复合应用题-2026五年级奥数培优讲义（含答案）

第07讲复合应用题

。【学习目标】

1.掌握复合应用题的解题步骤，学会审题、分析数量关系、列式计算和验算。

2.熟练运用常见数量关系（如和差倍、行程、年龄问题等）解决多步运算的实际问题。

3.提高逻辑推理能力，能通过画图、假设、逆推等方法分析复杂条件。

4.培养一题多解思维，灵活运用不同方法解决同一类问题。

5.规避常见错误，如忽略隐藏条件、计算失误等，提升解题准确率。

•家知识梳理

海知识点一、解题的基本步骤与策略

L审题：仔细读题，找出已知条件和所求问题。圈点关键词句，明确题意。

2.分析数量关系：

（1）找中间问题：复合应月题往往需要先解决•个或多个“中间问题”，才能最终解决所求

问题。

（2）画线段图/示意图：这是解决复合应用题最直观、有效的方法，能帮助理清各数量之间

的关系（尤其适用于和差倍、行程、年龄问题等）。

（3）列表法：对于条件较多、关系复杂的题目，可以通过列表来整理信息。

3.确定解题方法：根据分析的数量关系，选择合适的运算方法，确定先算什么，再算什么,

最后算什么。

4.列式计算：分步列式或综合算式（根据题目要求和自身能力），确保计算准确。

5.验算与作答：检查计算是否正确，结果是否符合题意，最后写出完整的答语。

知识点二、常见考点类型及解题关键

1.一般复合应用题

（1）核心考点：掌握加减乘除四则运算的意义，能熟练运用基本数量关系（如：部分量与

总量、单价数量总价、速度时间路程、工效时间工作总量等）解决多步问题。

（2）解题关键：从问题入手（分析法）或从条件入手（综合法），找出隐藏的中间问题。

（3）例题特征：题目中没有明显的“和差倍”等标志性词语，但需要几步运算才能解决。

2.归一问题与归总问题

（1）归一问题：

①核心考点：先求出单一量（一份数），再以单一量为标准，求出所要求的数量。

笫1页共18页

②解题关键：“照这样计算”是归一问题的标志。

（2）归总问题：

①核心考点：先求出总数量（总数），再根据总数量和其他条件求出所要求的数量。

②解题关键：先求“总量”是关键。

3.和差问题的拓展

（1）核心考点：已知几个数的和与差，求各数。

（2）解题关键：

①基本公式：（和+差）;2=较大数；（和■差）;2=较小数。

②对于三个量的和差，可以先转化为两个量的和差问题。画线段图帮助理解。

4.和倍问题与差倍问题的拓展

（1）核心考点：已知几个数的和（或差）以及它们之间的倍数关系，求各数。

（2）解题关键：

①和倍公式：和“倍数+1）=较小数（1倍数）；较小数x倍数=较大数（儿倍数）。

②差倍公式：差”倍数・1）=较小数（1倍数）；较小数x倍数=较大数（几倍数）。

③找准“1倍数”，画线段图是解决此类问题的法宝。可能涉及“几倍多几”或“几倍少；V'的情况,

需先调整和或差。

5.年龄问题

（1）核心考点：两个人的年龄差不变；两个人的年龄同时增加或减少相同的岁数。

（2）解题关键：抓住“年龄差不变”这一核心，结合和倍、差倍或和差问题的方法求解。

6.行程问题

（1）核心考点：理解速度、时间、路程三者之间的关系（速度x时间二路程）。

（2）相遇问题：

①特征：两人（或物体）从两地出发，相向而行。

②等量关系：总路程=速度和x相遇时间；速度和=总路程-相遇时间；相遇时间=总

路程—速度和。

（3）追及问题：

①特征：两人（或物体）同向而行，一快一慢，快的追慢的。

②等量关系：追及路程（路程差）二速度差x追及时间；速度差二追及路程-追及时间；

追及时间=追及路程-速度差。

（4）解题关键：分析清楚运动方向（相向、同向、相背），找出路程和（相遇）或路程差（追

及）。

第2页共18页

7.还原问题（逆推问题》

（1）核心考点：已知一个数经过若干次运算后的结果，求原来的数。

（2）解题关键：从最后的结果出发，按运算顺序倒推回去，进行逆运算（加变减，减变加，

乘变除，除变乘）。可以借助流程图或线段图帮助分析。

知识点三、解题思想与方法

1.画图法（线段图、示意图）：重中之重，务必掌握。

2.假设法：行程等问题常用。

3.替换法/消元法：当题目中有两个或多个未知量时，通过替换或消去一个未知量来求解。

4.倒推法（还原法）：还原问题的专用方法。

5.转化法：将复杂问题转化为简单问题，或将新知识转化为旧知识。

6.综合法与分析法：综合法从条件推向问题，分析法从问题追溯条件。

喔例题讲解

噱一、一般复合应用题

【例题1】某食堂第一次运进大米5袋，面粉3袋，共重1350千克，第二次运进大米3袋,

面粉5袋，共重85（）千克。问：一袋大米和一袋面粉共重多少千克？

【例题2］亮亮买了一批纸，订了一本练习册后还剩下30张纸，计划30天用完，25天后,

用完了练习册又10张纸，这本练习册是多少张纸？

笫3页共18页

唱二、归一问题与归总问题

【例题1】每年“小雪”节气前后，温州三烽湿地的果农们开始采摘瓯柑。48箱瓯柑共重864

千克，照这样计算，16箱瓯柑共重多少千克？

【例题2】某运输公司用6辆汽车运水泥，每天可运96吨。根据运输情况，现在增加4辆同

样的汽车，每天一共运水泥多少吨？

【例题31王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛12天可生

产牛奶多少千克？

