安徽省亳州市第二中学2026届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

安徽省亳州市第二中学2026届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在空间直角坐标系中，已知点M是点在坐标平面内的射影，则的坐标是（）A. B.C. D.2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生数为（）A.10 B.15C.20 D.303．设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．为调查参加考试的高二级1200名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A.1200名学生是总体 B.每个学生是个体C.样本容量是100 D.抽取的100名学生是样本5．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.甲：该圆经过点.乙：该圆半径为.丙：该圆的圆心为.丁：该圆经过点，如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁6．若，则（）A.0 B.1C. D.27．已知是椭圆右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（）A. B.C. D.8．抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.9．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是A. B.C. D.10．已知命题:，命题:则是的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要11．在四面体中，设，若F为BC的中点，P为EF的中点，则＝（）A. B.C. D.12．在正方体中，分别是线段的中点，则点到直线的距离是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为曲线：上一点，，，则的最小值为______14．已知圆，若圆的过点的三条弦的长，，构成等差数列，则该数列的公差的最大值是______.15．若球的大圆的面积为，则该球的表面积为___________.16．曲线在点处的切线方程是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，是的中点，，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是菱形，E为的中点（1）证明：（2）已知，求二面角的余弦值19．（12分）已知函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围20．（12分）为了解某校今年高一年级女生的身体素质状况，从该校高一年级女生中抽取了一部分学生进行“掷铅球”的项目测试，成绩低于5米为不合格，成绩在5至7米（含5米不含7米）的为及格，成绩在7米至11米（含7米和11米，假定该校高一女生掷铅球均不超过11米）为优秀．把获得的所有数据，分成五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在9米到11米之间(1)求实数的值及参加“掷铅球”项目测试的人数；(2)若从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生自不同组的概率21．（12分）设函数，其中是自然对数的底数，.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：恒成立.22．（10分）已知函数，.（1）若在单调递增，求的取值范围；（2）若，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】点在平面内的射影是坐标不变，坐标为0的点.【详解】点在坐标平面内的射影为，故点M的坐标是故选：C2、C【解析】根据抽取比例乘以即可求解.【详解】由题意可得应从高三年级抽取的学生数为，故选：C.3、B【解析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由得或，由得，因为或推不出，但能推出或成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B4、C【解析】根据总体、个体、样本容量、样本的定义，结合题意，即可判断和选择.【详解】根据题意，总体是名学生的成绩；个体是每个学生的成绩；样本容量是，样本是抽取的100名学生的成绩；故正确的是C.故选：C.5、D【解析】分别假设甲、乙、丙、丁是错误的，看能否推出矛盾，进而推导出答案.【详解】假设甲的结论错误，根据丙和丁的结论，该圆的半径为6，与乙的结论矛盾；假设乙的结论错误，圆心到点的距离与圆心到点的距离不相等，不成立；假设丙的结论错误﹐点到点的距离大于，不成立；假设丁的结论错误，圆心到点的距离等于，成立.故选：D6、D【解析】由复数的乘方运算求，再求模即可.【详解】由题设，，故2.故选：D7、A【解析】结合椭圆的定义、勾股定理列方程，化简求得，由此求得离心率.【详解】圆的圆心为，半径为.设左焦点为，连接，由于，所以，所以，所以，由于，所以，所以，，.故选：A8、C【解析】先把抛物线方程化为标准方程，求出即可求解【详解】由，有，可得，抛物线的焦点坐标为故选：C9、C【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角∴当最小时，最小，则当和抛物线相切时，最小设切点，由的导数为，则的斜率为.∴，则.∴，∴故选C点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.10、B【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：若，则或，即或，所以是的必要不充分条件故选：B11、A【解析】作出图示，根据空间向量的加法运算法则，即可得答案.