2.4二次函数的应用 第1课时课件 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

4二次函数的应用第1课时学习目标准备好了吗？一起去探索吧！二次函数的应用1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系2.能运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能运用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.

重点难点复习回顾二次函数的应用最值问题几何背景下最大面积问题最大利润问题复习回顾

二次函数

的最值由什么决定？xyOxyO最小值最大值二次函数

的最值由a的符号，对称轴的位置及自变量的取值范围决定.二次函数的最值在实际生活中有怎样的应用呢？复习回顾1、

写出下列抛物线的最值.（1）y=x2

-

4x

-

5;

解：(1)∵a=1＞0，对称轴为

x=2，顶点坐标为(2，-9),

∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;(2)y=-x2

-

3x

+

4.

(2)∵a=-1＜0，对称轴为

x=，顶点坐标为(，),

∴当x=时，y取最大值，最大值为;合作探究例1如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.

40m30mMCDN┐AB（2）设矩形的面积为ym2，

当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？（1）设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？合作探究（1）设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？解：(1)设

，由图可知Rt△EDC∽Rt△CBF.∴∴40m30mMCDN┐AB合作探究（2）设矩形的面积为ym2，

当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？(2)由题意得∴当x=20时，y有最大值，最大值为300.随堂练习如果设AD

=x

m,那么当x取何值时，矩形ABCD的面积最大？NM40m30mABCD┐x议一议在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？NM解：如下图所示，过点G作GM⊥EF，交DA于点N，交CB于点M.∵DA//CB，∴GN⊥DA.∵DA//EF，∴合作探究NM在Rt△EGF中，由得GM=24（m）∴当x=12时，y有最大值300.∴∴∴典型例题例

某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01m2)解：∵7x+4y+πx=15，∴0＜x＜1.48.∴∵，典型例题设窗户的面积是S

m2,则

因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02

m2.典型例题方法总结二次函数解决几何面积最值问题的方法：1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.

练一练1.一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大？ABCD解：设AB=x，则AD=，∴S=∴当x=1时，S有最大值

.即当AB，AD分别为1m，1.5m时，窗户面积最大，为1.5m2.练一练ABCD（1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；解：（1）S=x·(80－2x)=-2x2+80x由题意0＜80－2x≤50∴15≤x＜40x2.如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为Sm2.练一练（2）S=x·(80－2x)=-2x2+80x=-2(x-20)2+800∴当x=20时，S有最大值800.即当AB，BC分别为20m，40m时，羊圈面积最大，为800m2.（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大?最大面积是多少?ABCDx练一练3.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8m，宽是2m，

抛物线可以用y=x2＋4表示.

(1)一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗?

(2)如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货运卡车是否可以通过?.练一练解:(1)如图，抛物线与x轴的交点为(－4，0),(4，0)

当货车以y轴为对称轴时，通过隧道的可能性最大.∵货车宽2m，

∴货车的左右边缘分别经过点(－1,0)和(1,0)..练一练2-2

(2)当该隧道内设双向行车道，

∵货车宽2m，

∴货车的左右边缘分别经过点(－2,0)和(2,0)..∴货车能通过该隧道..练一练4、如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，当水位上升3m时，水面宽CD=10m.（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；（2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km,桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m,当水位达到CD处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？3练一练

解:(1)设抛物线的解析式为y

=

ax2

(a≠0)，桥拱最高点O到水面CD的距离为h米，

则D(5,－h)，B(10,－h－3).

..练一练3【方法一】(2)水位由AB处涨到CD的时间为：

3÷0.25

=12(h).

船到达的时间为：35÷5=7(h).∵7h＜12h,∴该船能安全通过此桥.【方法二】船到达时间：35÷5=7(h)，水