福建省泉州市泉港六中2026届数学高二上期末达标检测试题含解析

福建省泉州市泉港六中2026届数学高二上期末达标检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过双曲线的左焦点作x轴的垂线交曲线C于点P，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.2．椭圆C：的焦点为，，点P在椭圆上，若，则的面积为（）A.48 B.40C.28 D.243．直线是双曲线的一条渐近线，，分别是双曲线左、右焦点，P是双曲线上一点，且，则（）A.2 B.6C.8 D.104．平行六面体的各棱长均相等，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.5．已知等比数列，且，则（）A.16 B.32C.24 D.646．【山东省潍坊市二模】已知双曲线的离心率为，其左焦点为，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.7．已知圆过点，，且圆心在轴上，则圆的方程是（）A. B.C. D.8．设异面直线、的方向向量分别为，，则异面直线与所成角的大小为（）A. B.C. D.9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是A.3 B.4C.5 D.610．点在圆上，点在直线上，则的最小值是（）A. B.C. D.11．已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线的左，右支于另一点，，若，且，则双曲线的离心率为（）A. B.3C.2 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，，，，若，则_________14．设圆，圆，则圆有公切线___________条.15．已知曲线在点处的切线方程是，则的值为______16．已知点在圆上，点在圆上，则的最小值是__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数在与处都取得极值.（1）求a，b的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数c的取值范围.18．（12分）自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏.在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近天内每日接待的顾客人数，将前天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图.组别分组频数频率第组第组第组第组第组合计（1）求、、的值，并估计该快餐店在前天内每日接待的顾客人数的平均数；（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为，在后天内每日接待的顾客人数的平均数为、方差为，估计这家快餐店这天内每日接待的顾客人数的平均数和方差.（）19．（12分）已知数列的前项和为，并且满足（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：20．（12分）某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲、乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么（1）甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？（2）甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.21．（12分）在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）求直线到平面的距离.22．（10分）已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且轴，，为垂足，为坐标原点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点的直线（斜率不为）与椭圆交于两点，为轴正半轴上一点，且，求点的坐标

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题知是等腰直角三角形，，又根据通径的结论知，结合可列出关于的二次齐次式，即可求解离心率.【详解】由题知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故选：D.2、D【解析】根据给定条件结合椭圆定义求出，再判断形状计算作答.【详解】椭圆C：的半焦距，长半轴长，由椭圆定义得，而，且，则有是直角三角形，，所以的面积为24.故选：D3、C【解析】根据渐近线可求出a，再由双曲线定义可求解.【详解】因为直线是双曲线的一条渐近线，所以，，又或，或（舍去），故选：C4、B【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根据向量夹角公式求出【详解】如图所示：不妨设棱长为1，，，所以＝＝，，，即，故异面直线与所成角的余弦值为故选：B注意事项：1.将答案写在答题卡上2.本卷共10小题，共80分.5、A【解析】由等比数列的定义先求出公比，然后可解..【详解】，得故选：A6、D【解析】分析：根据题设条件，列出方程，求出，，的值，即可求得双曲线得标准方程详解：∵双曲线的离心率为，其左焦点为∴，∴∵∴∴双曲线的标准方程为故选D.