第2章 对称图形圆（知识清单）-苏科版九年级数学上册

第2章对称图形——圆

思维导图

1•点和圆的位置关系

2,垂径定理及推论

垂直卜弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

3.外心与内心

外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距

离相等.

锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。

内心：内切圆的圆心是三角形三条角三分线的交点,叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。

4.圆周角定理及推论

圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半.

推论I：同弧或等弧所对的圆周角相箜；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧脸.

推论2：直径所对的圆周角是直隹;90。圆周角所对的弦是直径.

推论3：圆的内接四边形的对角互处，并且任何一个外角都等于它的内对先.

5.直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为d,圆的半径为力

6.切线性质定理和判定定理

切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线的判定方法：（1）直线与交点个数；（2）直线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定理.

7.弧长公式与扇形面积公式

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正〃变形的圆心角为/度.

易错总结

易错点19()度的圆周角所对的弦是直径

1.易错点总结:忽略前提条件：需明确该圆周角必须在同一个圆中，若在等圆或同心圆中，需保证弦对应的

圆半径一致，否则结论不成立。混淆“所对”关系：误将“90度圆周角所对的弦”等同于“弦所对的圆周

角为90度”，忽略一条弦可对两个圆周角(互补)，仅直径所对圆周角必为90度。

2.注意事项：应用定理时先确认图形是否满足“同网或等恻“条件，避免跨网错误。推理时紧扣“圆周角与

弦的对应唯一性”，明确直径是90度圆周角的唯一对应弦。

【答案】2

【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点尸位置，学会求

圆外•点到圆的最小、最大距离.首先证明点?在以BC为直径的。0I-.,连接。4与。0交于点P,此时以

最小，利用勾股定理求出3即可解决问题.

・••点户在以8c为直径的0。上，连接OA交「点。，此时“最小,

故答案为：2.

B

易错点2直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系

1.易错点总结:公式记忆混淆：误将面积S二%（”+〃+》,记为S=m+Hc）r,忽略系数%,导致计算错误。直角边

斜边混淆：用两条直角边之和代替周长，忽略斜边，尤其在仅知直角边时易漏算。

2.注意事项:牢记公式推导：由面积等于三个内三角形面积和，推导得L2S/C（C为周长），避免死记硬背。

明确边长构成：直角三角形周长含两条直角边和斜边，计算时需先确认斜边长度，再代入公式。

（1）求。。的半径.

【答案】（1）1

易错点3求某点的弧形运动路径长度

1.易错点总结:半径判断错误：误将运动点到旋转中心的距离算错，如混淆线段长度与半径，或忽略旋转过

程中半径的变化。圆心角单位混淆：计算时未将角度单位统一，直接用角度代入弧度公式，或弧度与角度

换算错误，导致弧长偏差。

2.注意事项:确定旋转中心和半径：明确运动点绕哪•点旋转，准确测量该点到中心的距离作为半径。统•

圆心角单位：弧长公式中圆心角需用弧度，若已知角度，先按万/180换算，再代入公式/=%•计算。

BB'C

【分析】由于AC旋转到AC,故C的运动路径长是CC的圆弧长度，根据弧长公式求解即可.

【详解】以A为圆心作圆弧CC,如图所示.

BB'C

【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键

是明确。点的运动轨迹.

易错点4求其他不规则图形的面积

1.易错点总结：扇形与三角形混淆：计算弓形面积时，误将扇形面积直接当作弓形面积，忽略减去三角形面

积：或混淆圆心角与圆周角对应的图形。重叠区域漏算/多算：多个圆相交时，求阴影面积易漏减重叠部分，

或对“不规则”边界判断不清，重复计算公共区域。

2.注意事项：分解为规则图形：将不规则图形拆分为扇形、三角形、圆等，明确各部分关系（和或差），标注

圆心、半径和角度。验证边界与角度：确认图形是否由同圆或等圆构成，核对圆心角大小，必要时通过几

何性质（如切线、直径）辅助计算。

D

【详解】如图，连接C〃，DF,

【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正多边形的性质，正确理解图形面积的计算方

法连接辅助线是解题的关键.

易错训练

一、单选题

【答案】C

【分析】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键.

根据弧长计算公式，计算即可.

故选：C.

【答案】D

【详解】解：如图，BD与。0交于点E,连接OE、0C,

•・・p。与。。相切于点c,

故选:D.

・•*,B,C,。四点共圆，4c为直径，取AC的中点即圆心。

的长度最小值为75.

故选：B

二、填空题

BCB'C'

【分析】本题主要考查了图形的旋转、不规则图形的面积计算、勾股定理等知识点，发现阴影部分面积的

计算方法是解题的关键.

【详解】解：•・•/,G分别是DE,OC的中点，

连接CE,

；.B、E、A三点共圆，圆心为A8的中点〃，

当H、E、C三点共线时，CE的值最小，即尸G的值最小,

【点睛】本题考查正方形性质，勾股定理，圆周角定理，三角形中位线定理，解题的关键在于找到最小值

情况.

・•・点D的运动轨迹是以为直径的，且。0的半径为3,

如图所示，连接A0,并延长交G。于点E，F,

・•・当点。与点石重合时，4。有最小值1,当点。与点尸重合时，4。有最大值7,

故答案为：1,7.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键.

三、解答题

(2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？

【答案】（1）120

【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式.

（2）利用弧长公式求解即可.

・・•点A、B、C在同一直线上,

（1）求证：AC是0。的切线；

【答案】（1）见解析

【详解】（1）证明：连接。4,

【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，扇形面积，勾股定

理等知识，解题的关键是掌握以上知识点.

（1）求证：是0。的切线；

【答案】（1）证明见解析

【详解】（1）证明：•••AB是0。直径，

㈤是0。的切线；

【点睛】本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、等

边三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、扇形面积公式等知识.熟练掌握相关几何判定与性质是

解决问题的