第三章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试-提升卷）-北师大版高中数学高二选择性必修第一册（解析版）

第三章空间向量与立体几何（高效培优单元测试•提升卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第一部分（选择题共58分）

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知宜线/的方向向量是。=（-2,2,2）,平面。的一个法向量是〃则/与。的位置关系是

（）

A.IlaB.Illa

C./与a相交但不垂直D.〃/a或/u。

【答案】A

【解析】。=（一2,2,2）,/2=（1-1,-1），

月f以a=-In,

所以/_La,

故选：A

2.已知。=（2,—1,2）,/7=（-1,4,-3）,c=（4,5,2）,如〃、b、c三个向量不能构成空间直角坐标系上的一

组基底，则实数无为（）

A.0B.9C.5D.3

【答案】A

【解析】由题意可知，。、。、c三个向量共面，则存在实数〃?、〃，使得c=ma+浦，

2m一〃=4in=3

即(4,5,2)=/〃(2,-1,2)+〃(-1,4,-3),所以一m+4〃=5,解得F=2.

2m-3〃=42=0

故选：A.

3.在四棱锥P—A3co中，AA=(4,—2,3),AQ=(-4,l,0),4P=(-3,l,-4),则这个四棱锥的高〃等于

()

A.26B.13C.2D.1

【答案】D

.[n-AB=4x-2y+3z=04

【解析】设平面A3CO的法向量八=(x,y,z),则｛一，令x=l,得〃

n-AD=-4x+y=03

|〃.Mlx(-3)+4xl+-x(-4)号

所以这个四棱锥的高h='」=——I:—=*=I.

同卜、令T

故选:D

4.在四面体ABC。中，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=y[2,则异面直线AB与C。所成角的余弦值

为()

A.eB.也

34

C,巫D.正

44

【答案】B

【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出A4.CO,根据异面直线夹角公式即可得到答案.

【解析】取月。的中点0,连接40,0C,由C4=C8=CQ=8D=2,AB=AD=yfi，得

A0工BD,C01BD,

且OC=VlAO=l,在0AOC中，AC^ACT+OC2,故A0_L0C，

又6Dc0C=。，BDOCu平面BCD,所以AO_L平面8C。,

以OB,OC,Q4所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

如图所示，fflA(O,O,1),B(1,O,O),C(O,V3,O),D(-1,O,O),

所以A8=(I,-1),CO=(-1,-6,0),

设异面直线AB与CD所成角为必则cos。==1-=g,

\AB\\CD\V2xVlT34

即异面直线AB与CO所成角的余弦值为正.

4

5.如图，直二面角二一/-〃的棱上有两个点A,B,线段与AC分别在这个二面角的两个面内，且3Q

垂直于/.若48=2,AC=3,30=4/08=60。，则线段C。的长度为（）

A."B.反C.275D.x/29

【答案】B

【分析】利用空间向量基本定理表示co,再结合空间向量数量积的运算性质求|co|即“I.

【解析】因为=BDu0、所以8OJ_a.

乂ACua,所以8OJLAC.

因为（?/=9，AB'=4^BD2=16»CA-AB=3x2xcosl20°=-3，AB-BD=CA-BD=O>

由CD=04+44+8。，

所以|CO「=（C4+44+3O-=C/+4/+5Q2+2C4A3+2A55Q+2CABQ=9+4+16—6+0+0=23・

所以CQ=JX.

故选：B

6.已知正方体ABC。-A4GA的棱长为2,点”为棱GA的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所

得截面面积为（）

n8兀4兀

A.-B.—C.兀D.——

993

【答案】B

【解析】球心。为正方体中心，半径R=l，以。为原点，DADC”（分别为XKZ轴建立空间直角坐标

系，如图，

A（2,0,0）,C（0,2,0）,M（0,1,2）,0（13,1）,

则AC=(-2,2,0),4M=(-2,1,2),4O=(-1,1J),

设平面ACM的个法向量为〃=y,z),

ACit=0f-2x+2y=0

=>\oC八，令x=2,则y=2,z=l,

AW・〃=0[-2x+y+2z=0

所以〃=(221),则。到平面AMC的距离为：八半？

\n\33

截面圆半径r2=/?2-J2=l-1=|,所以截面面积S=nr:=y,

故选:B.