点睛：本题考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，根据题设条件求出，，的值是解决本题的关键.7、B【解析】根据圆心在轴上，设出圆的方程，把点，的坐标代入圆的方程即可求出答案.【详解】因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，因为点，在圆上，所以，解得，所以圆的方程是.故选：B.8、C【解析】利用空间向量夹角的公式直接求解.【详解】，，，.由异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成的角为.故选：C9、B【解析】循环体第一次运行后；第二次运行后；第三次运行后，第四次运行后；循环结束，输出值为4，答案选B考点：程序框图的功能10、B【解析】根据题意可知圆心，又由于线外一点到已知直线的垂线段最短，结合点到直线的距离公式，即可求出结果.【详解】由题意可知，圆心，所以圆心到的距离为，所以的最小值为.故选：B.11、C【解析】由是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，再根据对应集合的包含关系可得答案.【详解】由，即，设,由是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件所以，则故选：C12、D【解析】由双曲线的定义可设，，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由离心率公式可得所求值【详解】由双曲线的定义可得，由，可得，，结合双曲线性质可以得到，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故，对三角形，用余弦定理，得到，结合，可得，，，代入上式子中，得到，即，结合离心率满足，即可得出，故选：D【点睛】本题考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.【详解】设,如下图所示，建立空间直角坐标系，，，，，，则所以又因为所以故答案为：14、2【解析】将圆转化成标准式，结合圆心距判断两圆位置关系，进而求解.【详解】由题意得，圆：，圆：，∴，∴与相交，有2条公切线.故答案为：215、11【解析】根据给定条件结合导数的几何意义直接计算作答.【详解】因曲线在点处的切线方程是，则，，所以.故答案为：1116、3－5【解析】因为点在圆上，点在圆上，故两圆的圆心分别为半径分别为和两圆的圆心距为，故两圆相离，则最小值为，故答案为.考点：1、圆的方程及圆的几何性质；2、两点间的距离公式及最值问题.【方法点晴】本题主要考查圆的方程及几何性质、两点间的距离公式及最值问题的应用，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是利用圆的几何性质，将的最小值转化两圆心的距离减半径解答的.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）.【解析】(1)极值点处导数值为零，据此即可求出a和b；(2)利用导数求出f(x)在时的最大值即可.【小问1详解】由题设，，又，，解得，.【小问2详解】由（1）得，即，当时，，随的变化情况如下表：1+0-0+递增极大值递减极小值递增∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴当时，为极大值，又，显然f（-）＜f(2)所以为在上的最大值.要使对任意恒成立，则只需，解得或c>1.∴实数c的取值范围为.18、（1），，，平均数为；（2）平均数为，方差为.【解析】（1）计算出第组的频数，可求得的值，利用频数、频率和总数的关系可求出的值，求出第组的频率，除以组距可得的值，利用平均数公式可求得该快餐店在前天内每日接待的顾客人数的平均数；（2）设前天接待的顾客人数分别为、、、，后天接待的顾客人数分别为、、、，利用平均数公式和方差公式可求得结果.【小问1详解】解：由表可知第组的频数为，所以，，，第组的频率为，，前天内每日接待的顾客人数的平均数为：.【小问2详解】解：设前天接待的顾客人数分别为、、、，后天接待的顾客人数分别为、、、，则由（1）知前天的平均数，方差，后天的平均数，方差，故这天的平均数为，，同理，这天的方差，由以上三式可得.19、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）利用和项可求得的通项公式，注意别漏了说明；（2）先用错位相减法求出数列的前项和，从而可知【详解】（1）,①当时，，②由①—②可得：,且数列是首项为1，公差为2的等差数列，即（2）由（1）知数列，,则,①∴,②由①﹣②得,∴,.【点睛】本题主要考查给出的一个关系式求数列的通项公式以及用错位相减法求数列的前n项和.20、（1）甲获得录取的可能性大；（2）【解析】（1）利用独立事件的乘法公式求出甲、乙两人被录取的概率并比较大小，即得结果.（2）应用对立事件、独立事件的概率求法，结合互斥事件的加法公式求恰有一人获得录取的概率.【小问1详解】记“甲通过笔试”为事件，“甲通过面试”为事件，“甲获得录取”为事件A，“乙通过笔试”为事件，“乙通过面试”为事件，“乙获得录取”为事件B，则，，即，所以甲获得录取的可能性大.【小问2详解】记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C，则.21、（1）；（2）.【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）证明出平面，利用空间向量法可求得直线到平面的距离.【小问1详解】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、，设平面的法向量为，，，由，取，可得，易知平面的一个法向量为，，因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【小问2详