域为[0,4e].…………13分16.(15分),所以四边形MPNB为平行四边形…………4分MP//BN,又BNC平面A₁DM,MPC平面A₁DM,所以BN//平面A₁DM6分如图，以点M为坐标原点，MD,MB,MA₁分别为x,y,z轴建空间直角坐标系………………8分则M(0,0,0),A₁(0,0,1),D(1,0,0),C(1,2,0),B(0,1,0)…………9分设A₁C与平面A₁DB所成的角为θ,则……………14分所以A₁C与平面A₁DB所成的角的正弦值为……………………15分17.(15分)由A为三角形内角，所以……………6分所以……………7分令BC的中点为0,由条件可知：BC为△ABC的直径，0为△ABC外接圆圆心所以由S₁>2S₂可得：8sinB·cosB>8(1-cosB)sinB……………13分18.(17分)解：记白球最先被全部取出的事件为A,最后取出红球的事件为B,最后取出黑球的事件为C,(2)(i)显然事件B与事件C互斥，则A=BA+CA……………………4分………8分整理得……………9分所以裂项求和得……方法,x>0因为x>0,所以当0<x<2,f'(x)>0,x>2,f'(x)<0分立…………17分当n=3时，※左边1,右边,显然左边>右边，成立……………15分19.(17分)解：(1)设P(x,y),由条件可得：……………2分联立得：(3-k²)x²-2ktx-t²-3=0,∴△=4k²t²+4(3-k²)(t²+3)=48,k²≠3……………………7分化简得：3k⁴-34k²+11=0,………………9分∴BC中点,BC中垂线为 ∴BC中垂线交y轴于…