啕三、和差问题的拓展

【例题1】小华和小敏共有铅笔25支，如果小华用去4支，小敏用去3支，那么小华还比小

敏多2支，小华和小敏原来各有多支铅笔？

第4页共18页

【例题2】张亮用60元买了科技书、故事书和美术书各一本。科技书比故事书贵12元，科

技书和故事书一共比美术书贵40元。科技书、故事书和美术书的单价各是多少元？

嗑四、和倍问题与差倍问题的拓展

【例题1】花店有百合、玫瑰、郁金香共104枝，其中百合是玫瑰的2倍少20枝，玫瑰是郁

金香的3倍多8枝。问三种花各有多少枝？

【例题2】李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各

有多少只吗？

【例题3】有甲、乙两艘货船，甲船所载货物是乙船的3倍。若甲船增加货物120。吨，乙船

增加货物900吨，则甲船所载货物是乙船的2倍。甲船原载货物多少吨？

唱五、年龄问题

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【例题1】妈妈和芳芳今年的年龄之和是41岁，年龄之差是25岁，妈妈和芳芳今年各多少

岁？

【例题2】爸爸今年38岁，佳佳今年2岁，问：几年后，父亲的年龄是佳佳的5倍?

嘘六、行程问题

【例题1】两辆汽车从相距392千米的两地同时开出，相向而行。甲车每小时行56千米，乙

车每小时行42千米，经过几小时两车相遇？

【例题2】老师带领学生从学校出发到A地去春游，队伍每分钟行60米，5分钟后，老师发

现手机忘带，马上叫小刚返回去拿，小刚每分钟跑100米，到学校拿到手机后马上去追老师

和同学们。学校与A地相距3000米，小刚能在老师和同学们到达A地之前追上吗？

喧七、还原问题（逆推问题）

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【例题1】有一根电线，第一次用去2米，又用去余下的一半；第二次用去2米，又用去余

下的一半，还剩下12米。这根电线原来有多少米长？

【例题2】有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份

后还是剩下一枚，再拿去两份和另一枚，最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，问原

来至少有多少枚棋子？

■考点练习

/一、一般复合应用题

1.一次竞赛，其中五年级和六年级共20人获奖，在获奖者中有16人不是五年级的，有12

人不是六年级的，该校有多少人获奖？

2.4筐苹果和5筐香蕉共重348「克，同样的6筐苹果和7筐香蕉共重502T克，每筐苹果

和每筐香蕉各重多少千克？

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3.王老师去买书，买4本故事书和8本漫画书共需136元，买同样的3本故事书和10本漫

画书共需150元，故事书和漫画书的单价各是多少元？

4.小明从商店买了5块橡皮和4把小刀，共付7.6元，小红买了同样的2块橡皮和3把小刀

共付4.3元。问：一块橡皮和一把小刀各是多少元？

，二、归一问题与归总问题

1.如果3台数控机床4小时可以加工960个同样的零件，那么1台数控机床加工400个相同

的零件满要多长时间？

2.花果山上桃树多，5只小微分200棵。现有小猴60只，按刚才的分法分后还余90棵，请

算出桃树有几棵？

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3.家具厂生产一批桌椅，原计划每天生产30套，12天完成。实际只用原来时间的一半就完

成了任务，那么实际每天比计划多生产多少套？

4.水果市场的王阿姨第一天卖了3筐苹果和5筐鸭梨，共138千克；第二天卖了9筐同样的

苹果和4筐同样的鸭梨，共216千克。每筐苹果和鸭梨各有多少千克？

5.某工厂一个车间，原计划2()人4天做128()个零件，刚要开始生产，又增加了新任务，在

工作效率相同的情况下，需要15个人7天才能全部完成，问增加了多少个零件？

,三、和差问题的拓展

1.甲乙丙三个数的和是100,甲比乙大4,乙比丙大6,这三个数各是多少？

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2.师傅和徒弟每小时加工的零件数保持不变，师傅2小时加工的零件数是徒弟4小时加工的

数量，而两人合作10小时一共可以加工120个零件，师徒两人每小时各加工零件多少个？

3.有一块长120米、宽105米的果园地，栽苹果树和梨树。每126平方米栽8棵,全园栽的

苹果树比梨树多160棵。两种果树各有多少棵？

4.明明的储蓄罐里有1元、5角硬币共67枚，其中1元硬币比5角硬币多7元。两种硬币

各有多少枚？

5.四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14张，小华得到的选票比小玲多8张。

如果这3人共得选票54张，那么他们各得选票多少张？

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6.兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，因为分的萝卜不一样多，兔妈妈让小白兔