7.在平行六面体ABC。-AqGA中，且/84A=ND4A=60。，AB±AD,若AC=3,则棱例的最大值

为()

A.&B.2x/2C.3D.3及

【答案】D

【分析】设|A8|=x,|Aq=y,|M|二z,利用空间向量基本定理有AC=AA+AB+AO,得

z2+x2+y2-xz-yz=9,转化为代数问题，利用基本不等式有(x+y1-2z(x+y)+2(z2-9)4。，令

，=x+y,即得产—2zr+2(z2—9)S。，转化为关于/的一元二次不等式即可求解.

【解析】设|48|二%|4)|=丫,|州|=2,则有AC=AA+A8+A。，

UUUUllUQ

由NB/M1=NDAA=60。，ABIAD,所以AEAO=0，Z.AA^B^=Z/LAjD,=120,

所以A。？=|/\,C|2+=人/2+人/+人。2+24人..48+244.人。+248人。

=IAAj+卜苗+网2+24叫cos1200+2AAM4cos120"

=z2+x2+y2-xz-yz=z2+(x+y)~-(x+y)z-2xy—9,

即(x+y)~-(x+yjz+z?-9=2个\

由4«2（号）、厘

当且仅当％=＞时，等号成立,

所以(x+J,)?-(x+y)z+z2-9=2xy＜。»

即（工+），）2-2z（x+），）+2（z?-9）W0,令'=x+y,

BP/2-2zf+2（z1-9）＜0,关于f的一元二次不等式要有解,

所以』=422-4、2卜2-9）20,解得22418,即zW3近,

所以Z的最大值为3a,当z=3及时，产-66+18工0，

即（/—3＞^丫＜0,所以，=x+y=30,即x=），=手时，等号成立，

故选：D.

8.如图，空间图形A3CDE是由四个全等的三角形拼接而成的，其中丛=EC,EB=ED，

AB=BC=CD=DA,经过点E的平面。满足AC〃a,BO〃a.若二是以4E为斜边的等腰直角三角

形，AC=BD,且45=1,则点4B到平面a的距离的平方之和为（）

A.2B.75C.76D.23

【答案】B

【解析】因为AC〃a,BD//a,所以在平面。内作点凡G使得后尸=C4,EG=。8,

取AC的中点用，连接AM,QM.

因为A8=8C,CD=AD,M为AC的中点，所以BM_LAC,DM上AC,

又因为4Mu平面也加，OMu平面用"/,OM=M,所以ACJ_平面双W.

又因为A力u平面4/5M,所以AC18。，故样_LEG.

又由E4=EC,石8=£0得而14。，EM工BD,

从而以E为原点，EF，EG，EM分别为x，y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

则E（0,0,0）.设《牛。，马）,3（0,%修）,C（F，O,ZJ,D（O,-y2,z2）.

因为,*£46是以4E为斜边的等腰直角三角形，AB=\,所以庇=1,AEf，

片+才=2

y；+z；=l

而AC=BD,故由此可列出方程组《

才+£+（4—2）2=1'

3=y2

解得马2=与1,z；=与L故点A,8到平面。的距离的平方之和为Z；+Z；=75.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知空间向量。=(12-2),8=(x,l,0),c=(O,l,-l),则下列说法中正确的是()

A.若〃〃〃，则”=一(B.若a上〃，则x=-2

C.向量。-c在〃上的投影向量的模长为gD.若卜卜6,则工=±2

【答案】BCD

【解析】对于A,空间向量。=(1,2,-2),人=(尤1,0),由乙〃人可得)="，

即x=/U=240=-2/l,显然丸和x无解，故A错误；

对于B,若dJJ)，则x+2+0=0=x=-2,故B正确；

对于C,向量CLC=(11,—1)在〃=(1,2,-2)上的投影向量的模长是I二王故C王确；

对于D,|z>|=|(x,l,O)|=Vx2+l=75=>x=±2,故D正确;

