2026年高考数学复习：易错点 平面向量与解三角形（原题版）

专题06平面向量与解三角形

目录

题型一：平面向量

易错点01对平面向量的基本概念理解不到位

易错点02忽略平面向量夹角的范围与方向性

易错点03忽略向量共线时的两种情况

易错点04错用平面向量的运算律

题型二：解三角形

易错点（）5解三角形时错判解的个数

易错点06忽略边角互化条件

易错点07忽略三角形中的隐含条件

题型一：平面向量

易错点01：对平面向量的基本概念理解不到位

能易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高二下•全国•课后作业）在下列结论中，其中正确的是（）

A.若向量〃，〃共线，则向量a,b所在的直线平行

B.若向量〃所在的直线为异面直线，则向量a,5一定不共面

C.若三个向量方，c两两共面，则向量a,〃，。共面

D.已知空间的两个不共线向最a,b,对于空间的一个向星/,存在实数1，六使得〃十）力，则

向量P与向量〃共面

【答案】D

【分析】根据向量共线共面的判断，对选项逐一判断即可.

【详解】选项A,向量a力共线，则向量所在的直线平行或重合，故A错误；

选项B,根据空间向量的意义知，空间任意两个向量〃力都共面，故B错误.

选项C,由广三个向吊a,两两共面，但是公力,。不一定共面，故C错误:

选项D,已知向图〃力｝是空间的一个基底，若p=xa+yb,则向后a,b,〃共面，D选项正确.

故选：D.

【易错剖析】

在解题时容更昆淆向量平行与直线平行的不同而出错,另外也容易忽略零向量的特殊性.

【避错攻略】

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量统称为向量，向量的大小叫作向量的模.

(2)零向量：长度为0的向量，记作0.

(3)单位向量：模等于1个单位长度的向量.

(4)共线向量：若两个非零向量。，力的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，规定:

零向量与任一向量共线.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量

定义法则(或几何意义)运算律

运算

(1)交换律：

彳,1。+力=6+0；

加法求两个向量和的运算

(2)结合律：

三角形法则平行四边形法则

(a+b)+c=a+S+c)

xy

求。与力的相反向量一b

减法的和的运算叫做a与力的Q-0=〃+(一力)

三角形法则

差

(DIM=|4⑷;(2)当让0时,Xa

感1。)=(2〃)。：

求实数2与向最a的积的的方向与〃的方向相同；当上。

数乘a+〃)a=2a+/a：

运算时，痴的方向与a的方向相反；

A(a+b)=2a4-xZ>

当4=0时，〃=0

【解读】（1）利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点.

（2）当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用.

3.共线向量定理

向量。3工0）与力共线的充要条件是：存在唯一一个实数2,使力=M.

【解读】共线向量定理中规定*0原因：（1）当a=0时，若好0,则不存在实数人使得。=〃，但此时

向量。与b共线；（2）当。=0时，若力=0,则对任意实数L都有b=〃，与有唯一一个实数7矛盾.

因此限定。和的目的是保证实数2的存在性和唯一性.

易错提醒：（1）注意0与。的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0；（2）单位向量有无数个，它

们的模相等，但方向不一定相同；（3）零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向

不施定，因此在解题时要注意它们的特殊性；（4）任一组平行向最都可以平移到同一直线上；（5）向量平行

与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可

以重合；但直线平行不包含直线更合的情况.

1.（2024高三・北京・专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向

是任意的；②若。都是单位向量，则〃="③向量.与阴相等淇中正确命题的序号为（）

A.①B.③C.①③D.①②

2.（2024高三.全国.专题练习）下列命题错误的是（）

A.若〃与人都是单位向量，则〃=力.

B.“同二|中是=/尸的必要不充分条件.

ab门

C.若心〃都为非零向量，则使词+间二°成立的条件是a与b反向共线.

D.若a=b,b=c,则〃=c.