给了小黑兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜，你知道原来小白兔和小黑

兔各分到了多少个萝卜吗？

/四、和倍问题与差倍问题的拓展

1.粮站购进大米和面粉各若干，如果大米增加60吨，面粉减少45吨，则大米和面粉一样

多；如果再购进面粉35吨.面粉刚好是大米的3倍。原有大米和面粉各多少吨？

2.某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是

六年级学生人数的3倍多11人.问全校有男、女生各多少人？

3.玩具厂生产红、黄、白三种小汽车共400辆，红汽车是黄汽车的4倍，白汽车比黄汽车多

40辆，三种小汽车各多少辆？

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4.甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油

是乙桶油的2倍？

5.两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少

4()人，求参加义务劳动的学生共有多少人？

6.红旗小学三年级有甲、乙、丙三个班，一共有学生162人。如果从甲班转出2个人到乙班，

则甲、乙两班人数相同。如果这时再从丙班转出3个人到乙班，则乙、丙两班人数相同。请

问：甲班原来有多少人？

7.甲、乙各有若干本书，若甲给乙45本，则二人的书相等，若乙给甲45本则甲的本数是乙

的4倍，甲、乙各有书多少本？

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8.实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人，因为第三校区建成，从两个校区各

调走200人，这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的4倍，那么实验小学一

校区和实验小学二校区原来各有多少人？

9学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍少3箱，

学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？

10.盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出1个红球和1个白球，那么当拿到没有红

球时，还剩下白球5()个，若每次拿出1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，还剩下5()

个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？

，五、年龄问题

1.小琴、小静、小莲三人年龄和是2()岁，小琴比小静大1岁，小莲比小静小2岁。三人的

年龄各是几岁？

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2.今年小玲6岁，她父亲34岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？

3.兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁？

4.欢欢一家三口人今年的年龄和为86岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是欢欢年龄的3

倍，问欢乐家每人的年龄各是多少岁？

,六、行程问题

1.两辆卡车为农场送化肥，第一辆卡车以每小时3()千米的速度由仓库开往农场，第二辆卡

车晚开12分钟，以每小时40千米的速度由开往农场，结果两车同时到达农场。到农场的路

程有多远？

2.甲、乙、丙三人，每分钟分别行68米、70.5米、72米。现甲、乙从A镇去B镇，丙从B

镇去A镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，又过2分钟与甲相遇。A、B两镇相距多少千米？

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3.两列火车同时从距离536千米的两地相向而行,4小时相遇，慢车每小时行60千米，快

车每小时行多少千米?

4.一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两

车相遇。已知汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？

5.A,B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行38千米，乙车

每小时行42千米。一只燕子以每小时5()千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车

又折回向甲车飞去。这样一直往返地飞下去，燕子飞了多少千米后，两车才能相遇？

6.某校开展行军活动，以每小时2()千米的平均速度前进，在行军中，排尾的通讯员以每小

时25千米的速度追赶排头，当赶上排头后又立即返回，当通讯员回去到排尾时，队伍前进了

3千米，则通讯员从排头返回排尾走了多少千米？

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7.甲乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出，8小时两船还相距22千米。乙船每小时

行42千米，甲船每小时行多少千米？

8.卡尔步行上学，每分钟行70米。离家12分钟后，爸爸发现卡尔的文具盒忘在家中，爸爸

带着文具盒，立即骑自行车以每分钟28()米的速度去追卡尔。当爸爸追上卡尔时他们离家多

远？

9.B处的兔子和A处的狗相距56米，兔子从B处逃跑，狗同时从A处跳出追兔子，狗一跳

前进2米，狗跳3次时间与兔子跳4次时间相同，兔子跳出112米到达C处，狗追上兔子，

问兔子一跳前进多少米？

10.摩托车行驶12()千米与汽车行驶18()千米所用的时间相同，7小时内摩托车行驶的路程

比6小时内汽车行驶的路程少80千米，若摩托车先出发2小时，然后汽车从同一出发点开始

追赶，那么汽车出发后几小时内可以追上摩托车？

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/七、还原问题（逆推问题）

1.将一批苹果分给三年级三个班，一班分得总个数的一半少6个，二班分得余下半果数的一

半多8个，最后把剩下的40个分给三班。这批苹果共有多少个？

2.解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又

抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？

3.张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李

18本，李给赵16本，赵给张2本。这时4个人的本数用等。他们原来各有多少本？

4.第24届大冬会吉祥物专卖店购进一批吉祥物“冬冬”。开幕式当天上午卖出一半多30个,

下午卖出剩下的一半少10个，还剩下200个。商店原来购进多少个？

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5.某水果店进一批水果，运进的是原来的水果的一半，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与

