二次函数与一元二次方程（讲义）-苏科版九年级数学下册（原卷版）

专题5.4二次函数与一元二次方程（举一反三讲义）

【苏科版】

飕题型归纳

【题型1抛物线与x轴的交点】........................................................................3

【题型2利用二次函数的图象确定方程根的情况】......................................................3

【题型3求x轴与抛物线的截线长】....................................................................4

【题型4利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】...............................................5

【题型5利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】..........................................6

【题型6利用不等式求自变量或函数值的取值范围】...................................................7

【题型7根据两函数交点确定不等式的解集】..........................................................8

【题型8抛物线与x轴交点上的四点问题】.............................................................8

举一反三

知识点1二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程是二次函数的函数值产0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图

象与x轴交点的横坐标.

（1）若抛物线尸4『+乐+以〃#0）与工轴两交点的横坐标分别为M,初，贝3，必为一元二次方程。.丫2+队+°=0（4#0）

的两个根.

（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：

a>0（示意图）a<0（示意图）一无：次方程根的情况

y

有两个不相等的实数根

2

b—4ac>0T—b±y/b2-4ac

二J22a

T右两个相等的实数根

b2—4ac=0b

0忆=-五

y

oX

b2—4ac<0无实数根

oX!

知识点2利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解

利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤

(1)画出二次函数产级2+6+以启0)的图象；

(2)确定二次函数尸加+版+以#0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；

(3)列表，在(2)中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应)，值正负交替的地方.

通过列表求近似根的具体过程：

在列表求近似根时，近似根就出现在对应的)，值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看)，对应的哪两

个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如上由占取到X2时，对应＞，的

值出现叫＞0,为＜°或为＞仇那么修，了中必有一个是近似根，比较瓦|与Ml的大小，若瓦|＞同，则

说明均是近似根；反之，则说明X］是近似根.从图象上观察，a,外离X轴越近，)，值越接近0,而产。时

%的值就是方程的确切根.

知识点3二次函数与一元二次不等式的关系

利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤:

(1)将一元二次不等式化为苏+历+c＞o(或＜°)的形式；

(2)明确二次项系数。的正负、对称轴在)，轴哪侧，并计算好-4农•的值；

(3)作出不等式对应的二次函数广尔+瓜+c的草图；

(4)二次函数在、轴上方的图象对应的函数值大于零，在工轴下方的图象对应的函数值小于零.

以尸a/+bx+c(a＞0)为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：

△=从一4acA>0△=0A<0

二次函数

)^=ax2+bx+c)>D

X\\^^/Xzx

qx

(心0)的图像

一兀二次方程

b

a^+bx+c^没有实数根

X],x2町，一2°

(a＞0)的根

不等式

或X>X2灯修的一切实数全体实数

(。＞0)的解集

不等式

加+加也<0x\<x<x2无解无解

（。>0）的解集

【题型1抛物线与x轴的交点】

【例1】（2425九年级下•全国•期中）已知二次函数尸&-4ax+4a+4（〃为常数且存0）.

（1）当函数图象经过（4,0）,求该二次函数的表达式.

（2）若心0,判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明.

>

（3）若该函数图象上有两点力自"，，“々2,）》/其中》］<丫2，若”0，修+、2>4.求证：yly2-

【变式11】（2425九年级下•全国•期中）若抛物线12—6x+q与x轴只有一个公共点，则。的值为.

【变式12］（2025•内蒙古呼和浩特•模拟预测）已知二次函数尸f+2s+加2—2〃?-3（〃?为常数）的图象与五轴有交

点，当x>2时，y随工的增大而增大，则〃?的取值范围是（）

33

A.ni>--B.--<m<2C.ni<2D.ni>-2

【变式13］（2425八年级下•安徽阜阳・期末）二次函数尸谓_（“+1*2〃-1（。为常数，00）.