3.（23-24高一下•四川•期中）下列命题正确的是（）

A.若〃与〃都是单位向量，则d=〃

B.方向为南偏西60。的向量与北偏东60。的向量是共线向量

C.若〃与人是平行向量，则〃=力

D.若用有向线段表示的向量AM与4N不相等，则点M与N不重合

>易错题通关

1.（2024高三•北京•专题练习）下列说法正确的是（）

A.长度相等的向量叫做相等向量

B.共线向量是在同一条直线上的向量

C.零向量的长度为零，方向是任意的

D.就是44所在的直线平行于CO所在的直线

2.（2024百三.全国•专题练习）已知非零向量〃与方共线，下列说法不正确的是（）

A.a=b^a=-b

B.a与〃平行

C.〃与0方向相同或相反

D.存在实数4,使得a=

3.（23-24高三下.江苏扬州.阶段练习）下列命题中，正确的是•）

A.若卜卜W，则4=力B.若卜卜忖，则a

C.若a=b，则〃/分D.若a〃b,bHc,则a//c

4.设〃是非零向量，2是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.〃与；的方向相反B.a与六〃的方向相同

C.卜痛上忖D.卜布上风。

5.（2024高三.全国•专题练习）（多选）下列命题中错误的有（）

A.平行向量就是共线向量

B.相反向量就是方向相反的向量

C.〃与I同向,且忖刑，则

D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件

6.（23-24高二上•安徽阜阳•阶段练习）（多选）给出下列命题，其中假命题为（）

A.向最人8的长度与向量B4的长度相等

B.向量a与平行，则a与力的方向相同或相反

C.闷+上卜卜/一可<=>〃与方方向相反

D.若非零向量〃与非零向量6的方向相同或相反，则a+b与〃之一的方向相同

7.（2024高三•江苏・专题练习）（多选）卜列说法不止确的是（）

A.若，则〃与b的方向相同或者相反

ab

B.若“，/）为非零向量，且时二M，则〃与〃共线

C.若4/小，则存在唯一的实数;I使得a=。

D.若q,/是两个单位向量，且卜［一色=1，则,+02卜母

8.（多选）下列叙述中正确的是（）

A.若出/b,b!k,则

B.若a=b，则3a>3

C.已知非零向量a与〃且〃〃b，则。与〃的方向相同或相反

D.对任一非零向量。，言是一个单位向量

9.（多选）下列说法错误的是（）

A.48〃C。就是"所在的直线平行于CD所在的直线

B.长度相等的向量叫相等向量

C.零向量的长度等于0

D.AB+CA+BC=O

易错点02:忽略平面向■夹角的范围与方向性

能易错陷阱与避错攻略

典例（23-24高三上.山东聊城.期末）已知向量a=（3—1,2）,/?=（1,/）,若a与5所成的角为钝角，则实数f

的取值范围：.

【答案】

\D）

【分析】a与方所成的角为钝角即aS<0且a与力不平行,列式求解即可.

【详解】〃与。所成的角为钝角即/〃<0且〃与〃不平行,

1

3r+l+2r<0_t<一

即・(3f+l)32n5

3『+1—2/0

\]

所以fe(y,-1)"-1,

5>

故答案为：（一8,-1）7b1,一（）.

【易错剖析】

本题容易误认为父〃<°是。与/，夹角为钝角的充要条件而出错，因为当时。与〃夹角可能为1.

【避错攻略】

1.向量的模

（1）向量的大小叫向量的模.向量之=（.凹）的模为口=，狼+犬.

（2）若人（内方）,*0%），则向量AB的模AB=｛（/一々『+（»一）'2）2•

2.向量的夹角

（1）已知两个非零向量a,〃（如图），0是平面上的任意一点，作殖=m（）J3=b,则NAO/3=e（OWOW兀）

叫做向量。与b的夹角.

（2）当。=0时，。与。同向；当。=兀时，。与力反向.

ab_芭

（3）设a=（X,y）=（9,必）是两个非零向量，它们的夹角为夕，则cos6=W+M%

\a[\h\++£

3.垂直：如果。与b的夹角是方则称。与b垂直，记作。_L5.

