湖南省长郡中学、雅礼中学等四校2026届高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

湖南省长郡中学、雅礼中学等四校2026届高一数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知是上的偶函数，在上单调递增，且，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.2．已知幂函数的图象过点(4，2)，则（）A.2 B.4C.2或-2 D.4或-43．设全集，集合，则（）A. B.C. D.4．已知点在第三象限，则角的终边位置在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5．在中，，BC边上的高等于,则（）A. B.C. D.6．若，，则的值为（）A. B.C. D.7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象A.向右平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向左平移个单位8．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（）A. B.C. D.29．已知命题p：“”，则为（）A. B.C. D.10．在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若在内无零点，则的取值范围为___________.12．已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是______.13．已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于__________14．函数的定义域为_______________15．已知函数，若函数的最小值与函数的最小值相等，则实数的取值范围是__________16．已知集合，则______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数是奇函数，且.（1）求函数的解析式，并判定函数在区间上的单调性（无需证明）；（2）已知函数且，已知在的最大值为2，求的值.18．已知,.（Ⅰ）求证：函数在上是增函数；（Ⅱ）若,求实数的取值范围.19．设全集，集合（1）求；（2）若集合满足，求实数的取值范围.20．如图1所示，在中，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使如图2所示.（1）求证：//平面；（2）求证：；（3）线段上是否存在点，使平面？请说明理由.21．已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点为.(1)当切线的长度为时，求线段PM长度.(2)若的外接圆为圆，试问：当在直线上运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；(3)求线段长度的最小值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】根据函数的奇偶性和函数的单调性判断函数值的大小即可.【详解】因为是上的偶函数，在上单调递增，所以在上单调递减，.又因为，因为，在上单调递减,所以，即.故选：B.2、B【解析】设幂函数代入已知点可得选项.【详解】设幂函数又函数过点(4，2)，，故选：B.3、A【解析】根据补集定义计算【详解】因为集合，又因为全集，所以，.故选：A.【点睛】本题考查补集运算，属于简单题4、B【解析】由所在的象限有，即可判断所在的象限.【详解】因为点在第三象限，所以，由，可得角的终边在第二、四象限，由，可得角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，所以角终边位置在第二象限，故选：B.5、C【解析】设,故选C.考点：解三角形.6、D【解析】根据诱导公式即可直接求值.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以.故选：D.7、D【解析】因为，所以将函数的图象向左平移个单位，选D.考点：三角函数图像变换【易错点睛】对y＝Asin（ωx＋φ）进行图象变换时应注意以下两点：（1）平移变换时，x变为x±a（a＞0），变换后的函数解析式为y＝Asin[ω（x±a）＋φ]；（2）伸缩变换时，x变为（横坐标变为原来的k倍），变换后的函数解析式为y＝Asin（x＋φ）8、B【解析】由三视图可知此几何体是由一个长为2，宽为，高为的长方体过三个顶点切去一角的空间多面体，如图所示，则其体积为.故正确答案选B.考点：1.三视图；2.简单组合体体积.9、C【解析】根据命题的否定的定义判断【详解】特称命题的否定是全称命题命题p：“”，的否定为：故选：C10、D【解析】作出几何体的直观图观察即可.【详解】解：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有，共有5条，故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】求出函数的零点，根据函数在内无零点，列出满足条件的不等式，从而求的取值范围.【详解】因为函数在内无零点，所以，所以；由，得，所以或，由，得；由，得；由，得，因为函数在内无零点，所以或或，又因为，所以取值范围为.故答案为：.12、2【解析】由扇形的周长和面积，可求出扇形的半径及弧长，进而可求出该扇形的圆心角.【详解】设扇形的半径为，所对弧长为，则有，解得，故.故答案为：2.【点睛】本题考查扇形面积公式、弧长公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.13、4π【解析】设点的坐标为（则，即（以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于4π.即答案为4π14、【解析】由题可知，解不等式即可得出原函数的定义域.【详解】对于函数，有，即，解得，因此，函数的定义域为.故答案为：.15、【解析】由二次函数的知识得，当时有．令，则，．结合二次函数可得要满足题意，只需，解不等式可得所求范围【详解】由已知可得，所以当时，取得最小值，且令，则，要使函数的最小值与函数的最小值相等，只需满足，解得或.所以实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查二次函数最值的问题，求解此类问题时要结合二次函数图象，即抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系进行求解，同时注意数形结合在解题中的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题16、【解析】∵∴，故答案为三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；函数在区间上单调递减，在上单调递增（2）或【解析】（1）根据奇函数的性质及，即可得到方程组，求出、的值，即可得到函数解析式，再根据对勾函数的性质判断即可；（2）分和两种情况讨论，结合对数型复合函数的单调性计算可得；【小问1详解】解：函数的定义域为，是奇函数，且，且又.经检验，满足题意，故.当时，时等号成立，当时，单调递减；当时，单调递增.【小问2详解】解：①当时，是减函数，故当取得最小值时，且取得最大值2，而在区间上单调递增，所以在区间上最小值为，故的最大值是，所以.②当时，是增函数，故当取得最大值时，且取得最大值2，而在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为，故的最大值是，所以.综上所述，或.18、（Ⅰ）答案见详解;（Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)利用定义法证明函数单调性;(Ⅱ)判断函数奇偶性,并结合的单调性将不等式转化为不等式组,求出实数的取值范围.【详解】(Ⅰ)任取,则,,即,所以函数在上是增函数;(Ⅱ)因为函数定义域为,关于原点对称,又,所以函数为奇函数,又,即,即,由(Ⅰ)知函数在上是增函数,所以,即,故实数的取值范围为.【点睛】(1)大题中一般采用定义法证明函数单调性;(2)利用单调性解不等式问题,一般需要注意三个方面:①注意函数定义域范围限制;②确定函数的单调性;③部分需要结合奇偶性转化.19、（1）或（2）【解析】（1）化简集合，利用交集的定义求解，再利用补集的定义求解；（2）化简集合，由，得，列不等式求解.【小问1详解】化简，，所以或.【小问2详解】，因为，所以，所以，所以实数的取值范围为20、（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）∵DE∥BC，由线面平行的判定定理得出（2）可以先证，得出，∵∴∴(3)Q为的中点，由上问，易知,取中点P，连接DP和QP，不难证出，∴∴,又∵∴21、（1）8（2）（3）【解析】（1）根据圆中切线长的性质得到；（2）设，经过A,P,M三点的圆N以MP为直径，圆N的方程为化简求值即可；（3）（Ⅲ）求出点M到直线AB的距离，利用勾股定理，即可求线段AB长度的最小值.解析：（1）由题意知，圆M的半径r=4，圆心M(0，6)，设PA是圆的一条切线，(2)设，经过A,P,M三点的圆N以MP为直径，圆心，半径为得圆N的方程为即，有由，解得或圆过定点(3)圆N的方程，即①圆即②②-①得：