江西省南昌市第八中学2026届数学高一上期末学业水平测试试题含解析

江西省南昌市第八中学2026届数学高一上期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．不论为何实数，直线恒过定点（）A. B.C. D.2．高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为：设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数例如：,,已知函数,则函数的值域为（）A. B.C.1, D.1,2,3．已知方程的两根为与，则（）A.1 B.2C.4 D.64．若，则错误的是A. B.C. D.5．角的终边经过点，则的值为（）A. B.C. D.6．函数的最小正周期是A. B.C. D.7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程(为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）A. B.C. D.8．如图，在正四棱柱中底面是正方形的直棱柱，侧棱，，则二面角的大小为（）A.30° B.45°C.60° D.90°9．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据:，)（）A.米 B.米C.米 D.米10．函数f（x）=lnx+3x-7的零点所在的区间是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，则的值为______12．把函数的图像向右平移后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，所得函数解析式是______13．函数的零点是___________.14．若函数，则函数的值域为___________.15．函数的零点个数为_________.16．函数是幂函数，且当时，是减函数，则实数=_______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知一次函数是上的增函数，，且.（1）求的解析式；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.18．，，且，，且为偶函数（1）求；（2）求满足，的的集合19．计算下列各式的值：（1）；（2）.20．（1）从区间内任意选取一个实数，求事件“”发生的概率；（2）从区间内任意选取一个整数，求事件“”发生的概率.21．已知是定义在上的偶函数，且时，（1）求函数的表达式；（2）判断并证明函数在区间上的单调性

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】将直线方程变形为,即可求得过定点坐标.【详解】根据题意,将直线方程变形为因为位任意实数,则,解得所以直线过的定点坐标为故选:C【点睛】本题考查了直线过定点的求法,属于基础题.2、C【解析】由分式函数值域的求法得：,又,所以,由高斯函数定义的理解得：函数的值域为,得解【详解】解：因为,所以,又,所以,由高斯函数的定义可得：函数的值域为,故选C【点睛】本题考查了分式函数值域的求法及对新定义的理解,属中档题3、D【解析】由一元二次方程的根与系数的关系得出两根的和与积，再凑配求解【详解】显然方程有两个实数解，由题意，，所以故选：D4、D【解析】对于，由，则，故正确；对于，，故正确；对于，，故正确；对于，，故错误故选D5、D【解析】根据三角函数定义求解即可.【详解】因为角的终边经过点，所以，，所以.故选：D6、D【解析】分析：直接利用周期公式求解即可.详解：∵，，∴．故选D点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于简单题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.7、B【解析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况,即直线的斜率变化即可.【详解】解：对于乌龟，其运动过程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，一直以匀速前进，其路程不断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快；但是最终是乌龟到达终点用的时间短.故选：B【点睛】本题考查利用函数图象对实际问题进行刻画，是基础题.8、C【解析】连接AC，BD，交点为O，连接，则即为二面角的平面角，再求解即可.【详解】解：连接AC，BD，交点为O，连接，∵，，，∴平面，即即为二面角的平面角，∵四棱柱中底面是正方形的直棱柱，，，∴，则，∴.故选：C【点睛】本题考查了二面角的平面角的作法，重点考查了运算能力，属基础题.9、C【解析】先计算弓所在的扇形的弧长，算出其圆心角后可得双手之间的距离.【详解】弓形所在的扇形如图所示，则的长度为，故扇形的圆心角为，故.故选：C.10、C【解析】由函数的解析式求得f（2）f（3）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间【详解】∵函数f（x）=lnx+3x-7在其定义域上单调递增，∴f（2）=ln2+2×3-7=ln2-1＜0，f（3）=ln3+9-7=ln3+2＞0，∴f（2）f（3）＜0.根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间是（2，3），故选C【点睛】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、0【解析】由，得到∴sin∴2sin+4两边都除以，得：2tan故答案为012、【解析】利用三角函数图像变换规律直接求解【详解】解：把函数的图像向右平移后，得到，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，得到，故答案为：13、和【解析】令y=0，直接解出零点.【详解】令y=0，即，解得：和故答案为：和【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解14、【解析】求出函数的定义域，进而求出的范围，利用换元法即可求出函数的值域.【详解】由已知函数的定义域为又，定义域需满足，令，因为，所以，利用二次函数的性质知，函数的值域为故答案为：.15、3【解析】作出函数图象，根据函数零点与函数图象的关系，直接判断零点个数.【详解】作出函数图象，如下，由图象可知，函数有3个零点（3个零点分别为，0，2）.故答案为：316、-1【解析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数当x∈（0，+∞）时为减函数即可【详解】解：∵幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；又x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，∴当m=2时，m2+m﹣3=3，幂函数为y=x3，不满足题意；当m=﹣1时，m2+m﹣3=0，幂函数为y=x﹣3，满足题意；综上，m=﹣1，故答案为﹣1【点睛】本题考查了幂函数的定义与图像性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）利用待定系数法，设（）代入，得方程组，可求出，即求出函数解析式；（2）图象开口向上，故只需令位于对称轴右侧即即可.试题解析：（1）由题意设（），从而，所以，解得或（不合题意，舍去）所以的解析式为.（2），则函数的图象的对称轴为直线，由已知得在上单调递增，则，解得.18、（1）；（2）【解析】（1）首先利用向量数量积的坐标运算并且结合二倍角公式与两角和的正弦公式化简函数的解析式，可得：．由已知为偶函数知其图象关于y轴对称，可得：当x=0成立，从而可得，再根据θ的范围即可得到答案（2）由（１）可得：，再结合余弦函数的图象及性质可得：，进而结合x的取值范围得到结果试题解析：（1）由题意可得：所以函数解析式为：；因为为偶函数，所以有：即：又因为，所以（２）由（１）可得：，因为，所以由余弦函数的图象及性质得：，又因为，所以x的集合为考点：１．两角和与差的正余弦公式、二倍角公式；２．向量数量积的坐标运算；３．三角函数的性质19、（1）；（2）0.【解析】（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误；（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.【详解】（1）；（2）20、（1）；（2）.【解析】（1）由，得，即，故由几何概型概率公式，可得从区间内任意选取一个实数，求事件“”发生的概率；（2）由，得，整数有个，在区间的整数有个，由古典概型概率公式可知得，从区间内任意选取一个整数事件“”发生的概率.试题解析：（1）因为