易错提醒：（1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角（2）向量的夹角是指向量方向的夹

角；（3）向量的夹角范围是［0,万］,这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分.

1.（23・24高三下•湖南湘潭•阶段练习）已知向量4=（〃?+"。，b=（2,-l）,若a与人所成的角为锐角，则实

数阳的取值范围为.

2.（24-25高三上•北京顺义・期中）设点A,B,C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角''是

“MB+4C|>|48-AC|”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.124-25高三上•湖南常德•阶段练习）如图，在边长为2的正三角形4BC中，。为的中点，AB=3AE，

则AO-CE=（）

33

,易错题通关

1.（23-24高三上•北京・开学考试）已知不共线的两个非零向量4b，贝/〃+〃与b所成角为钝角”是

TdKIbl”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（24-25高三上•河南安阳•期中）设非零向量”力的夹角为若同=1利=2,则“。为钝角”是“卜人6卜6”

的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（24-25高三上•山西大同•期中）已知向量。也c满足。+"。=0,"=2炳=石，且〃与人的夹角为仁，则

cos卜,c）=（）

A2x/13n2如「2底n2x/39

13131313

4.（24-25高三上•湖南•阶段练习）已知VABC为单位圆0的内接正三角形，则（）

A.--B.-C.1D.-1

22

5.（2024•云南贵州•二模）设向量4=（1,2）力=（〃?/），且卜+〃卜,叫，则机二—,〃和0炉成角为

6.（2024・四川绵阳•模拟预测）平面向量。与〃相互垂直，已知G=（6,-8）,|^|=5,且〃与向量。,0）的夹角

是钝角，则b=.

7.（24-25高三上•福建福州•期中）已知同=6,e为单位向量，且〃在e上的投影向量为-3缶，则〃与e的

夹角为.

8.（24-25高三上・福建福州•阶段练习）已知”（1,2）,若a与人的夹角是钝角，则实数大的取

值范围是.

易错点03:忽略向■共线时的两种情况

般易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高二上•安徽马鞍山•阶段练习）己知单位向量。与向量力=（1,2）共线，则向量。的坐标

是.

【答案】（耳豆1）或（-《,一当.

5555

【解析】根据与向量共线的单位向量的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，单位向量〃与向量b=（l,2）共线，

bI

则问量a=±W=±??,即向量。的坐标是

【易错剖析】共线向量的定义指出方向相同或相反的非零向量称为共线向量，并规定零向量与任意向量共

线，本题容易忽略方向相反的情况而造成漏解.

【避错攻略】

1.向量数乘的定义

规定实数4与向量〃的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：Aa,它的长度与方向规定如

下：①I而l="lla|；②当4〉0时，%的方向与。的方向相同；当几＜0时，加的方向与。的方向相

反.当4=0或a=0时，Aa=0.

2.向量共线（平行）定理

向量〃（a工0）与，共线的充要条件是：存在唯一一个实数2,使力=而.

3.平面向量共线的坐标表示

（1）设。二（5，,），＞=（々，）’2），其中人工0，。，力共线的充要条件是存在实数2，使。=劝.

（2）如果用坐标表示，向量。，仇力工0）共线的充要条件是％%-々乂=0.

易错提醒：处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题

的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反

的恃况.