（1）若该二次函数图象关于直线x=I对称，求〃的值；

⑵若该二次函数图象上点例（1必），M2”）满足无勺2,求。的范围；

（3）若该二次函数图象上两个不同的点/⑺必），必）满足勺+电=-2,求为+%的取值范围

【题型2利用二次函数的图象确定方程根的情况】

【例2】（2025•黑龙江齐齐哈尔•二模）如图所示是二次函数尸加的部分图象，该函数图象的对

称轴是直线尸1,图象与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论：①2。+6=0；②方程ax2+6x+c=0一定有一个根在

-2和-1之间；③方程加+阮+c-折0一定有两个不相等的实数根；④点4自必），^自归?在抛物线上，且

力<1q2，当勺+必>2时，%⑤函数P的最大值大于小其中正确结论的个数为（）

C.3个D.2个

【变式21】（2425八年级下•福建福州•期末）已知关于x的一元二次方程反+c=0的一个根是尸3,且二次

函数尸小+以+c的对称轴是直线x=l,则此方程苏+以+片0的另一个根为.

【变式22]如图，抛物线)UQX2与直线j，=bx+c的两个交点坐标分别为462,4),8。/),则关于x的方程加一队-。=0

的解为.

【变式23](2025•山东青岛•模拟预测)若二次函数尸(存0)与x轴交于(-1,())和(3,0),关于x的一元

二次方程。/+以+。=0(存0)的两个根分另ij是和〃，贝吟+三=______-

【题型3求x轴与抛物线的截线长】

【例3】(2025・浙江•二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线产ad—ZG+cSXV.

⑴当斫c时，

①求抛物线的顶点坐标.

②将抛物线向下平移W个单位若平移后的抛物线过点(0,-8),且与x轴两交点之间的距离为6,求小的

值.

(2)已知点Ma,2〃+1),N61,3〃+2游抛物线上，且(0,求〃的取，直范围.

【变式31】(2025•浙江宁波•模拟预测)设二次函数%=(xr0(LX2)G#M)的图像与一次函数为=6/2的

图像交于点(x),0),若函数)=%打，2的图像与x轴仅有一个交点，则|x1-x2|的值是()

A.6B.8C.D.7

【变式32】(2425九年级上•湖北咸宁•期末)已知关于x的一元二次方程x2-g-l)x+〃-2=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若抛物线尸/一々-12计4-2与\轴交于点力，B,且力8=2,求4的值.

【变式33】(2025•安徽合肥•一模1已知P&jJ,。鱼沙。是抛物线Lf+bx-g上的两个不同点.

(1)若尸，。两点都在直线尸-9上，求线段P0的长；

(2)若抛物线关于y轴对称，直线尸0过坐标原点O,求亲+2的值；

(3)若点P,0在抛物线对称轴的左侧，X,,必为整数，且q，2,证明：勺-必+修->2为正值.

【题型4利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】

【例4】（2025・广西崇左•三模）如图是二次函数尸花+人+c的图象，图象上有两点分别为42.68,0.54）,

)

D.2.45

【变式41】（2425九年级上•福建厦门•期中）如表中列出了二次函数尸加+尾《和）的一些对应值，则一元

二次方程〃/+以+°=0（g0）的解x的范围是.（两相邻整数之间）

X・・・-3-2-101・・・

y・・・121-2-7・・・

【变式42］（2425九年级上•河南周口•期中）小明用GG8探索方程加+外+。=0仄。为常数）的根,

作出如图所示的图象，并求得一个近似根尸-3.4,则方程的另一个近似根（精确到（）.1）为（）

C.1.4D.1.6

【变式43］在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成.如，求

方程-2=0的实数根的近似解，观察函数），=/-2x・2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小

于0（点（2,-2）在x轴卜方），当自变量为3时，函数值大于。（点（3,1）在x轴上方）.因为抛物

线尸2》-2是一条连续不断的曲线，所以抛物线.y=f-2x-2在24V3这一段经过x轴，也就是说,

当工取2、3之间的某个值时，函数值为0,即方程f-2x-2=（）在2、3之间有根.进一步，我们取2和3

的平均数2.5,计算可知，对应的数值为-0.75,与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间

任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3-2.5=0.5.重玛以上操作，随着操作次数增

加，根的近似值越来越接近真实值.用以上方法求得方程2c-2=0的小于0的解，并且使得所求的近

似解与真实值的差不超过0.3,该近似解为

【题型5利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】

【例5】（2425九年级上•重庆・期末）二次函数产加+以+。出O的图象如图所示，则不等式加一队+”3的解

【变式51】（2425九年级上•河南开封•期末）二次函数尸fr-2的图象如图所示，则函数值产＞0时，自变量x

【变式52］（2425九年级上•辽宁盘锦•阶段练习）二次函数尸的图象如图，根据图象解答下列

⑴直接写出方程加+以+。=0的两人根：

（2）直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围；

（3）直接写出关于x的不等式公2+沃+°<0的解集.

