2026届青海省互助县第一中学高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2026届青海省互助县第一中学高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知实数，，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.2．已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则以的最小值为（）A B.C. D.3．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4．圆与圆的位置关系是()A.内切 B.相交C.外切 D.相离5．已知圆O的半径为5，，过点P的2021条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，则其公差为（）A. B.C. D.6．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则冬至当日日影长为（）A.12.5尺 B.13尺C.13.5尺 D.14尺7．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（）A.1 B.2C.-1 D.-28．经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）A. B.C. D.9．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（）A. B.C. D.10．抛物线y2=4x的焦点坐标是A.（0,2） B.（0,1）C.（2,0） D.（1,0）11．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A.0.48，0.48 B.0.5，0.5C.0.48，0.5 D.0.5，0.4812．已知动点满足，则动点的轨迹是（）A.椭圆 B.直线C.线段 D.圆二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在四面体中，BA，BC，BD两两垂直，，，则二面角的大小为______14．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按，，，分组，绘制成如图所示频率分布直方图.则________；这300辆汽车中车速低于限速60km/h的汽车有______辆.15．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，且，的面积为，则的标准方程为______16．如图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷1600个点,其中落入白色部分的有700个点,据此可估计黑色部分的面积为______________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）圆心在轴正半轴上、半径为2的圆与直线相交于两点且.（1）求圆的标准方程；（2）若直线，圆上仅有一个点到直线的距离为1，求直线的方程.18．（12分）椭圆的一个顶点为，离心率（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点．若满足，求直线的方程19．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且.（1）求C；（2）若D是BC的中点，，，求AB的长.20．（12分）已知函数（1）若在上单调递减，求实数a的取值范围（2）若是方程的两个不相等的实数根，证明：21．（12分）已知圆，直线的斜率为2，且过点（1）判断与的位置关系；（2）若圆，求圆与圆的公共弦长22．（10分）已知，2，4，6中的三个数为等差数列的前三项，且100不在数列中，102在数列中.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.【详解】当时，不等式不成立，错误；，故错误正确；当时，不等式不成立，错误；故选：.【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.2、A【解析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.【详解】圆关于轴对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3，易知，当三点共线时，取得最小值，的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即：.故选：A.注意:9至12题为多选题3、C【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案【详解】解：对于A：若，则或，故A错误；对于B：若，则或与相交，故B错误；对于C：若，根据面面垂直的判定定理可得，故C正确；对于D：若则与平行、相交、或异面，故D错误；故选：C4、B【解析】判断圆心距与两圆半径之和、之差关系即可判断两圆位置关系.【详解】由得圆心坐标为，半径，由得圆心坐标为，半径，∴，，∴，即两圆相交.故选：B.5、B【解析】可得过点P的最长弦长为直径，最短弦长为过点P的与垂直的弦，分别求出即可得出公差.【详解】可得过点P的最长弦长为直径，，最短弦长为过点P的与垂直的弦，，公差.