故选:BCD

10.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如

图1,把三片这样的达•芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个

正方体的棱长为1，则下列结论正确的是()

(图1)(图2)

A.CQ+AB=-AD+2AAi

B.点G到直线CQ的距离是正

3

C.平面ECG与平面8G。的夹角正弦值为半

D.异面直线CQ与所成角的正切值为47

【答案】BCD

【解析】CQ=CB+8Q=-AO+28A=-4。+2(朋一48)=-2工8-4。+2"1,即

CQ+2A8=-A£>+2A4,,A错误;

以A为原点建立空间直角坐标系，则G(TJO)，e(0,-1,1),E(l,-h-l),G(T-Ll),8(0,1,-1),

所以QG=(-1,2,-1),EC=(-2,2,0),£G=(-2,O,2),^C；=(-1,0,1),BD=(-l,-l,0),CQ=(1,-2,2),

设，n==-r则点G到直线CQ的距离d==卜T=半，B正确；

设面ECG的法向量为%=(X,y,z),面BC|力的法向量为a=(a.b.c),

n.-EC=-2x+2y=0

所以《,取x=l,则〃i=(l,1,1)，

•EG=—2r+27=0

n-BQ=-a+c=0

2取4=1则-1),

n2•BD=-a-b=0

〃]•_1_1

C正确;

同同也乂上3

CO•BDI।

所以cosCQIO=同网=夜/=1方，则tanCQ,B°=JT7,D正确.

故选:BCD

11.如图，在正三棱柱ABC-AB©中,48=44）=2,点M为A4的中点，点Q在棱3瓦上，则下列说

法正确的是（）

A.CXMLAQ

B.当点。为8玛的中点时，点P为上底面48iG内的动点（包括边界），若PQ"平面MBG，则点尸的

轨迹长度为立

2

C.当点。为靠近用的四等分点时，八Q与8G夹角的余弦值为乎

D.当点。为的中点时，将线段。绕QB旋转90。到Q4',则出在旋转过程中（包含QA与Q4）与

平面MBG所成角的正弦值的取信范围为

【答案】ABD

【解析】对于选项A：

因为三棱柱ABC-A4G为正三棱柱，点M为A片的中点,

所以C|M_LA8”GM_LA41,因为A耳cA4,=A，

所以G"_L平面4班?人，又AQu平面4班?队，

所以GMJ_AQ.所以A正确.

对于选项B：

取「明潭©的中点DE,连接DE,DQ,EQ.

在印W中，力。为中位线，所以。Q//M8,乂平面MBG，/)Q<z平面M8G，则。Q"平面

MBC一

在’64G中，QE为中位线，所以Q£〃8G又4Gu平面M8G，QEa平面MZ?G，则EQ〃平面MBC一

又DQcEQ=Q,DQ、EQu平面DEQ,所以平面。£。〃平面M3G.

又P为上底面的动点，则P的轨迹为。£

又=JF=j=J5,所以。E=等.B正确.

取A5的中点。，连接OCOM,

则以。为原点，以08。。,OM所在直线为3z轴建立空间直角坐标系,

贝0,0),Q,0,|),8(1,(),()),C,(0,V3,2).

所以AQ=(2,0,：1,BC,=(-U>/3,2),

乙)

+3_____J_A/2

叱rcosAQ、BC\=「邛。===

所以"\AQ\\BC]MT皿F

所以八Q与BCX夹角的余弦值为立.所以C错误.

1。

对于选项D；

因为M(0,0,2),C,(0,73,2),8(1,0,0).

“6二(1,。,-2),因=((),"()).