【变式53】（2025・广东清远•一模）抛物线）-储+队+°。9及口图所示，抛物线与x轴交于点（-1,0）,顶点坐

标为（1，加），下列结论：①ac<0；②8。+4/）=0；③对于任意实数〃，都有a，，+加+c沙］；④当-1<%<3时，y>0.其

中正确的个数是（）

【题型6利用不等式求自变量或函数值的取值范围】

【例6】（2025•安徽安庆・模拟预测）抛物线），尸2+〃优+〃的顶点纵坐标与抛物线当二-%2-心的顶点纵坐标之和

为4.

⑴求〃的值；

⑵己知力6。为抛物线为=f+妹+〃上一点，4口勿为抛物线），2=-f-MX上一点.

（Z）若仅存在一个正数S,使得5+片0，求p+夕的最大值；

（«;若p=s+2,且当1«<2时，总有什g<4,求"?的取值范围.

【变式61］（2025♦福建宁德•二模：已知二次函数产〃X2_6G+C,当I〈X<2时，函数值>>0；当x>5时，尸0.若

点（/,"］），（什2,〃）都在函数j=aF_6aY+c上，且，心〃>5。，贝股的取值范围是.

【变式62］（2025•黑龙江大庆•二模）已知二次函数严如2Hx用以经过点尸〃％2》当户-1时，x的取值范

围为xv/T或>-3-九则如下四个值中有可能为相的是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式63】（2025•安徽合肥・二模）在平面直角坐标系屹>，中，直线尸2x与抛物线严加+bi交于点力自典力

8&2必/曰/［<X2，点尸是该抛物线上位于4，8两点之间的动点・

（1）当町=-1,切=2时，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，当口以8面积最大时，求点尸的坐标：

⑶设抛物线顶点的横坐标为h,当xi=m,必=〃且〃刁忖，求证：h>7.

【题型7根据两函数交点确定不等式的解集】

【例7】（2425九年级上•北京密云・期末）已知抛物线y=/+bx+c经过两点力已-3）,8（4,5）.

（1）求b,c值;

⑵当1Sra时，函数尸x+〃的函数值总大于函数尸f+加+c的函数值，且函数尸-7叶〃的函数值总小于函数

尸f+bx+c的函数值，直接写出满足题意的〃的取值范围.

【变式71］（2425九年级下•广东广州•期中）一次函数”=必+〃（叱0）与一次困数P2=aF+bx+c（aW0）的图象如

图所示，则不等式双2+0F%+C>,?的解集为（）

%

加

A.x<3B.x>-4C.-4<x<3D.x>3或-4

【变式72】（2025・浙江•模拟预测）已知二次函数）［=加_仆_］（好0）必=/-云+3,则下列结论正确的是（）

A.若一2q〈0v〃，则B.若-2<a<b<0,则为勺？

C.若0<a<2<b,则%勺2D.若0<a<b<2,则月勺？

【变式73】（2425九年级下•黑龙江大庆•期中）定义：若函数G和函数g的图象关于直线户切对称，则称函

数G和。2关于直线尸加互为“和陛函数”，函数G和。2的图象交点叫做“和睦点力

例如：函数产f-3关于直线尸1的“和陛函数''为尸（尸2）2-3,“和睦点”为（1,-2）.下列说法不正确的序号

为.

①函数尸d—2%关于直线——1的“和睦函数”为尸（x+3户1=f+6x+8，“和睡点”坐标为（-1,3）；

②函数尸r-4x+l关于直线尸,〃的“和睡点”的纵坐标为〃，当1勺〃“时，则〃的取值范围是-2与胫1；

③函数产