故选：B.6、B【解析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，故所以冬至当日日影长为.故选：B7、D【解析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】四面体所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，则，因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，，所以.故选：D8、C【解析】共渐近线的双曲线方程，设，把点代入方程解得参数即可.【详解】设，把点代入方程解得参数，所以化简得方程故选：C.9、B【解析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解【详解】由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率：故选：B10、D【解析】的焦点坐标为，故选D.【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握11、C【解析】频率跟实验次数有关，概率是一种现象的固有属性，与实验次数无关，即可得到答案.【详解】频率跟实验次数有关，出现正面朝上的频率为实验中出现正面朝上的次数除以总试验次数，故为.概率是抛硬币试验的固有属性，与实验次数无关，抛硬币正面朝上的概率为.故选：C12、C【解析】根据两点之间的距离公式的几何意义即可判定出动点轨迹.【详解】由题意可知表示动点到点和点的距离之和等于，又因为点和点的距离等于，所以动点的轨迹为线段.故选：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】取的中点为，连接，由面面角的定义得出二面角的平面角为，再结合等腰直角三角形的性质得出二面角的大小.【详解】取的中点为，连接，因为，所以二面角的平面角为，因为，，所以为等腰直角三角形，即二面角的大小为.故答案为：14、①.②.【解析】根据个小矩形面积之和为1即可求出的值；根据频率分布直方图可以求出车速低于限速60km/h的频率，从而可求出汽车有多少辆【详解】由解得：这300辆汽车中车速低于限速60km/h的汽车有故答案为：；15、【解析】利用待定系数法列出关于的方程解出即可得结果.【详解】设的标准方程为，则解得所以的标准方程为故答案为：.16、9【解析】先根据点数求解概率,再结合几何概型求解黑色部分的面积【详解】由题设可估计落入黑色部分概率设黑色部分的面积为,由几何概型计算公式可得解得故答案为:9三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或.【解析】（1）根据圆的弦长公式进行求解即可；（2）根据平行线的性质，结合直线与圆的位置关系进行求解即可.小问1详解】因为圆的圆心在轴正半轴上、半径为2，所以设方程为：，圆心，设圆心到直线的距离为，因为，所以有，或舍去，所以圆的标准方程为；【小问2详解】由（1）可知：，圆的半径为，因为直线，所以设直线的方程为，因为圆上仅有一个点到直线的距离为1，所以直线与该圆相离，当两平行线间的距离为，于是有：，当时，圆心到直线的距离为：，符合题意；当时，圆心到直线的距离为：：，不符合题意，此时直线的方程为.当两平行线间的距离为，于是有：，当时，圆心到直线的距离为：，不符合题意；当时，圆心到直线的距离为：：，不符合题意，此时直线的方程为.故直线方程为或.18、（1）；（2）【解析】（1）首先由椭圆的一个顶点可以求出的值，再根据离心率可得到、的关系，联立即可求得的值，进而得到椭圆的方程；（2）先联立直线与椭圆，结合韦达定理得到线段的中点的坐标，再根据，即可求得的值，进而求得直线的方程【详解】（1）由一个顶点为，离心率，可得，，，解得，，即有椭圆方程为（2）由知点在线段的垂直平分线上，由，消去得，由，得方程的，即方程有两个不相等的实数根设、，线段的中点，则，所以，所以，即，因为，所以直线的斜率为，由，得，所以，解得：，即有直线的方程为19、（1）（2）【解析】（1）根据正弦定理化边为角，结合三角变换可求答案；（2）根据余弦定理先求，再用余弦定理求解.【小问1详解】∵，∴由正弦定理可得，∴，∴.∵，∴，即.∵，∴.【小问2详解】设，则，即，解得或（舍去），∴.∵，∴.20、（1）；（2）详见解析【解析】（1）首先求函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得实数的取值范围；（2）将方程的实数根代入方程，再变形得到，利用分析法，转化为证明，通过换元，构造函数，转化为利用导数证明，恒成立.【小问1详解】，，在上单调递减，在上恒成立，即，即在，设，，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以函数的最大值是，所以；【小问2详解】若是方程两个不相等的实数根，即又2个不同实数根，且，，得，即，所以，不妨设，则，要证明，只需证明，即证明，即证明，令，，令函数，所以，所以函数在上单调递减，当时，，所以，，所以，即，即得【点睛】本题考查利用导数的单调性求参数的取值范围，以及证明不等式，属于难题，导数中的双变量问题，往往采用分析法，转化为函数与不等式的关系，通过构造函数，结合函数的导数，即可证明.21、（1）与相切；（2）【解析】（1）求出圆C的圆心坐标，半径和直线l的方程，根据圆心到直线的距离即可判断直线与圆的位置关系；（2）圆与圆的方程相减，可求出公共弦所在的直线方程，然后根据圆M的圆心到公共弦所在直线的距离及圆M的半径即可求出公共弦长.【小问1详解】由圆，可得，所以圆心为，半径，直线的方程为，即因为圆心到的距离为，所以