现在的水果同样多，己知原有的水果80()千克，求原有的蔬菜多少千克？

6.一班、二班、三班各有不同数目的图书。如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，

使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的

图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一

倍。这时，三个班的图书数目都是48本。求三个班原来各有图书多少本？

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第07讲复合应用题

。【学习目标】

1.掌握复合应用题的解题步骤，学会审题、分析数量关系、列式计算和验算。

2.熟练运用常见数量关系（如和差倍、行程、年龄问题等）解决多步运算的实际问题。

3.提高逻辑推理能力，能通过画图、假设、逆推等方法分析复杂条件。

4.培养一题多解思维，灵活运用不同方法解决同一类问题。

5.规避常见错误，如忽略隐藏条件、计算失误等，提升解题准确率。

•家知识梳理

海知识点一、解题的基本步骤与策略

L审题：仔细读题，找出已知条件和所求问题。圈点关键词句，明确题意。

2.分析数量关系：

（1）找中间问题：复合应月题往往需要先解决•个或多个“中间问题”，才能最终解决所求

问题。

（2）画线段图/示意图：这是解决复合应用题最直观、有效的方法，能帮助理清各数量之间

的关系（尤其适用于和差倍、行程、年龄问题等）。

（3）列表法：对于条件较多、关系复杂的题目，可以通过列表来整理信息。

3.确定解题方法：根据分析的数量关系，选择合适的运算方法，确定先算什么，再算什么,

最后算什么。

4.列式计算：分步列式或综合算式（根据题目要求和自身能力），确保计算准确。

5.验算与作答：检查计算是否正确，结果是否符合题意，最后写出完整的答语。

知识点二、常见考点类型及解题关键

1.一般复合应用题

（1）核心考点：掌握加减乘除四则运算的意义，能熟练运用基本数量关系（如：部分量与

总量、单价数量总价、速度时间路程、工效时间工作总量等）解决多步问题。

（2）解题关键：从问题入手（分析法）或从条件入手（综合法），找出隐藏的中间问题。

（3）例题特征：题目中没有明显的“和差倍”等标志性词语，但需要几步运算才能解决。

2.归一问题与归总问题

（1）归一问题：

①核心考点：先求出单一量（一份数），再以单一量为标准，求出所要求的数量。

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②解题关键：“照这样计算”是归一问题的标志。

（2）归总问题：

①核心考点：先求出总数量（总数），再根据总数量和其他条件求出所要求的数量。

②解题关键：先求“总量”是关键。

3.和差问题的拓展

（1）核心考点：已知几个数的和与差，求各数。

（2）解题关键：

①基本公式：（和+差）;2=较大数；（和■差）;2=较小数。

②对于三个量的和差，可以先转化为两个量的和差问题。画线段图帮助理解。

4.和倍问题与差倍问题的拓展

（1）核心考点：已知几个数的和（或差）以及它们之间的倍数关系，求各数。

（2）解题关键：

①和倍公式：和+（倍数+1）=较小数（1倍数）；较小数x倍数=较大数（儿倍数）。

②差倍公式：差”倍数-1）=较小数（1倍数）；较小数x倍数=较大数（儿倍数）。

③找准“1倍数”，画线段图是解决此类问题的法宝。可能涉及“几倍多几”或“几倍少；V'的情况,

需先调整和或差。

5.年龄问题

（1）核心考点：两个人的年龄差不变；两个人的年龄同时增加或减少相同的岁数。

（2）解题关键：抓住“年龄差不变”这一核心，结合和倍、差倍或和差问题的方法求解。

6.行程问题

（1）核心考点：理解速度、时间、路程三者之间的关系（速度x时间二路程）。

（2）相遇问题：

①特征：两人（或物体）从两地出发，相向而行。

②等量关系：总路程=速度和x相遇时间；速度和=总路程-相遇时间；相遇时间=总

路程—速度和。

（3）追及问题：

①特征：两人（或物体）同向而行，一快一慢，快的追慢的。

②等量关系：追及路程（路程差）二速度差x追及时间；速度差二追及路程-追及时间；

追及时间=追及路程-速度差。

（4）解题关键：分析清楚运动方向（相向、同向、相背），找出路程和（相遇）或路程差

（追及）。

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7.还原问题(逆推问题》

(1)核心考点：已知一个数经过若干次运算后的结果，求原来的数。

(2)解题关键：从最后的结果出发，按运算顺序倒推回去，进行逆运算(加变减，减变加，

乘变除，除变乘)。可以借助流程图或线段图帮助分析。

知识点三、解题思想与方法

1.画图法(线段图、示意图)：重中之重，务必掌握。

2.假设法：行程等问题常用。

3.替换法/消元法：当题目中有两个或多个未知量时，通过替换或消去一个未知量来求解。

4.倒推法(还原法)：还原问题的专用方法。

5.转化法：将复杂问题转化为简单问题，或将新知识转化为旧知识。

6.综合法与分析法：综合法从条件推向问题，分析法从问题追溯条件。

喔例题讲解

噱一、一般复合应用题

【例题1】某食堂第一次运进大米5袋，面粉3袋，共重1350千克，第二次运进大米3袋,

面粉5袋，共重85()千克。问：一袋大米和一袋面粉共重多少千克？

【答案】275千克

【分析】大米5袋和面粉3袋共重1350千克，，大米3袋和面粉5袋共重850千克，因此将

这两个条件求和，即可以求出大米8袋和面粉8袋共重多少T克；再将这个总质量除以8即

可求出一袋大米和一袋面粉共重多少千克。

【详解】(1350+850):(5+3)

=22()(H8

=275(千克)