1.（2025高三・全国•专题练习）已知向量a.〃不共线，且c=M+b,d=〃+（22-l）〃，若c与d反共线，则

实数;I的值为（）

A.1B.--C.1或」D.-1或」

222

2.（24-25高二上•河南•阶段练习）已知直线乙的方向向量为4=（太1）,直线4的方向向量为4=（2-左左）,

若4〃4，则&=（）

A.-2B.IC.-2或ID.0或2

3.（24-25高一下・四川泸州•期中）（多选）与。=（3,-4）共线的单位向量有（）

易错题通关

1.（24-25高三上•山东日照•阶段练习）已知向量。，〃不共线，且c=/la+〃，d=a+（2A+l）b,若c与"同

向共线，则实数4的值为（）

A.1

C.1或D.-1或g

2.（2024.全国.模拟预测）已知向量〃=（3,-1）,单位向量c与向量。=（2,1）同向共线，则向量c在向量”方向

上的投影向量为（）

A13行⑸（3不后（夜3®

A・「而初（逑㈤

B.76-'一而

\Z\/

3.（23-24高一下•全国•随堂练习）下列关于向量的描述正确的是（）

A.若向量”，〃都是单位向量，则〃=>

B.若向量〃,5都是单位向量,则|a|=|/”=l

C.任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量

D.平面内起点相同的所有单位向量的终点共线

4.（24-25高一下•江苏连云港•阶段练习）已知向量AB=（2,2）,则与八8共线且反向的单位向量为（）

A-等）B.昌管

。・隹蜀或卜冬-用口.（2,2）

5.（24-25高一上•云南・期末）（多选）设〃，力是互相垂直的单位向量，AB=2a+2b，AC=a+（A-l）b,

下列选项正确的是（）

A.若点。在线段A8上，则/=2

2

B.若A81AC,则2=§

C.当4=1时，与八。共线的单位向量是好a+也力

55

I2

D.当九=一1时，〃在4c上的投影向量为不/-《〃

6.（24-25高一上•上海•课前预习）设q、g是两个不平行的向量，则向量，〃=-"+攵弓（&wR）与向量

〃=6-加平行的充要条件是.

7.（24-25高一下•河南•期末）已知向量。=（2,2）,与。共线且方向相反的单位向量〃=.

8.（23-24高一下•广东佛山•期中）已知口=3,忖=1,〃与人的夹角为45。.

⑴求〃在〃方向上的投影向量；

（2）求口+2@的值;

⑶若向量（2“-训与（而-的）平行且方向相同，求实数4.

易错点04:错用平面向■的运算律

能易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高二上•山东青岛•期中）已知：$=法，下列关系一定正确的是（）

A.b=0B.Q=cC.（67—c）-L/?D.（a—c）〃方

【答案】C

解析】由己知々的=力中,所以°石一〃・c=0,即儿（a—c）=0，所以（a—c）_L〃,故选C.

【易错剖析】本题容易混淆了向量数量积与实数的积的概念而出错，如由〃的=〃琼，两边同除以b,所

以〃=(7•

【避错攻略】

1.向量数量积的性质

设〃，〃都是非零向量，e是单位向量，。为。与〃(或e)的夹角.则

••^9一

(1)ae=ea=acos”；

(2)a上b=a,b=0；

(3)当〃与/?同向时，a-b=a\b；当。与方反向时，ab=-ab

特别地,

,、八ab

(4)COS0—■;~~n~~r;

IdH

(5)ab<a|/?

2.向量数量积的运算律

(1)ab=ba；

(2)(尤4)/)=%(。〃)=4(2〃/2为实数);

(3)(a+b^-c=ac+bc\

(4)常用公式

(Q+/?).(。―/?)=，―//(4+Z?)=a~+2a-b+ba-b]=a~-2ab-^-b2

易错提醒：⑴在实数中：若〃。0,且曲=0,则〃=0,但在向量的数量积中，若且a2=0,

不能推出〃=0.

(2)已知实数a,b,c(/?W。)，且出厂反，则a=c,但在向量的数量积中没有〃.b=b.cn.

(3)在实数中有(a/)・c=a-3-c),但是在向量数量枳中(a6),cwee・c),这是因为左边是

与c共线的向量，而右边是与4共线的向量.

举一反三

1.（24-25高三•河北石家庄期末）已知a,〃,c均为非零向量，贝！下列结论中正确的有（）

A•若。〃一。♦c=0，则/?二。

B.若|a-c|=|Z?-c|,则a=Z?