设平面M8G的法向量为根=(xjz),则

MB-m=0fx-2z=()

则|岛=()，令z='则〃2=(2,0,1).

MCjn=0

因为点。为4用的中点，则。(1,0,1).

在2A绕Q8旋转过程中，设旋转角为。，则0卷.

所以人(一2cose+l,2sina0),所以QA=(_2cose,2sine,—l).

|。刎_4cos6+1

所以以与平面MBC所成角的正弦值为8s(04,而)=4cos6^+1

i-

|QA||W|I/5XX/5"I

因为。wO.,,所以cos9w[0,l],所以4c°；3,所以D正确.

4JJ

故选：ABD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在空间直角坐标系中，上土=2口=二攵表示经过点(％%,z。)，且方向向量为(〃力,w)的直线的

UVW

方程，则点夕(1』,3)到直线U=U=一的距离为.

【答案】2

【解析】由题意，直线—=?=平过点43J2),且方向向量为〃=(2,2,1),

又由P(LL3),可得—)，可得"皿=丽=而千百7可=一百

所以sin(〃,AP)=

5

又由卜尸卜J(-2)2+0-+r=75,

所以点尸（1，3）到直线y二号=平的距离为⑼sin（〃,AP）=2.

13.如图，在正四面体AA4A中，点4、4、4、为、儿、冬分别是所在棱的中点，空间中的点尸

满足4尸=必444+）居4+244且工+丁+2=1,当卜4Pl取到最小值时，记此时的点产为玲，则当V、

/go且2j时，数量积46的不同取值的个数是.

【答案】5

【分析】由已知可得点p在平面AAzA上，且上《JL平面A&4,再利用数量积的几何意义可求出

44•AA,的不同取值的个数.

【解析】因为点尸满足4夕=.讯/\+）丸4+244且x+）'+z=i,所以点尸在平面人人4上，

因为村儿「,闯，所以巴为平面4&A的中心，此时A/J平面A44，

由数量积的几何意义可知44在AX的投影有5种情况：o,土小闯，土,阊，

所以数量积A%-A.A,的不同取值的个数是5.

故答案为：5

14.如图.已知正三棱台A8C-A4G的上、下底面边长分别为2和6,侧棱长为4,点Q为CG上一点,

且CQ=3QG，则过点A,B,Q的平面截该桂台内最大的球所得的截面面积为.

【答案】1/卜

22

【分析】取8c的中点为E，8C的中点为尸，连接在平面4川为中，过尸作EEE4平分

线，交。。2于0,则。到底面及三个侧面的距离相等，求出0«=在结合体高可求该棱台内最大的球的

2

球的半径，故可求对应的表面积.

【解析】取8c的中点为乩的中点为尸.连接A£AF,EF.

<6-2?

EF=J16-=2石且上底面中心0?在线段AE上,

fiO,E=-x—x2=—,同理。尸=6,

■323

而。02垂直于上下底面，且AE在上底面中，瓶在下底面中,

4x/6

故«。2，入£0。2，人/，故aa=/2-

在平面AAPE中，过尸作DEE4平分线，交。。2于。,

则0到底面及三个侧面的距离相等.

4x/6

XtanZ£FA=^=2>/2,故2五=2tan/O.

2y/31-tan2ZOEA

故tanZ.OFA=孝（负解舍去），故00\=&与4,

由正三棱台的对称性可知棱台内最大的球要么与上下底面相切,

要么与底面及3个侧面相切，而且＜,x还，

223

故棱台内最大的球与底面及3个侧面相切，且球的半径为亚，

2

B

3冗

故所得的截面面枳为~2

故答案为：与.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、注明过程或演算步骤。

15.（13分）

设F方体A8CO—A8C。的棱长为2.求:

⑴求直线B'C到平面A3。的距高;

⑵求平面\BD与平面BCR间的儿离.