答：袋大米和一袋面粉共重275千克。

【例题2］亮亮买了一批纸，订了一本练习册后还剩下30张纸，计划30天用完，25天后，

用完了练习册又10张纸，这本练习册是多少张纸？

【答案】90张

【详解】(30-10):5x30-30

=20^5x30-30

=120-30

第3页共30页

=90（张）

答：这本练习册是90张纸。

嗑二、归一问题与归总问题

【例题1】每年“小雪”节气前后，温州三库湿地的果农们开始采摘瓯柑。48箱瓯柑共重864

千克，照这样计算，16箱瓯柑共重多少千克？

【答案】288千克

【分析】根据48箱瓯柑共重864千克除法864除以48求出一箱的质量，照这样计算就是每

箱的重量不变，即再用每箱的重量乘16即可求出16箱共重多少千克。

【详解】864+48x16

=18x16

=288（千克）

答：16箱瓯柑共重288千克。

【例题2】某运输公司用6辆汽车运水泥，每天可运96吨。根据运输情况，现在增加4辆同

样的汽车，每天一共运水泥多少吨？

【答案】160吨

【分析】“增加4辆同样的汽车“，每天一共运水泥多少吨，应是增加的汽车运输量与增加前

的运输量的和，即10辆汽车的运输量。先求出一辆汽车每天的运输量，再计算10辆汽车的

运输量。

【详解】（964-6）x（6+4）

=16x10

=160（吨）

答：每天可运水泥160吨。

【例题3】王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛12天可生

产牛奶多少千克？

【答案】1728千克

【分析】以I头奶牛1天产的牛奶为单一量，先求出1头奶牛1天产牛奶的千克数，再根据

乘法的意义求出8头奶牛12天可产牛奶的千克数。

【详解】（630^74-5）x8xl2

=18x8x12

1728（千克）

第4页共30页

答：照这样计算，8头奶牛12天可产牛奶1728千克。

嘘三、和差问题的拓展

【例题1】小华和小敏共有铅笔25支，如果小华用去4支，小敏用去3支，那么小华还比小

敏多2支，小华和小敏原来各有多支铅笔？

【答案】14支；11支

【分析】如果小华用去4支，小敏用去3支，那么小华还比小敏多2支，这就说明原来小华

的铅笔比小敏的铅笔多3支。

【详解】根据题意画线段示意图如下：

多3枝

•共25枝

小敏••

（25+3）+2

=28=2

=14（支）

14-3=11（支）

答：小华原来有14支铅笔，小敏原来有11支铅笔。

【例题2】张亮用60元买了科技书、故事书和美术书各一本。科技书比故事书贵12元，科

技书和故事书一共比美术书贵40元。科技书、故事书和美术书的单价各是多少元？

【答案】科技书31元，故事书19元，美术书10元

【分析】根据题意可知，三本书总共是60元，科技书和故事书一共比美术书贵40元，所以

60减去40等于美术书价钱的2倍，再除以2即等于美术书的单价，60减去美术书的价钱等

于科技书和故事书的价钱和，乂知科技书和故事书的价钱差为12元，根据和差公式即求出科

技书和故事书的价钱，据此即可解答。

【详解】美术书：

（60-40）:2

=20=2

=10（元）

60-10=50（元）

故事书：

第5页共30页

（50-12）+2

=38+2

=19（元）

科技书：50—19=31（元）

答：科技书的单价为31元，故事书的单价为19元，美术书的单价是10元。

腺四、和倍问题与差倍问题的拓展

【例题1】花店有百合、玫瑰、郁金香共104枝，其中百合是玫瑰的2倍少20枝，玫瑰是郁

金香的3倍多8枝。问三种花各有多少枝？

【答案】郁金香10枝，玫瑰有38枝，百合有56枝

【分析】根据题意，如果把郁金香的数量看作1份，则玫瑰有3份多8枝，百合有6份少20

一8x2=4（枝）；再根据三种花一共有104枝，算出郁金香的数量，进而得出其他两种花的

数量。

【详解】把郁金香的数量看作1份，则玫瑰有3份多8枝；

2x3=6,2x8=16,20-16=4（枝），则百合是郁金香的6倍少4枝；

郁金香：（104—8+4）+（1+3+6）

=100X0

=10（枝）

玫瑰：3X10+8

=30+8

=38（枝）

百合：6x10—4

=60—4

=56（枝）

答：郁金香有10枝，玫瑰有38枝，百合有56枝。

【例题2】李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各

有多少只吗？

【答案】9只；27只

【分析】根据题意，画线段示意图如下，与18只相对应的是（3-1）倍，这样就可以求出一

倍数也就是鹅的只数，求出了鹅的只数，鸭的只数就容易求出来了。鸭与鹅只数的倍数差是：

3-1=2（倍），鹅有：18+2=9（只），鸭有：9x3=27（只）°

第6页共30页

【详解】斯

184-（3-1）

=18+2

=9（只）

9x3=27（只）

答：李爷爷家养的鸭有27只，养鹅有9只。

【例题3】有甲、乙两艇货船，甲船所载货物是乙船的3倍。若甲船增加货物120。吨，乙船

增加货物900吨，则甲船所载货物是乙船的2倍。甲船原载货物多少吨？

【答案】1800吨

【分析】甲船所载货物是乙船所载货物的3倍，乙船增加900吨，甲船就应增加：900x3=2700

