二次函数与一元二次方程（讲练）-初中九年级数学上册（学生版）

专题22.2二次函数与一元二次方程

典例体系

一、知识点

二次函数尸加+公+«和）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程

1.二次函数ax2+bx+c=O的根.

当/=〃2—4«>0,两个不相等的实数根；

与一元二

当4觉=0,两个相等的实数根：

次方程

当/=〃-4的<0,无实根

抛物线y=办2一床+。=（）在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对■应的x的所有

2.二次函数

值就是不等式加+区+c>0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对

与不等式

应的x的值就是不等式加+/”+cV0的解集.

二、考点点拨与训练

考点1：二次函数图象与X轴交点问题

A.-2或0B.-4或2C.-5或3D.-6或4

方法或规律点拨

本题考查二次函数图象与一元二次方程的综合，关键在于方程加减任意数值可理解为在图像上进行平移.

巩固练习

A.有两个大于1的不相等实数根B.有两个小于1的不相等实数根

C.有一个大于1另一个小于1的实数根D.没有实数根

A.-1B.2C.3D.4

3.（2020•云南省初三其他）抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，aVO）经过点（0,2）,且关于直线x=-1

对称，（xi,0）是抛物线与x轴的一个交点，有下列结论，其中结论错误的是（）

A.方程ax?+bx+c=2的一个根是x=-2

B.若xi=2,则抛物线与x轴的另一个交点为（-4,0）

C.若m=4时，方程ax2+bx+c=m有两个相等的实数根，则a=-2

31

D.若一-<x<OBt,2<y<3,则a=一一

22

X•••-2-10124•••

y•..50-3-4-35•••

6.（2020•南通市八一中学初二月考）已知函数产伙l）P4x+4的图象与x轴只有一个交点，则k的取值范围是

（）

A.仁2且厚IB.k<2且以1

C.k=2D.k=2或1

A.-8B.8C.±8D.6

X•••-1012•••

y・・・0343・・・

⑴求抛物线的顶点坐标（用含加的代数式表示）；

（2）求线段AB的长；

考点2：二次函数图象与平行于x轴直线交点问题

下列判断正确的是（）

C.乙对，丙错D.甲错•，丙对

方法或规律点拨

本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转化成一元二次方程根的

判别式.

巩固练习

1.(2020•合肥市第四十六中学初三三模)已知函数y=-3-(x-m)(x-〃)，并且a,b是方程-3-(x-ni)(x

-“)=0的两个根，则实数〃?，〃，小。的大小关系可能是().

A.m<n<b<aB.a<m<n<bC.a<m<b<nD.m<a<b<n

6<s<7C.7<s<8D.8<s<9

②③C.®®D.②③④

4.(2020•安徽省初三二模)若4],Z2SVX2)是方程(x-4)(x■方)=13〈力的两个根，则实数a,4和及的大

小关系为

(1)若。=1,求此时抛物线的解析式、顶点坐标及点C坐标；

(2)在直线/与抛物线L围成的封闭图形边界上，横、纵坐标均为整数的点称为“神秘点”，求出在⑴的条件下

“神秘点”的个数；

(3)①直线/与x轴的交点A的坐标会变吗？说明理由；

考点3：二次函数与不等式

方法或规律点拨

本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称轴，二次函数的增减性以及最值问题，要注意自

变量的取值范围的影响.

巩固练习

1.(2020•无锡市凤翔实验学校初三月考)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，当函数值y<0时，x的

B.—l<x<3C.xW—l或xN3D.—l<x<3

2.(2020•山东省初三其他)如图为物物线的部分图象，抛物线y=ax2+bx+c(a/))的对称轴为直线x=l,与x轴

的一个交点坐标为(-1,0),下列结论:

©4ac<b2

②方程ax2+bx+c=O的两个根是xi=-。X2=3

®3a+c>0

④当y>0时，x的取值范围是-1SXV3

⑤当xVO时，y随x增大而增大

其中正确的结论是,

3.(2020•南通市八一中学初二月考)画出二次函数y=x2-2x的图象，利用图象回答:

(1)方程x2-2x=0的解是什么？

(2)x取什么值时，函数值大于0?

(3)x取什么值时，函数值小于0?

(1)求函数图象的顶点坐标，与坐标轴交点坐标，并画出函数大致图象:

⑵己知函数必的图象与x轴的两个交点间的距离等于3,

①试求此时k的值.

⑴求证：不论加为何值，该二次函数的图像与x轴总有公共点.

考点4：二次函数图象折叠变换中的交点问题

（1）求此二次函数图象与坐标轴的交点；

方法或规律点拨

本题主要考杳了二次函数的性质及抛物线与坐标轴的交点问题，以及数形结合法；二次函数中当b24ac>0

时，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点.熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

巩固练习

1.（2020.广西壮族自治区初三一模）若关于x的方程|”2+bx+c|=5有三个不相等的实数根，则二次函数

y=ax2+bx+c有（）

A.最小值为5B.最大值为5

C.最大值为5或最小值5D,最大值5或最小值5

(1)自变量X的取值范围是全体实数，X与y的几组对应值列表如下.

X・・・321012345・・.

10

8m02n208・・・

y•・・T

其中，m=,n=；

(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请补全函数图象的

剩余部分；

(3)进•步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有个交点：

6.(2019・重庆万州外国语学校天子湖校区初三三模)借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y=|『-2x

-3|-2图象和性质，探究过程如卜，请补充完整.

(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

X•••-3-2-1012345•••

•••1()m-21n1-2310•••

其中，m=

(2)根据L表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象;

(3)观察函数图象：

①当方程M3|=加2有且仅有两个不相等的实数根时，根据函数图象直接写出b的取值范围为

②在该平面直角坐标系中画出直线)，=的图象，根据图象直接写出该直线与函数)，=|r-2A--3|-2

的交点横坐标为：(结果保留一位小数).

考点5：二次函数与一次函数的交点问题

典例：(2020•浙江省初三其他)如图，直线y=x+m与二次函数y=ax2+2x+c的图象交于点A(0,3),已知该

二次函数图象的对称轴为直线x=l.

⑴求m的值及二次函数解析式；

(2)若直线y=x+m与二次函数y=ax2+2x+c的图象的另一个交点为B,求aOAB的面积：

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面枳，二次函数与不等式，掌握数形结合是解题的

关键.

巩固练习

2.（2020.四川省初三其他妆口图是抛物线y尸ax2+bx+c（a#0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（l,3）,与x

轴的一个交点B（4,0）,直线y2=mx+n（n#0）与抛物线交于A,B两点，下列结论：

①2a+b=0；②abc>0；③方程ax，+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点足（-1,0）；

⑤当I