【答案】⑴孚⑵苧

【解析】（1）以力为原点，DA，DC、DD/x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系,

则D(0,0,0),8(220),A(2,0,2),B,(2,2,2),C(O,2,O),

所以C4=(2,0,2),=(2,0,2),08=(220),所以C不||或,即。4〃。A,(2分)

又C81（z平面A8Z）,。4<=平面4避。，所以C8J/平面ABZ）,

所以直线B（到平面A3。的距离等于点片到平面ABD的距离.

设平面A.DD的一个法向星为〃=（'），,z）,

fi-DA.=2x+2z=0..

则，令x=l,则〃=(1,一1,一1),(5分)

nDB=2x+2y=0

又34=(020),

所以点4到平面ABQ的距离“=地对=4=第.（7分）

同G3

（2）由（1）知C4〃平面A8Q,同理，。山//平面48£）,

又与Cc。M=4，8C，。由u平面8c

所以平面48。//平面8cR,

即平面4乃。与平面8CR间的距离等于点片到平面A8。的距离.（11分）

由（1）知，点4到平面4加的距离1=改回=2=浊

|〃|x/33

所以平面48。与平面8c。间的距离为空.（13分）

3

16.（15分）

如图，在四棱锥2-/仍Q中，△P4。是边长为4的等边三角形，底面人8C。为直角梯形，BC//AD,

AB1AD,BC=AB=2,E为。。的中点.

（1）求证：CE〃平面R1B：

⑵当平面平面ABCO时，求直线房与平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵票

【解析】（1）取P4的中点/，连接后厂，BF,

团E为尸。的中点，团E尸〃AD且EF=LAD,

2

又8C=，AO,BC//AD,则EF/；BC且EF=BC,

2

团四边形AC砂是平行四边形，0CEHBF,

团CE（z平面244,4户U平面244,

团CE7/平面孔W.（6分）

（2）取AO的中点为0,连接OC,因Q4=叨，则PO_L4D,

因平面尸AO_L平面A68,平面平面A6CD=A£）,尸Ou平面?A。，

则POJL平面4BCD,又COu面4BCO,则PO_LCO,

又AO=8C,AO//BC,AB±AD,则OCJLAD,故OP,OD,OC两两垂直，

以。为坐标原点，分别以oc，0D,0尸所在直线为x,y,Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

由△尸人。是边长为4的等边三角形，得PO=2#,(9分)

团6(2,-2,0),P(0,0,2x/3),。(0,2,0),C(2,0,0),E(0」,G),

团BE=(-2,3,G),CP=(-2,0,2y/3),CD=(-2,2,0),

CP•n=-2x+2Gz=0

设平面PCD的法向量为〃=(x,y,z),则〈.

CD-n=-2x+2y=0

令尤=6，得y=G，z=l,即平面PCD的一个法向量为〃=(总,31)；(13分)

BEn-2百+36+G2百后

0cos<BE,n>=-----------

I阳l〃l,4十9+3x13+3+1.4币-14

同宜线房与平面PC。所成角的正弦值为叵.(15分)

14

如图，在三棱锥尸一A8C中，AB=BC=BP=2,AB1BC,NQ48=30。，cosZACP=-

4

(1)证明：平面平面ABC；

(2)求平面A6C与平面ACP夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）半

【分析】（1）在三角形里用余弦定理求边长，由勾股定理逆定理得8CJ_3P,再8CJ_A8证得BCJL平面

PAB,进而得面面垂直.

（2）先建空间直角坐标系，确定相关点坐标，得到向量坐标，通过法向量与平面内向量垂直列方程组求

平面AC尸法向量，己知平面A8C法向量，最后用公式求两平面夹角余弦值.

【解析】（1）证明：RtZ\A5C中，AB=BC=2,A4_L8C,贝!有AC=25/5;

在4HBp中，AB=BP=2,NP4R=30。，

由余弦定理，BP2=AB2+AP2-2ABAPcosZPAB,解得4。=26，

「.△ACP中，由余弦定理：CP2+8-2x2V2xCPxl=12=>CP=2x^,

4

8c2+BP2=CP2nBC上BP.