C.若|4|>|切，则（。+份.（。一〃）>0

D.若2|。|二|〃|=2,〃力=0,且|。+〃一2。|=1,则|c|的最大值与最小值之和为逐

2.（2025全国高三第一次模拟）已知a,为非零平面向量，则下列说法正确的有（）

A.。4〃=0B.a〃b=m入wR,b=入。

如若〃.。=/7.。，则4=/?D.（a-h）-c=a（b-c）

3.（2025・全国•高三课时练习）已知平面向量4=（1,3）,忖=2,且K—耳=9，则伽+〃）・（"b）=（）

A.1B.14C.V14D.VlO

,易错题通关.

1.（2025高三,全国•专题练习）设a，/?为非零向量：2,〃eR,则下列命题为真命题的是（）

A.若4・（。一〃）=0,则4

B.若b_2a，则口+卜|一卜+H

C.若福+〃。=0,则4=〃=0

D.若a>W，则（a+〃）（4-/?）>0

2.（24・25高三上•安徽合肥•阶段练习）下列叙述中正确的个数是：（）

①若a，〃，c为平面向量，则（〃/）c；=a伍・c）；

②问量（鼠〃六一（万£四与a垂直；

③〃=（-3/〃），力=（4,3）,若《与b的夹角是钝角，则实数机的取值范围是〃?<4

b

④.记风入，则向量a在向量。上的投影向量为（a.e）e

A.0B.1C.2D.3

3.(24-25高三上•山东济宁•阶段练习)若向量〃/满足恸=1,[a+b)1b,(a+2ma,则同=()

A.72B.8C.2D.3

4.(24-25高三上•山西太原•期中)(多选)已知非零向量a,4c,则下列结论正确的是()

A.若aSc)=O,则力_Lc

B.若(a+〃)l(〃-))，则团=闻

C.向量(a/?)c-(a・c迫与向量〃垂直

D.若a.c=〃，c,则a=〃

题型二：解三角形

易错点05：解三角形时错判解的个数

能易错陷阱与避错攻略

典例(24-25高三上•山东济宁•阶段练习)在三角形ABC中，a=2,4=二，6=26，则NC=()

6

AA.-兀Br>.—兀Cc.一兀或-P一-冗Drx.一%或-4^一五

636232

【答案】C

【分析】由正弦定理求得8,即可求解.

,2_2y/3

【详解】由一三=一彳可得：？=正而，

sinAsinB

2

所以sinB=立，又b>a,

2

所以B=g或与，

结合内角和定理，所以/。二?或g,

62

故选：C

【易错剖析】

已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，容易忽略对解的个数的讨论而出错.

【避错攻略】

在△ABC中，己知小〃和A时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角

ZL队C

图形以

AB”•….BA•..........B八B

AB

OsinAva<ba>ba>b

关系式a=Z?sinAa<b

解的个

一解两解一解一解无解

数

由上表可以得出：己知两边•对角:

大角求小角i解（锐）

［两解一sinA<1（一锐角、一钝角）

‘小角求大角一，一解一sinA=l（直角）

无解一sin4>1

-

易错提醒：两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间（0,乃）内不单调，此时三角

形解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角J£行分析，也通过几何法来判断三角形解的

个数。

♦举一反三

1.124-25高二上•河南洛阳・期末）在VABC中，已知A=60°，a=2百，b=2,则"=（）

A.30或150"B.60°C.30D.60°或120°

2.（24-25高二上•山西晋城•阶段练习）在VABC中，内角A,B,。所对的边分别为“，b,c,若

b=2后,C=g,则角3的大小为（)

7Cn兀

A.—B.—C-»V-D

62-7

3.（24-25高三下•江苏扬州•开学考试）在VABC中，内角A、3、C的对边分别为。、b、c,根据下列条

件解三角形，其中有两个解的是（）

A.。=8,/>=1（）,A=45°B.a=60,/?=81»3=60

C.。=7,h=5,A=80D.a=l4,b=20

4易错题通关.