（吨），实际少增加:2700-1200=1500（吨）。少增加的重量等于乙船现有货物的：3-2

=1（倍），所以中船原载货物：（1500—900）x3=1800（吨）。

【详解】（900x3-1200）:（3-2）

=（2700-1200）X

=15（）（）（吨）

（15（）0-900）x3

=600x3

=1800（吨）

答：甲船原载货物1800吨。

啕五、年龄问题

【例题1】妈妈和芳芳今年的年龄之和是41岁，年龄之差是25岁，妈妈和芳芳今年各多少

岁？

【答案】妈妈33岁；芳芳8岁

【分析】年龄之和与年龄之差相加就等于2份妈妈的年龄，年龄之和与年龄之差相减就等于

2份芳芳的年龄，由此可以求出妈妈和芳芳今年各多少岁。

【详解】妈妈：（41+25）*2

=66"

=33（岁）

芳芳：（41—25）+2

第7页共30页

=16・2

=8（岁）

答：妈妈和芳芳今年各33岁；8岁。

【例题2】爸爸今年38岁，佳佳今年2岁，问：几年后，父亲的年龄是佳佳的5倍？

【答案】7年

【分析】父女年龄差是：38-2=36（岁），这个数量是不会变化的；当父亲的年龄恰好是女

儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁，这36岁是父亲比女儿多的（5-1）倍所对应的年

龄。据此解题即可。

【详解】（38—2）-（5-1）

=36・4

=9（岁）

9-2=7（岁）

答：7年后，父亲的年龄是佳佳的5倍。

嘘六、行程问题

【例题1】两辆汽车从相距392千米的两地同时开出，相向而行。甲车每小时行56千米，乙

车每小时行42千米，经过几小时两车相遇？

【答案】4小时

【分析】根据相遇问题中，路程+速度和=相遇时间，据此代入数值进行计算即可。

【详解】392；（56+42）

=392:98

=4（小时）

答：经过4小时两车相遇。

【例题2】老师带领学生从学校出发到A地去春游，队伍每分钟行60米，5分钟后，老师发

现手机忘带，马上叫小刚返回去拿，小刚每分钟跑100米，到学校拿到手机后马上去追老师

和同学们。学校与A地相距300（）米，小刚能在老师和同学们到达A地之前追上吗？

【答案】小刚能在老师和同学们到达A地之前追上

【分析】本题是个追及问题，关键是分析出路程差就能迎刃而解了。我们可以通过画线段图

辅助理解，其实路程差就是小刚回学校时，队伍离学校的距离。求出路程差，我们就容易求

出追及时间。小刚从学校出发后到追上老师和学生的行走路程就是老师和学生行走的总路程,

根据路程=速度x时间，得出的路程大干等干3000米，那就说明小刚追不匕小干3000米说

第8页共30页

明小刚能追上。

【详解】小刚返回学校用时：60x5-100=3（分钟）

小刚追上队伍用时:（5+3）x60-r（100-60）=12（分钟）

此时，小刚离学校距离：12x100=1200（米）

1200米V3000米

答：小刚能在老师和同学们到达A地之前追上。

喧七、还原问题（逆推问题）

【例题1】有一根电线，第一次用去2米，又用去余下的一半；第二次用去2米，又用去余

下的一半，还剩下12米。这根电线原来有多少米长？

【答案】54米

【分析】本题可以用逆推还原的方法来解决。根据第二次用去2米，又用去余下的一半还剩

下12米可知，这里的余下的一半即等于剩下的12米，因此可以知道第二次用之前的长度为：

12x2+2=26（米）。再继续根据第一次用去2米又用去余下的一半，此时这里的余下的一半

等于26米，因此同理即可得到这根电线原来的长度。

【详解】第二次用之前：12x2+2

=24+2

=26（米）

原来的长度：26x2+2

=52+2

=54（米）

答：这根电线原来有54米。

【例题2】有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份

后还是剩下一枚，再拿去两份和另一枚，最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，问原

来至少有多少枚棋子？

【答案】40枚

【分析】根据“最后将剩下的棋子三等份还是剩一枚“，可知解题的关键是确定在“最后将剩下

的棋子三等份”后，每一份是几枚棋子？再根据提问“原来至少有多少枚棋子”可知在“最后将

剩下的棋子三等份''后，每一份是一枚棋子。据此采用倒推法，再结合列表法一一列举进行分

析推理。

【详解】列表倒推如下：

第9页共30页

一份一份一份剩余

最后棋子数（枚）1111

前次棋子数（枚）4441

再前次棋子数（枚）1313131

原来至少有棋子数（枚）40

[（1x3+1）x3+l]x3+I

=[4x3+l]x3+l

=13x3+1

=39+1

=40（枚）

答：原来至少有40枚棋子。

，考点练习

“一、一般复合应用题

1.一次竞赛，其中五年级和六年级共20人获奖，在获奖者中有16人不是五年级的，有12

人不是六年级的，该校有多少人获奖？

【答案】24人

【详解】有16人不是五年级的,则六年级和其它年级的共有16人；

12人不是六年级的,则五年级和其它年级的共有12人；

即六年级比五年级多4人.