又8C_LA8,AB\^\BP=B,所以3c，平面

又BCu平面ABC,所以平面FABJ•平面ABC.

（2）解：建系如图，以点8为原点，为K轴，BC为了轴建立坐标系，

在等腰三角形始8中，PA=25则P（TO,⑹,

.•.A(2,0,0),8(0,0,0),C(0,2,0|,

.•.%二(3,0,-g)，AC=(-2,2,01.

设〃=(x,y,z)是平面ACP的•个法向量,

小PA=0，n[3x-Gz=0,

n-AC=0—2x+2y=0,

令x=l,则〃=(1,1,

平面ABC的一个法向量，〃=（0,0,1）,

设平面ABC与平面ACP夹角为夕

r1l_|n-/«|V15

mm\5

「•'/面人8C与平面ACP夹角的余弦值为巫.

5

18.（17分）

如图1,在梯形A8CO中，AB//CD,点E在线段A8上，BE=CD=CE=叵,=2.现招V4OE沿

OE翻折到"QE的位置.，使得二面角尸-红>-3为直二面角，如图2所示.

⑴若M是8C的中点，证明：M£_L平面在D；

⑵若M,N分别是AC,PE的中点，直线MN与平面P3C所成角为asin9>3.

6

①设庄=/">0）,求/的取值范围；

②求平面PAC与平面PEC所成锐二面角的余弦值的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

(2)®(72,2)；②

\JJ/

【脩析】(1)由题意知/8EC=NECO=NAEC=90,/P£O=NAEO=45,

而=是8c的中点，所以（2分）

乂平面PED_L平面BCDE,平面PED平面BCDE=DE,MEu平面BCDE,

所以ME_L平面PED.（4分）

（2）对于①，在平面PQE内作E。的垂线作为z轴，所以M£J_z轴，

如图以石为坐标原点，分别以,£。为X,y轴正半轴建立空间直角坐标系:

因为BE=CO=CE=&,BC=2,设尸E=/（f>0）,

所以E（0,0,0）,例（1,0,0）,80,TO）,C（1,1,0）,0（020）,

则P0.

所以MN=1冬制用

3喜2+虺2）

1。当当1

■=（0,2,0）,所=,EC=（1J,O）.

22

设平面PBC的法向量〃]=G，y,zJ,

//1-BC=2）\=0

得争4=（/

%•BP=_菁+

\zJ

取,=（争,0,1,（7分）

可得sin。

IZ,=>~T~»解得fw（3,2）.（9分）

4+6/+86

对「②，设平面PEC的法向R4=（々，必，22），

〃2,EC=x2+y2=0

得Ji近,取"2=1，得"=（1,T』）,（11分）

%心=+优++%=0

设平面尸与平面PEC所成锐二面角为0,

则cos。=

由于），=/+：在（夜,2）时单调递增，故2夜

<3,

故分1+2x/2（V2+1限、

&

~233

得到平面PBC与平面PEC所成锐二面角余弦值的取值范围是.（17分）

19.（17分）

空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：①多面体顶点的曲率等于2兀减

去多面体在该点处所有面角之和；②多面体的总曲率等于多面体所有顶点的曲率之和，多面体各顶点的平

均曲率等于它的总曲率与顶点数之商，其中多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制.例如：

正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为故其各个顶点的曲率均为2兀-3'^=兀.

JJ

⑴如图1,已知四棱锥P-人AS的底面为菱形，ZADC=60°,0为8。的中点，且POJ■平面

ABCD,AB=2PO=2.

①求该四棱锥在顶点P处的曲率的余弦值；

②求二面角P-AB-。的平面角的正弦值；

（2）瑞士数学家莱昂哈德•欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他对简单多面体进行研究后，提出了著

名的欧拉定理：简单多面体的顶点数匕棱数£与面数尸满足U+尸-£=2.请运用欧拉定理解决下列问

题：碳60(C60)具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材