1.在中，3=30力=2,c=2及，则角4的大小为（）

A.45B.135或45C.15D.105或15

2.（24-25高二上•重庆・开学考试）若满足乙43c=£,AC=61C=Z的VA8C恰有一个，则实数上的取值范

4

围是（）

A.（0,6]B.（0,6]J{6x/2}C.[6,6>/2]D.（6,6夜）

3.（24-25高三上•江苏淮安•期中）在外接圆半径为4的VABC中，448c=30"，若符合上述条件的三角形

有两个，则边A8的长可能为（）

A.2B.3C.4D.5

4.在58C中，AC=\,N4C8=r，延长阴到点。，使得=乙4。。=丁，则A3的长为_____.

46

5.已知48c的三个内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,若。=2,人=?,且"-sin（8-C）=sin28,

则面积为.

易错点06:忽略边角互化条件

，易错陷阱与避错攻略

典例在3ABe中，内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,已知7acosB=〃（。-7coS）.

⑴求力；

jr

⑵D为边人4上一点，AD=2DB=2BC,^BDC=-,求血C的面积.

【答案】（1）人=7

4

【分析】（1）通过正弦定理将7/。3=〃化-7cos㈤中的边化为角，可求出b的值；

（2）由题可知•为等边三角形，|Cq=。，在△ADC中运用余弦定理可求出〃的值，进而求得.VWC

的面积.

【详解】（I）VlacosB=Z?（c-7cosA）,由止弦定埋得：7sinAcosB=sin^（c-7cosA）,

7sirv4cos^+7sin/?cos^=csinB,Bp7sin（A+B）=Z?sinC=7sinC,

则6=7.

（2）由题可知二MC为等边三角形，则|cq=a,4。。=笄，

-\AD\=2at在△ADC中，由余弦定理可得：

|时=\AD\2+\0€\"-2\AD\-\DC\-cosAADC,

即49=(2a)2+d2-2-2at?cosy,解得a=币,

LABC的面积为』X>/7X3A/7xsin—=.

234

【易错剖析】

本题在对题设条件的应用过程中容易错用正弦定理进行边角转化，将74cos3="c-7cosA)化为

7sin/4cosB=sinA(sinC-7cosA)而出错.

【避错攻略】

1.正弦定理

在4WC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△A4C外接圆半径

abc

----=----=----=2R

sinAsinBsinC

2.正弦定理的变形

®asinB=bsinA；Z?sinC=csinB：asinC=csinA：

②sinA:sinB:sinC=a:b:c

„abca+b+ca+ba+cb+c八八

③-----=-----=-----=-------------------=------------=------------=------------=2R

sinAsinBsinCsinA+sin8+sinCsinA+sinBsinA+sinCsin8+sinC

④。=2RsinA,b=2RsinB,c=2HsinC（可实现边到角的转化）

@sinA=—,sinB=—,sinC=—（口」实现角到边的转化）

2R2R2R

3.正弦定理的应用

①边化角，角化边oa:b:c=sinA:sinB:sinC

②大边对大角大角对大边a>。04>8osinA>sin3ocosA<cosB

③合分比：_=a+b=-=a+c―-―上一,印

sinA+sin8+sinCsinA+sinBsinB4-sinCsiiM+sinCsinAsinBsinC

易错提醒：若等式中每一项的边或者三角的正弦（特指sinAsinEbinC）的个数相同，可以考虑直接改成对

应角的正弦或者对应角的边，否则就得利用2R进行等量代换.

.举一反三

1.(2025高三・全国・专题练习)已知VABC的内角A8C所对的边分别为。也c,若

(c-«)sinA=csinC-bs\nB,b=3,则AC边上中线长度的最大值为()

A3及R4石「36n4x/2

A.---D.----C.----D.----

2323

2.（23-24高一下•江苏盐城期中）在△相€?中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos8+bcosA=a,

则AA8C一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等边三角形

3.（23-24高•下•广西南宁•期末）已知V/WC的内角A,B,C所对的边分别是mb,c,点。是A8的中

点.若a+1=ccosB且AC=1,CD=—，则AB=______.