六年级：（20+4）+2=12（人）

五年级：（20-4）-2=8（人）

共有人数：16+8=24（人）

2.4筐苹果和5筐香蕉共重348千克，同样的6筐苹果和7筐香蕉共重502千克，每筐苹果

和每筐香蕉各重多少千克？

【答案】苹果37千克；香蕉40千克

【分析】根据题意可知,买4筐苹果和5筐香蕉共重348千克,则买4x3=12（筐）苹果和5x3

=15（筐）香蕉共重348x3=1044（千克）；买6筐苹果和7筐香蕉共重502千克，则买6x2

=12（筐）苹果和7x2=14（筐）香蕉共重502x2=1004（千克）；1044减去1004等于15

第10页共30页

-14=1（筐）香蕉的重量；348减去5筐香蕉的重量等于4筐苹果的重量，再除以4,即等

于一筐苹果的重量，据此即可解答。

【详解】348x3-502x2

=1044-1004

=40（千克）

（348-40x5）

=（348-200）X

=148+4

=37（千克）

答:每筐苹果重37千克，每筐香蕉重4（）千克。

3.王老师去买书，买4本故事书和8本漫画书共需136元，买同样的3本故事书和10本漫

画书共需150元，故事书和漫画书的单价各是多少元？

【答案】故事书10元；漫画书12元

【分析】根据题意可知，买4本故事书和8本漫画书共需136元，则买4x3=12（本）故事

书和8x3=24（本）漫画书需要136x3=408（元）；买3本故事书和10本漫画书共需150

元，则买3x4=12（本）故事书和10x4=40（本）漫画书需要150x4=600（元）；600减去

408等于4（）-24=16（本）漫画书的钱，再除以16,即等于漫画书的单价；15（）减去1（）本漫

画书的价钱等于3本故事书的价钱，再除以3,即等于故事书的单价，据此即可解答。

【详解】（150x4-136x3）;（10x4-8x3）

=（600-408）m6

=192X6

=12（元）

（150-12x10）+3

=30=3

=10（元）

答：故事书的单价是10元，漫画书的单价是12元。

4.小明从商店买了5块橡皮和4把小刀，共付7.6元，小红买了同样的2块橡皮和3把小刀

共付4.3元。问：一块橡皮和一把小刀各是多少元？

【答案】一块橡皮0.8元；一把小刀0.9元

【分析】买了5块橡皮和4把小刀共付7.6元，因此可以求出10块橡皮和8把小刀一共的钱

数；2块橡皮和3把小刀共付4.3元，因此可以求出10块橡皮和15把小刀一共的钱数；再将

第11页共30页

这两个钱数作差，即为7把小刀的价格，除以7即可求出一把小刀的价格。小刀的价格求出

来后即可继续求出橡皮擦的价格。

【详解】1。块橡皮和8把小刀：7.6x2=15.2（元）

10块橡皮和15把小刀：4.3x5=21.5（元）

小刀：（21.5-15.2）4-（15-8）

=6.3+7

=0.9（元）

橡皮擦：（7.6—4x0.9）-5

=（7.6-3.6）4-5

=4+5

=0.8（元）

答：一块橡皮0.8元，一把小刀0.9元。

/二、归一问题与归总问题

1.如果3台数控机床4小时可以加工960个同样的零件，那么1台数控机床加工400个相同

的零件满要多长时间？

【答案】5小时

【分析】根据题意，1台数控机床1小时加工（960-3-4）个同样的零件，即80个；1台加工

400个零件需要:400+80=5（小时）。

【详解】960:3+4=80（个）

400・80=5（小时）

答：1台数控机床加工400个相同的零件满要5小时。

2.花果山上桃树多，5只小猴分200棵。现有小猴60只，按刚才的分法分后还余90棵，请

算出桃树有几棵？

【答案】2490棵

【分析】先利用除法求出每只小猴可以分的桃树数量，再乘6（）只小猴求出6（）只小猴需要分

的桃树数量，最后加上余下的90棵桃树，求出桃树一共有几棵即可。

【详解】200:5=40（棵）

40x60=2400（棵）

2400+90=2490（棵）

答：桃树一共有2490棵0

第12页共30页

3.家具厂生产一批桌椅，原计划每天生产30套，12天完成。实际只用原来时间的一半就完

成了任务，那么实际每天比计划多生产多少套？

【答案】3（）套

【分析】用30x12求出这批桌椅的总套数，再除以实际的天数即可求出实际每天生产多少套，

再用实际每天生产的套数减去计划的套数即可。

【详解】30x12=360（套）；

12+2=6（天）：

360+6=60（套）；

60-30=30（套）；

答：实际每天比计划多生产30套。

4.水果市场的王阿姨第一天卖了3筐苹果和5筐鸭梨，共138千克；第二天卖了9筐同样的

苹果和4筐同样的鸭梨，共216千克。每筐苹果和鸭梨各有多少千克？

【答案】16千克；18千克

【分析】根据题意，得出数量关系式，第一天：3苹果+5鸭梨=138千克；第二天：9

苹果+4鸭梨=216千克。可以将第一天卖的水果看成一个整体，买这样的3份，这样苹

果卖了9筐，梨卖了15筐，一共是414千克，即9苹果+15鸭梨=414千克。对比后发

现相同筐数的苹果下，相差11筐梨，就是相差198千克。得出每一筐梨是18千克。再根据

第一天卖的水果，先得出5筐梨的重量，再用总重量减去5筐梨的重量得出3筐苹果的重量，

最后除以3即可。

【详解】138x3=414（千克）