【详解】如图示：连接OF,因为P为EF中点，，F为BC的中点，则，故选：A12、A【解析】以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后，列出计算公式进行求解即可【详解】如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.因为，所以，所以，则点到直线的距离故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】曲线是抛物线的右半部分，是抛物线的焦点，作出抛物线的准线，把转化为到准线的距离，则到准线的距离为所求距离和的最小值【详解】易知曲线是抛物线的右半部分，如图，因为抛物线的准线方程为，是抛物线的焦点，所以等于到直线的距离．过作该直线的垂线，垂足为，则的最小值为故答案为：14、2【解析】根据题意，求得过点的直线截圆所得弦长的最大值和最小值，即可求得公差的最大值.【详解】圆的圆心，半径，设点为点，因为，故点在圆内，当直线过点，且经过圆心时，该直线截圆所得弦长取得最大值；当直线过点，且与直线垂直时，该直线截圆所得弦长取得最小值，此时，则满足题意的直线为，即，又，则该直线截圆所得弦长为；根据题意，要使得数列的公差最大，则，故最大公差.故答案为：.15、【解析】设球的半径为，则球的大圆的半径为，根据圆的面积公式列方程求出，再由球的表面积公式即可求解.【详解】设球的半径为，则球的大圆的半径为，所以球的大圆的面积为，可得，所以该球的表面积为.故答案为：.16、x-y-2=0【解析】解：因为曲线在点（1,－1）处的切线方程是由点斜式可知为x-y-2=0三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，分别求出向量和，证明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，则直线与平面所成角的正弦值即为.【小问1详解】证明：∵，，∴△≌△,∴,设，在△中，由余弦定理得，即，则,即，，连接交于点，分别以，为轴、轴，过作轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，的中点，则，，∵，∴.【小问2详解】由（1）可知，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，则，记直线与平面所成角为，.18、（1）详见解析（2）【解析】（1）利用垂直关系，转化为证明线面垂直，即可证明线线垂直；（2）利用垂直关系，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用公式，即可求解二面角的余弦值.【小问1详解】如图，取的中点，连结，，，因为，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，且平面，所以，又因为底面时菱形，所以，又因为点分别为的中点，所以，所以，且，所以平面,又因为平面，所以；【小问2详解】由（1）可知，平面，连结，因为，，点为的中点，所以，则两两垂直，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，所以,，，，，，所以,，，设平面的法向量为，则，令，则，，故，设平面的法向量为，所以，因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.19、（1）；（2）.【解析】（1）求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；（2）问题转化为，利用导函数求出的最大值，求出的范围即可.【小问1详解】因为，所以，则切线的斜率为，又因为，则切点为，所以曲线在点处的切线方程为，即【小问2详解】当时，令得，列表得x001↘极小值↗所以当时，的最大值为由题意知，故，解之得,所以实数的取值范围为.20、（1）0.05，40；（2）【解析】（1）因为由频率分布直方图可得共五组的频率和为1所以可得一个关于的等式，即可求出的值.再根据已知有4名学生的成绩在9米到11米之间，可以求出本次参加“掷铅球”项目测试的人数.本小题要根据所给的图表及直方图作答，频率的计算易漏乘以组距.（2）因为若此次测试成绩最好的共有4名同学.成绩最差的共有2名同学.所以从6名同学中抽取2名同学共有15中情况，其中两人在同组情况由8中.所以可以计算出所求的概率.试题解析：（Ⅰ）由题意可知解得所以此次测试总人数为答：此次参加“掷铅球”的项目测试的人数为40人(Ⅱ)设从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取2名学生自不同组的事件为A：由已知，测试成绩在有2人，记为；在有4人，记为.从这6人中随机抽取2人有，共15种情况事件A包括共8种情况.所以答：随机抽取的2名学生自不同组的概率为考点：1.频率分布直方图.2.概率问题.3.列举分类的思想.21、（1）（2）证明见解析【解析】（1）当时，，求出，可得答案；（2）设，，，，，设，求出利用单调性可得答案.【小问1详解】当时，，则，所以单调递增，又，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以.【小问2详解】设，若，则，若，则，设，则，所以单调递增，又，当时，，上单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，综上，恒成立.【点睛】本题考查了求函数值域或最值的问题，一般都需要通过导数研究函数的单调性、极值、最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，再利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法，考查了学生分析问题、解决问题的能力.22、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由函数在上单调递增，则在上恒成立，由求解.（2）由（1）的结论，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【详解】（1）因为函数在上单调递增，所以在上恒成