2026届山西省吕梁市离石区高二上数学期末监测试题含解析

2026届山西省吕梁市离石区高二上数学期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（）A. B.C. D.2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线的左，右支于另一点，，若，且，则双曲线的离心率为（）A. B.3C.2 D.3．已知二次函数交轴于，两点，交轴于点.若圆过，，三点，则圆的方程是（）A. B.C. D.4．已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（）A B.C. D.5．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若且，则抛物线的方程为（）A.B.C.D.6．已知动点满足，则动点的轨迹是（）A.椭圆 B.直线C.线段 D.圆7．若离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，…，n，且取每一个值的概率相同，若，则n的值为（）A.4 B.6C.9 D.108．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME—7）的会徽图案，其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知，，，，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令，为数列的前项和，则（）A.8 B.9C.10 D.119．已知不等式解集为，下列结论正确的是（）A. B.C D.10．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）A. B.C. D.11．已知等比数列的前项和为，则关于的方程的解的个数为（）A.0 B.1C.无数个 D.0或无数个12．已知直线，，若，则实数（）A. B.C.1 D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，某湖有一半径为的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且，．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________14．已知直线被圆截得的弦长等于该圆的半径，则实数_____.15．设，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为M，则点M到直线的距离的最小值是___16．圆的圆心坐标为___________；半径为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）18．（12分）已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，证明19．（12分）已知抛物线的焦点为，点在第一象限且为抛物线上一点，点在点右侧，且△恰为等边三角形（1）求抛物线的方程；（2）若直线与交于两点，向量的夹角为（其中为坐标原点），求实数的取值范围.20．（12分）已知圆的半径为，圆心在直线上，点在圆上.（1）求圆的标准方程；（2）若原点在圆内，求过点且与圆相切的直线方程.21．（12分）已知直线恒过抛物线的焦点F（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于A，B两点，且，求直线的方程22．（10分）求证：（1）是上的偶函数；（2）是上的奇函数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题设分析知的轨迹为(不与重合)，要求的取值范围，只需求出到圆上点的距离范围即可.【详解】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)，所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围，又圆心到的距离，圆的半径为2，所以的取值范围为，即.故选：C2、D【解析】由双曲线的定义可设，，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由离心率公式可得所求值【详解】由双曲线的定义可得，由，可得，，结合双曲线性质可以得到，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故，对三角形，用余弦定理，得到，结合，可得，，，代入上式子中，得到，即，结合离心率满足，即可得出，故选：D【点睛】本题考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.3、C【解析】由已知求得点A、B、C的坐标，则有AB的垂直平分线必过圆心，所以设圆的圆心为，由，可求得圆M的半径和圆心，由此求得圆的方程.【详解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，因为圆过，，三点，所以AB的垂直平分线必过圆心，所以设圆的圆心为，所以，即，解得，所以圆心，半径，所以圆的方程是，即，故选：C4、B【解析】根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，再结合焦距为2和，求得，即可得解.【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，即，又因焦距为2，即，即，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为.故选：B.5、D【解析】如图根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，设，则由已知得：，由定义得：，故在直角三角形中，，，，从而得，，求得，所以抛物线的方程为故选：D6、C【解析】根据两点之间的距离公式的几何意义即可判定出动点轨迹.【详解】由题意可知表示动点到点和点的距离之和等于，又因为点和点的距离等于，所以动点的轨迹为线段.故选：7、D【解析】根据分布列即可求出【详解】因为，所以故选：D8、B【解析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，可得解.【详解】由，可得，，，，所以，，所以前项和，所以，故选：B.9、C【解析】根据不等式解集为，得方程解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.【详解】解：因为不等式解集为，所以方程的解为或，且，所以，所以，所以，故ABD错误；，故C正确.故选：C.10、C【解析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.【详解】连接与，因为，则为所求，又是正三角形，.故选：C.11、D【解析】利用等比数列的求和公式讨论公比的取值即得.【详解】设等比数列的公比为，当时，，因为，所以无解，即方程的解的个数为0，当时，，所以时，方程有无数个偶数解，当时，方程无解，综上，关于的方程的解的个数为0或无数个.故选：D.12、D【解析】根据两条直线的斜率相等可得结果.【详解】因为直线，，且，所以，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意，根据余弦定理得的值，则四边形的面积表示为，再代入面积公式化简为三角函数，根据三角函数的性质求解最大值即可.【详解】在中，，，，，，则（其中），当时，取最大值，所以“直接监测覆盖区域”面积的最大值.故答案为：.【点睛】解答本题的关键是将四边形的面积表示为，代入面积公式后化简得三角函数的解析式，再根据三角函数的性质求解最大值.14、2或－4【解析】求出圆心到直线的距离，由几何法表示出弦长，列出等量关系，即可求出结果.【详解】由得，所以圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，则由题可得，即，解得或.故答案为：2或.15、1【解析】构造全等三角形，结合双曲线定义，求得点的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系，即可求得点到直线距离的最小值.【详解】延长交的延长线于点，如下所示：因为平分，且，故△△，则，又，则，又在△中，分别为的中点，故可得；设点的坐标为，则，即点在圆心为，半径的圆上，圆心到直线的距离，故点到直线距离的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的定义，以及直线与圆的位置关系，解决问题的关键在于通过几何关系求得点的轨迹方程，属中档题.16、①.②.【解析】配方后可得圆心坐标和半径【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是，圆心坐标为，半径为故答案为：；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用分式不等式的解法求解.【小问1详解】解：因为，所以，解得，所以不等式的解集是；【小问2详解】因为，所以，所以，即，解得，所以不等式的解集是.18、（1）单调递减，在单调递增；（2）见解析.【解析】(1)求f(x)导数，讨论导数的正负即可求其单调性；(2)由于，则，只需证明，构造函数，证明其最小值大于0即可.【小问1详解】时，，当时，，∴，当时，，∴，∴在单调递减，在单调递增；【小问2详解】由于，∴，∴只需证明，令，则，∴在上为增函数，而，∴在上有唯一零点，且，当时，，g(x)单调递减，当时，，g(x)单调递增，∴的最小值为，由，得，则，∴，当且仅当时取等号，而，∴，∴，即，∴当时，.【点睛】本题考察了利用导数研究函数的单调性，也考察了利用导数研究函数的最值，解题过程中设计到隐零点的问题，需要掌握隐零点处理问题的常见思路和方法.19、（1）（2）【解析】（1）根据△恰为等边三角形由题意知：得到，再利用抛物线的定义求解；（2）联立，结合韦达定理，根据的夹角为，由求解.【小问1详解】解：由题意知：，由抛物线的定义知：，由，解得，所以抛物线方程为；【小问2详解】设，由，得，则，，则，，因为向量的夹角为，所以，，则，且，所以，解得，所以实数的取值范围.20、（1）或（2）或【解析】（1）先设出圆的标准方程，利用点在圆上和圆心在直线上得到圆心坐标的方程组，进而求出圆的标准方程；（2）先利用原点在圆内求出圆的方程，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径进行求解.【小问1详解】解：设圆的标准方程为，由已知得，解得或，故圆的方程为或.【小问2详解】解：因为，，且原点在圆内，故圆的方程为，则圆心为，半径为，设切线为，即，则，解得或，故切线为或，即或即为所求.21、（1）（2）或【解析】（1）把直线化为，得到抛物线的焦点为，求得，即可求得抛物线