22

4易错题通关时

1.（2024•四川成都•模拟预测）已知V/WC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,且产=.:

b+csinA+sinC

贝UA=（）.

n-兀-2兀-5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

2.（2024•陕西•模拟预测）在VA4C中，角人,B,C所对的边分别为4也c,c（sinA-sinC）=（f/-Z?）（sinA+sinB）,

若VA8C的面积为且，周长为弘，则AC边上的高为（）

4

A.3B.3C.6D.26

32

3.（2024,全国,二模）在△八〃。中，内角八，氏C所对的边分别为小乩c,Z/cosA=b8sC+ccos“，旦a=4sinA,

则AA8C周长的最大值为（）

A.4&B.6夜C.4GD.

4.（24-25高三上•广东东莞•阶段练习）在V43C中，若sin?A+siif8+sinAsin8=sin?C,且AB边上的中

线长为2,则VA8C面积的最大值为.

5.（2024•山东•模拟预测）VA8C内角A,B,5的对边分别为%b,%若〃=2asin8,be=4,则VA8C

的面积为.

6.（2024・陕西西安•模拟预测）在VABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且a=«,

V6cosB=(3c-Z?)cosA,则V4BC面积的最大值为,

7.（2025高三・全国・专题练习）在\'人8。中，内角4反。所对的边分别为a,》=a（2cosC-CQsB）-AoS.

(1)求A;

(2)若VA8c的面枳为46，。为AC的中点，当8力取得最小值时，求8c的长.

易错点07：忽略三角形中的隐含条件

叁易错陷阱与避错攻略

典例(2025高三•全国•期末)设锐角的内角A,B,。的对边分别为mb,c,若C=2A,则丝史的

a

取值范围是.

【答案】(2尤+1,2"+2)

【分析】根据已知条件，利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换将目标式化为角A的函数关系，再求A的

取值范围，根据函数值域即可求得结果.

【详解】因为C=2A,则sinC=sin2A=2sinAcosA,cosC=cos2A=2cos2-1.

乂sinfi=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

故由正弦定理可得：

2c+bsinB+2sinCsinAcosC+cc«AsinC+4sinAcosA..厂cosAsinC

-----=------------=--------------------------------=4cos/A+cosC+---------

asinAsinAsinA

=43OS/\+2COS?A-1+2COS2A

=4cos2A+4cosA-\»

又为锐角三角形，故可得Cw(0,“=2A€%),「=兀-3Aw(0,»

解得AW(K),则cosA£^,

由干y=4co$"+4cos4-1=4k0$八+1)-2,在cos4w(^,孝)上单调递增,

当cosA=—,y=1+2V5,当cosA=—,y=2+275,

2'2

故4cos2A+4cosA-1e(2&+l,2x/3+2),

即空上e(2虎+L+2).

a

故答案为：(2e+1.26+2).

【易错剖析】

本题在求解过程中容易忽略条件中三角形是锐角三角形这一限制条件，以致求错A的取值范围而出错.

【避错攻略】

l.AABC内角和定理：A+B+C=7r

①sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinBoc=acosB+b8sA

同理有：a=bcosC+ccosB»Z?=ccosA+a8sC.

②-cosC=cos(A+8)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，-IanC=【amA+B)=皿B。tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC

1-tanA-tan

(4)sin/；A=cos三.cos(3=sing

⑤在AA4C中，内角A,B,C成等差数列u>8=2,4+。=二.

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2.三角形中的射影定理

在，ABC中，a=Z?cosC+ccosB：b=«cosC+ccosA：c=Z?cosA+acosB

3.中线、角分线

(1)中线:

在中，设。是8C的中点角A,4,C所对的边分别为〃，b,。

①向量形式：240=A3-AC

结论：AD=—(Z?2+c2+2/?ccosA)

4

②角形式：

ZADB+ZADC="=cosZADB+cosZADC=0

“Afnf八"DA2+DB2-AB2

在/SADB中有：cosZADB=-----------------;

2DAxDB

在AAOC中有：cosZADC=DA~+DC~~AC~

2DAxDC

(2)角平分线

如图，在A43c中，AO平分N84