江苏省南通市示范初中2026届数学高一上期末经典模拟试题含解析

江苏省南通市示范初中2026届数学高一上期末经典模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）A. B.C. D.2．已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为（）A.3 B.2C.1 D.03．已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为A. B.C. D.4．不等式的解集是（）A B.C.或 D.或5．已知正三棱锥P—ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB，PC分别交于点D和点E，则截面△ADE周长的最小值是（）A. B.2C. D.26．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是A B.C. D.7．函数（且）图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为A. B.C. D.8．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则9．已知，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.10．已知扇形周长为，圆心角为，则扇形面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．写出一个能说明“若函数为奇函数，则”是假命题的函数：_________.12．已知函数若函数有三个不同的零点，且，则的取值范围是____13．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值是___________.14．已知正实数x，y满足，则的最小值为______15．函数的定义域是________.16．已知，，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，且（1）证明函数在上是增函数（2）求函数在区间上的最大值和最小值18．已知函数（1）求函数的对称中心；（2）当时，求函数的值域19．中国茶文化博大精深，小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足：，其中为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：从98℃下降到90℃所用时间1分58秒从98℃下降到85℃所用时间3分24秒从98℃下降到80℃所用时间4分57秒（1）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）函数关系，并选取一组数据求出相应的值（精确到0.01）.（2）“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（1）的条件下，水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却___________分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由.A.5B.7C.10（参考数据：，，，，）20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一点，且，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到达点.（1）求阴影部分的面积；（2）当时，求的值.21．2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：123456（万个）1050250若该变异毒株的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择.（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.（参考数据：）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．【详解】设底面半径为r，则，所以.所以圆锥高.所以体积.故选：C.【点睛】本题考查圆锥的性质及体积，圆锥问题抓住两个关键点：（1）圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长；（2）圆锥底面半径r、高h、母线l组成直角三角形，满足勾股定理，本题考查这两种关系的应用，属于简单题.2、A【解析】根据给定条件求出函数的解析式，再将问题转化成求两个函数图象公共点个数作答.【详解】因定义域为的单调递增函数满足：，有，则存在唯一正实数使得，且，即，于是得，而函数在上单调递增，且当时，，因此，，方程，于是得方程的解的个数是函数与的图象公共点个数，在同一坐标系内作出函数与的图象如图，观察图象知，函数与的图象有3个公共点，所以方程解的个数为3.故选：A【点睛】思路点睛：图象法判断方程的根的个数，常常将方程变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.3、C【解析】设球的半径为,根据题意知球心到平面的距离,截球所得截面圆的半径为1,由,截面圆半径,球半径构成直角三角形,利用勾股定理,即可求出球半径,进而求出球的表面积.【详解】如图所示,设球的半径为,因为,所以,又因为截球所得截面的面积为,所以,在中,有,即,所以,故球的表面积,故选:C.【点睛】本题主要考查球的基本应用,答题关键点在于明确球心到截面的距离,截面圆半径,球半径三者可构成直角三角形,进而满足勾股定理.4、D【解析】将分式不等式移项、通分，再转化为等价一元二次不等式，解得即可；【详解】解：∵，，即，等价于且，解得或，∴所求不等式的解集为或，故选：D.5、D【解析】可以将三棱锥侧面展开,将计算周长最小值转化成计算两点间距离最小值,解三角形,即可得出答案.【详解】将三棱锥的侧面展开,如图则将求截面周长的最小值,转化成计算的最短距离,结合题意可知=,,所以,故周长最小值为,故选D.【点睛】本道题目考查了解三角形的知识,可以将空间计算周长最小值转化层平面计算两点间的最小值,即可.6、A【解析】因为函数g(x)＝4x＋2x－2在R上连续，且，，设函数的g(x)＝4x＋2x－2的零点为，根据零点存在性定理，有，则，所以，又因为f(x)＝4x－1的零点为，函数f(x)＝(x－1)2的零点为x=1，f(x)＝ex－1的零点为，f(x)＝ln(x－0．5)的零点为，符合为，所以选A考点：零点的概念，零点存在性定理7、D【解析】∵由得，∴函数（且）的图像恒过定点，∵点在直线上，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴最大值为，故选D【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误8、D【解析】，,故选D.考点：点线面的位置关系.9、C【解析】根据已知条件逐个分析判断【详解】对于A，因为，所以A错误，对于B，因为，所以集合A不是集合B的子集，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以D错误，故选：C10、B【解析】周长为则，代入扇形弧长公式解得，代入扇形面积公式即可得解.【详解】由题意知，代入方程解得，所以故选：B【点睛】本题考查扇形的弧长、面积公式，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、（答案不唯一）【解析】由题意，只需找一个奇函数，0不在定义域中即可.【详解】由题意，为奇函数且，则满足题意故答案为：12、；【解析】作图可知:点睛：利用函数零点情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.13、【解析】根据一元二次不等式解集的性质，结合基本不等式、对钩函数的单调性进行求解即可.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以是方程的两个不相等的实根，因此有，因为，所以，当且仅当时取等号，即时取等号，，设，因为函数在上单调递增，所以当时，函数单调递增，所以，故答案为：14、【解析】令，转化条件为方程有解，运算可得【详解】令，则，化简得，所以，解得或（舍去），当时，，符合题意，所以得最小值为.故答案为：.15、【解析】利用已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得.因此，函数的定义域为.故答案：.16、【解析】根据余弦值及角的范围，应用同角的平方关系求.【详解】由，，则.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）的最大值为，最小值为.【解析】（1）根据求出，求得，再利用函数单调性的定义，即可证得结论；（2）根据在上的单调性，求在上的最值即可.【详解】解：（1）因为，可得，解得，所以，任取，则，因为，所以，可得，即且，所以，即，所以在上是增函数；（2）由（1）知，在上是增函数，同理，任取时，，其中，故，即且，故，即，所以在上是减函数，故在上是减函数，在上是增函数，又，，所以的最大值为，最小值为.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性方法：（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值——作差——变形——定号——下结论.18、（1）（2）【解析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由，可得，结合三角函数的图象与性质，即可求解；【小问1详解】解：由题意，函数，令，解得，所以函数的对称中心为.【小问2详解】解：因为，可得，当时，即时，可得；当时，即时，可得，所以函数的值域为19、（1）；（2）大约冷却分钟，理由见解析.【解析】（1）根据求得冷却时间（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）的函数关系，结合对数运算求得.（2）根据（1）中的函数关系式列方程，由此求得冷却时间.【小问1详解】依题意，，，，，，.，依题意，则.若选：从98℃下降到90℃所用时间：1分58秒，即分，则若选：从98℃下降到85℃所用时间：3分24秒，即分，若选：从98℃下降到80℃所用时间：4分57秒，即分，所以.【小问2详解】结合（1）可知：，依题意，.所以大约冷却分钟.20、（1）（2）【解析】（1）由三角函数定义求出点坐标，用扇形面积减三角形面积可得弓形面积；（2）由三角函数定义写出点坐标，计算后用二倍角公式和诱导公式计算【详解】（1）由三角函数定义可知，点P的坐标为.所以面积为，扇形OPA的面积为.所以阴影部分的面积为.（2）由三角函数的定义，可