（414-216）.（15-4）

=198口1

=18（千克）

（138-5x18）4-3

=48：3

=16（千克）

答：每筐苹果有16千克，每筐鸭梨有18千克。

5.某工厂一个车间，原计划20人4天做1280个零件，刚要开始生产，乂增加了新任务，在

工作效率相同的情况下，需要15个人7天才能全部完成，问增加了多少个零件？

【答案】400个

【分析】要求增加了多少个零件，只需先求出每人每天生产多少个零件，然后求出15个人7

第13页共30页

天生产的零件数，最后用它减去1280个零件就可得出所要求的问题。

【详解】（1）每人每天生产的零件数1280:20+4=16（个）

（2）15人7天生产的零件数16x15x7=1680（个）

（3）增加的零件数1680—1280=400（个）

综合算式（1280=20=4）X15X7-1280

=16x15x7-1280

=1680-1280

=400（个）

答：增加了400个零件。

/三、和差问题的拓展

1.甲乙丙三个数的和是10（）,甲比乙大4,乙比丙大6,这三个数各是多少？

【答案】甲是38；乙是34；丙是28

【分析】甲比乙大4,乙比丙大6,即可以知道甲比丙大：4+6=10。甲乙丙三个数的和是

100,用100将甲比丙大的10减掉，乙比丙大的6减掉，然后除以3即可求出丙是多少。由

此节课解决。

【详解】丙：（100-4—6—6）:3

=84+3

=28

乙：28+6=34

甲：34+4=38

答：甲是38,乙是34,丙是28。

2.师傅和徒弟每小时加工的零件数保持不变，师傅2小时加工的零件数是徒弟4小时加工的

数量，而两人合作10小时一共可以加工120个零件，师徒两人每小时各加工零件多少个？

【答案】8个；4个

【分析】根据师傅2小时加工的零件数是徒弟4小时加工的数量得出师傅每小时价格的零件

是徒弟的2倍。两个人合作10个小时加工了120个，用除法得出两个人合作每小时加工的零

件为12个。即徒弟每小时做1份的零件，师傅做2份零件，合作3份的零件是12个，每一

份零件是4个，则徒弟每小时加工的零件是4个，师傅每小时做的零件数=徒弟每小时的零

件数x2即可。

【详解】120X0=12（个）

第14页共30页

12+（2+1）

=12+3

=4（个）

4x2=8（个）

答：师傅每小时加工8个零件，徒弟每小时加工4个零件。

3.有一块长120米、宽105米的果园地，栽苹果树和梨树。每126平方米栽8棵,全园栽的

苹果树比梨树多160棵。两种果树各有多少棵？

【答案】480棵；320棵

【分析】果园地的长12。米、宽105米，根据“长方形面积=长、宽”求出这块果园的面积。每

126平方米栽8棵树，因此可以用果园的面积除以126,然后再乘8,即可求出一共可以种多

少棵树。全园栽的苹果树比梨树多160棵，最后再用和差问题的公式“较小数=（和一差）+2、

较大数=（和+差）求出两种果树各有多少棵。

【详解】一共：120x105X26x8

=12600-126x8

=100x8

=800（棵）

苹果树：（800+160）4-2

=960:2

=480（棵）

梨树：（800—160）“

=640^2

=320（棵）

答:苹果树有480棵，梨树有320棵。

4.明明的储蓄罐里有1元、5角硬币共67枚，其中1元硬币比5角硬币多7元。两种硬币

各有多少枚？

【答案】1元硬币27枚；5角硬币40枚

【分析】本题考查和差问题，1元、5角硬币共67枚，可设I元硬币有x枚，则5角硬币有

（67—x）枚。1元硬币共有：lxx=x元；5角硬币共有：（67—x）x0.5（元）。根据等量关

系：1元硬币的钱数一5角硬币的钱数=7,列式解答即可。

【详解】解：设1元硬币有x枚，则5角硬币有（67-x）枚。

x-（67-x）x0.5=7

第15页共30页

x-67x0.5-I-xxO.51

L5x-33.5=7

1.5x=7+33.5

1.5x=40.5

x=27

67-x=67-27=40

答：1元硬币27枚；5角硬币40枚。

5.四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14张，小华得到的选票比小玲多8张。

如果这3人共得选票54张，那么他们各得选票多少张？

【答案】小玲8张；小华16张；小明3（）张

【分析】小玲得到选票最少，我们以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下；观察线段

图，把小玲获票张数看作1份，把小华获票张数去掉8张，把小明获票张数去掉（8+14）

张，都凑成1份，总张数减少为：54-8-（8+14）=24（张）。所以小玲获票张数为：24-3

=8（张）：小华获票张数为：8+8=16（张）：小明获票张数为：16+14=30（张）。

【详解】以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下：

小玲获票张勒•------------------------•多端

共弼长

小华强累张敷•------------------------••.［怫

胡获票张鼓_________________________________■一一人一、.

54-8-（8+14）=24（张）